Introduction aux Groupes Mathematiques
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Questions and Answers

Comment s'appelle l'opération qui est associée à un ensemble G pour former un groupe (G, *) ?

La loi de composition

Quelles sont les quatre propriétés d'un groupe (G, *) ?

  • La loi de composition externe, la loi commutative, l'élément neutre, l'inverse
  • La loi de composition interne, la loi associative, l'élément unité, l'inverse
  • La loi de composition externe, la loi commutative, l'élément unité, l'inverse
  • La loi de composition interne, la loi associative, l'élément neutre, l'inverse (correct)

Un groupe est commutatif si la loi de composition est commutative.

True (A)

Quel est l'élément neutre de la multiplication dans le groupe (R*, ×) ?

<p>1</p> Signup and view all the answers

Quel est l'inverse de l'élément x ∈ R* dans le groupe (R*, ×) ?

<p>1/x</p> Signup and view all the answers

Quel est l'élément neutre de l'addition dans le groupe (Z, +) ?

<p>0</p> Signup and view all the answers

Quel est l'inverse de l'élément x ∈ Z dans le groupe (Z, +) ?

<p>-x</p> Signup and view all the answers

Quels sont les deux groupes importants qui seront détaillés dans ce chapitre ?

<p>Le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn (D)</p> Signup and view all the answers

Le groupe (Z, +) est un sous-groupe de (R, +).

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

En quoi consiste le critère pratique pour prouver qu'un ensemble H est un sous-groupe de G ?

<p>H contient au moins un élément et pour tout x, y ∈ H, x*y⁻¹ ∈ H</p> Signup and view all the answers

L'ensemble des rotations du plan dont le centre est à l'origine est un sous-groupe du groupe des isométries.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

L'ensemble des matrices diagonales (a 0 0 d) avec a ≠ 0 et d ≠ 0 est un sous-groupe de (Gl2,×).

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Comment s'appelle l'ensemble des multiples de n?

<p>nZ</p> Signup and view all the answers

L'ensemble nZ est un sous-groupe de (Z, +).

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Quels sont les sous-groupes triviaux d'un groupe G ?

<p>{e} et G</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un morphisme de groupes ?

<p>Une application f: G → G' qui respecte la loi de composition</p> Signup and view all the answers

Si f: G → G' est un morphisme de groupes, alors f(eg) = eg'.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Si f: G → G' est un morphisme de groupes, alors f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Si f : G → G' est un morphisme bijectif, alors f⁻¹: G' → G est aussi un morphisme de groupes.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme f: G → G' ?

<p>L'ensemble des éléments x ∈ G tels que f(x) = eg'</p> Signup and view all the answers

Le noyau d'un morphisme f: G → G' est un sous-groupe de G.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce que l'image d'un morphisme f: G → G' ?

<p>L'ensemble des éléments f(x) ∈ G' tels que x ∈ G</p> Signup and view all the answers

L'image d'un morphisme f: G → G' est un sous-groupe de G'.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Un morphisme f: G → G' est injectif si et seulement si Ker f = {eg}.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Un morphisme f: G → G' est surjectif si et seulement si Im f = G'.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un groupe cyclique ?

<p>Un groupe qui est engendré par un seul élément</p> Signup and view all the answers

Le groupe (Z/nZ, +) est un groupe cyclique.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Il existe, à isomorphisme près, un seul groupe cyclique à n éléments.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Définition d'un groupe

Un groupe (G, ?) est un ensemble G auquel est associée une opération ? (la loi de composition) vérifiant quatre propriétés : 1. pour tout x, y ∈ G, x? y∈G (loi de composition interne). 2. pour tout x, y, z ∈ G, (x ? y) ? z = x ? (y ? z) (la loi est associative). 3. il existe e ∈ G tel que ∀ x ∈ G, x ? e = x et e ? x = x (e est l’élément neutre). 4. pour tout x ∈ G il existe x ∈ G tel que x?x = x ?x = e (x0 est l’inverse de x et est noté x−1 ).

Groupe commutatif

Si de plus l’opération vérifie, pour tous x, y ∈ G, x ? y = y ? x, on dit que G est un groupe commutatif (ou abélien).

Unicité de l'élément neutre

L’élément neutre e est unique. En effet si e0 vérifie aussi le point (3), alors on a e0 ? e = e (car e est élément neutre) et e0 ? e = e0 (car e0 aussi). Donc e = e0. De même, l’inverse de l’élément neutre est lui-même.

Unicité de l'inverse

Un élément x ∈ G ne possède qu’un seul inverse. En effet si x0 et x00 vérifient tous les deux le point (4) alors on a x ? x00 = e donc x0 ? (x ? x00 ) = x0 ? e. Par l’associativité (2) et la propriété de l’élément neutre (3) alors (x0 ? x) ? x00 = x0. Mais x0 ? x = e donc e ? x00 = x0 et ainsi x00 = x0.

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Groupe (R∗, ×)

L’ensemble des nombres réels non nuls muni de la multiplication habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe (Q∗, ×)

L’ensemble des nombres rationnels non nuls muni de la multiplication habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe (C∗, ×)

L’ensemble des nombres complexes non nuls muni de la multiplication habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe (Z, +)

L’ensemble des entiers muni de l’addition habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe (Q, +)

L’ensemble des nombres rationnels muni de l’addition habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe (R, +)

L’ensemble des nombres réels muni de l’addition habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe (C, +)

L’ensemble des nombres complexes muni de l’addition habituelle est un groupe commutatif.

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Groupe des rotations du plan (R, ◦)

L'ensemble des rotations du plan avec centre à l'origine O, muni de la composition des rotations, forme un groupe commutatif.

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Groupe des isométries du plan (I, ◦)

L'ensemble des isométries du plan, muni de la composition des isométries, forme un groupe. Ce groupe n'est pas commutatif.

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Pourquoi (Z∗, ×) n'est pas un groupe ?

L’ensemble des entiers non nuls muni de la multiplication habituelle n’est pas un groupe. Car si 2 avait un inverse (pour la multiplication ×) ce serait 12 qui n’est pas un entier.

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Pourquoi (N, +) n'est pas un groupe ?

L’ensemble des entiers naturels muni de l’addition habituelle n’est pas un groupe. En effet l’inverse de 3 (pour l’addition +) devrait être −3 mais −3 ∉ N.

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Puissance dans un groupe

Pour x ∈ G, nous noterons x ? x par x2 et x ? x ? x par x3. Plus généralement nous noterons x n = |x ? x ? · · · ? x}, x0 = e, x−n = |x−1 ? · · · ? x−1}.

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Règles de calcul des puissances

Les règles de calcul des puissances dans un groupe sont les mêmes que pour les puissances des nombres réels.

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Produit de matrices 2 × 2

Une matrice 2 × 2 est un tableau de 4 nombres (pour nous des réels). Le produit de deux matrices M et M 0 est défini par M × M 0 = aa0 + bc0 ab0 + bd 0 ca0 + dc0 cb0 + dd 0.

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Déterminant d'une matrice 2 × 2

Le déterminant d’une matrice M = ac db est par définition le nombre réel det M = ad − bc.

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Groupe des matrices 2x2 inversibles (G`2, ×)

L’ensemble des matrices 2 × 2 ayant un déterminant non nul, muni de la multiplication des matrices × forme un groupe non-commutatif.

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Définition d'un sous-groupe

Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si : e ∈ H, pour tout x, y ∈ H, on a x ? y ∈ H, pour tout x ∈ H, on a x−1 ∈ H.

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Critère pratique pour un sous-groupe

Un critère plus rapide pour prouver que H est un sous-groupe de G est : H contient au moins un élément, pour tout x, y ∈ H, x ? y−1 ∈ H.

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Sous-groupe (R∗+, ×)

L’ensemble des nombres réels strictement positifs muni de la multiplication habituelle est un sous-groupe de (R∗, ×).

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Sous-groupe (U, ×)

L’ensemble des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication habituelle est un sous-groupe de (C∗, ×).

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Sous-groupe (Z, +)

L’ensemble des entiers muni de l’addition habituelle est un sous-groupe de (R, +).

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Sous-groupes de (Z, +)

Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ, pour n ∈ Z, où nZ désigne l’ensemble des multiples de n.

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Sous-groupe engendré

Le sous-groupe engendré par E est le plus petit sous-groupe de G contenant E.

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Définition d'un morphisme de groupes

Soient (G, ?) et (G 0 , ¦) deux groupes. Une application f : G −→ G 0 est un morphisme de groupes si : pour tout x, x0 ∈ G f (x ? x0 ) = f (x) ¦ f (x0 )

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Noyau d'un morphisme

Soit f : G −→ G 0 un morphisme de groupes. Le noyau de f est Ker f = { x ∈ G | f (x) = e G 0 }.

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Image d'un morphisme

Soit f : G −→ G 0 un morphisme de groupes. L’image de f est Im f = { f (x) | x ∈ G }.

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Isomorphisme de groupes

Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Deux groupes G,G 0 sont isomorphes s’il existe un morphisme bijectif f : G −→ G 0.

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Study Notes

Introduction to Groups

  • Groups are fundamental mathematical structures
  • Groups consist of a set of elements and an operation that satisfies specific properties
  • These properties ensure consistency and structure within the group

Group Properties

  • Closure: Applying the group operation to any two elements within the set must result in another element within the same set.
  • Associativity: Applying the group operation in any order to three elements maintains the same result.
  • Identity Element: There exists an identity element 'e' within the set such that for any element 'a' in the set, a * e = a and e * a = a
  • Inverse Elements: For every element 'a' in the set, there exists an inverse element 'a⁻¹' such that a * a⁻¹ = e and a⁻¹ * a = e

Motivation for Studying Groups

  • Groups are foundational to various mathematical and scientific fields (e.g., algebra, geometry, physics).

Group Examples

  • (Real numbers, addition): The real number system under addition forms a group.
  • (Positive real numbers, multiplication): The set of positive real numbers under multiplication forms a group.
  • (Integers, addition): The integer system under addition forms a group.
  • (Matrices, multiplication): The set of invertible matrices under multiplication forms a group.

Subgroups

  • A subgroup is a subset of a group that is also a group under the same operation as the larger group.

Important Properties of subgroups

  • Every group has at least two subgroups: the empty set {} and the group itself.
  • Within any subgroup, the identity element remains the same as in the original group.

Morphism of Groups

  • Function preserving the group structure
  • If f : G → G' is a group homomorphism, f(a * b) = f(a) * f(b) for all a, b in G

Notions of Groups

  • The kernel of a homomorphism is a subgroup
  • The image of a homomorphism is a subgroup.

Cyclic Groups

  • Group where every element can be expressed as a power of a single element (generator)
  • An example is the set of integers under addition, where every integer is a multiple of 1

Permutation Groups

  • Group of all possible ways to reorder a set of elements.
  • Example: possible ways to reorder the numbers {1, 2, 3}

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Description

Ce quiz explore les propriétés fondamentales des groupes en mathématiques. Apprenez les concepts de fermeture, d'associativité, d'élément neutre et d'éléments inverses qui définissent la structure d'un groupe. Comprendre les groupes est essentiel pour de nombreuses disciplines scientifiques et mathématiques.

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