Podcast
Questions and Answers
Comment s'appelle l'opération qui est associée à un ensemble G pour former un groupe (G, *) ?
Comment s'appelle l'opération qui est associée à un ensemble G pour former un groupe (G, *) ?
La loi de composition
Quelles sont les quatre propriétés d'un groupe (G, *) ?
Quelles sont les quatre propriétés d'un groupe (G, *) ?
Un groupe est commutatif si la loi de composition est commutative.
Un groupe est commutatif si la loi de composition est commutative.
True
Quel est l'élément neutre de la multiplication dans le groupe (R*, ×) ?
Quel est l'élément neutre de la multiplication dans le groupe (R*, ×) ?
Signup and view all the answers
Quel est l'inverse de l'élément x ∈ R* dans le groupe (R*, ×) ?
Quel est l'inverse de l'élément x ∈ R* dans le groupe (R*, ×) ?
Signup and view all the answers
Quel est l'élément neutre de l'addition dans le groupe (Z, +) ?
Quel est l'élément neutre de l'addition dans le groupe (Z, +) ?
Signup and view all the answers
Quel est l'inverse de l'élément x ∈ Z dans le groupe (Z, +) ?
Quel est l'inverse de l'élément x ∈ Z dans le groupe (Z, +) ?
Signup and view all the answers
Quels sont les deux groupes importants qui seront détaillés dans ce chapitre ?
Quels sont les deux groupes importants qui seront détaillés dans ce chapitre ?
Signup and view all the answers
Le groupe (Z, +) est un sous-groupe de (R, +).
Le groupe (Z, +) est un sous-groupe de (R, +).
Signup and view all the answers
En quoi consiste le critère pratique pour prouver qu'un ensemble H est un sous-groupe de G ?
En quoi consiste le critère pratique pour prouver qu'un ensemble H est un sous-groupe de G ?
Signup and view all the answers
L'ensemble des rotations du plan dont le centre est à l'origine est un sous-groupe du groupe des isométries.
L'ensemble des rotations du plan dont le centre est à l'origine est un sous-groupe du groupe des isométries.
Signup and view all the answers
L'ensemble des matrices diagonales (a 0
0 d) avec a ≠ 0 et d ≠ 0 est un sous-groupe de (Gl2,×).
L'ensemble des matrices diagonales (a 0 0 d) avec a ≠ 0 et d ≠ 0 est un sous-groupe de (Gl2,×).
Signup and view all the answers
Comment s'appelle l'ensemble des multiples de n?
Comment s'appelle l'ensemble des multiples de n?
Signup and view all the answers
L'ensemble nZ est un sous-groupe de (Z, +).
L'ensemble nZ est un sous-groupe de (Z, +).
Signup and view all the answers
Quels sont les sous-groupes triviaux d'un groupe G ?
Quels sont les sous-groupes triviaux d'un groupe G ?
Signup and view all the answers
Qu'est-ce qu'un morphisme de groupes ?
Qu'est-ce qu'un morphisme de groupes ?
Signup and view all the answers
Si f: G → G' est un morphisme de groupes, alors f(eg) = eg'.
Si f: G → G' est un morphisme de groupes, alors f(eg) = eg'.
Signup and view all the answers
Si f: G → G' est un morphisme de groupes, alors f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹.
Si f: G → G' est un morphisme de groupes, alors f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹.
Signup and view all the answers
Si f : G → G' est un morphisme bijectif, alors f⁻¹: G' → G est aussi un morphisme de groupes.
Si f : G → G' est un morphisme bijectif, alors f⁻¹: G' → G est aussi un morphisme de groupes.
Signup and view all the answers
Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme f: G → G' ?
Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme f: G → G' ?
Signup and view all the answers
Le noyau d'un morphisme f: G → G' est un sous-groupe de G.
Le noyau d'un morphisme f: G → G' est un sous-groupe de G.
Signup and view all the answers
Qu'est-ce que l'image d'un morphisme f: G → G' ?
Qu'est-ce que l'image d'un morphisme f: G → G' ?
Signup and view all the answers
L'image d'un morphisme f: G → G' est un sous-groupe de G'.
L'image d'un morphisme f: G → G' est un sous-groupe de G'.
Signup and view all the answers
Un morphisme f: G → G' est injectif si et seulement si Ker f = {eg}.
Un morphisme f: G → G' est injectif si et seulement si Ker f = {eg}.
Signup and view all the answers
Un morphisme f: G → G' est surjectif si et seulement si Im f = G'.
Un morphisme f: G → G' est surjectif si et seulement si Im f = G'.
Signup and view all the answers
Qu'est-ce qu'un groupe cyclique ?
Qu'est-ce qu'un groupe cyclique ?
Signup and view all the answers
Le groupe (Z/nZ, +) est un groupe cyclique.
Le groupe (Z/nZ, +) est un groupe cyclique.
Signup and view all the answers
Il existe, à isomorphisme près, un seul groupe cyclique à n éléments.
Il existe, à isomorphisme près, un seul groupe cyclique à n éléments.
Signup and view all the answers
Study Notes
Introduction to Groups
- Groups are fundamental mathematical structures
- Groups consist of a set of elements and an operation that satisfies specific properties
- These properties ensure consistency and structure within the group
Group Properties
- Closure: Applying the group operation to any two elements within the set must result in another element within the same set.
- Associativity: Applying the group operation in any order to three elements maintains the same result.
- Identity Element: There exists an identity element 'e' within the set such that for any element 'a' in the set, a * e = a and e * a = a
- Inverse Elements: For every element 'a' in the set, there exists an inverse element 'a⁻¹' such that a * a⁻¹ = e and a⁻¹ * a = e
Motivation for Studying Groups
- Groups are foundational to various mathematical and scientific fields (e.g., algebra, geometry, physics).
Group Examples
- (Real numbers, addition): The real number system under addition forms a group.
- (Positive real numbers, multiplication): The set of positive real numbers under multiplication forms a group.
- (Integers, addition): The integer system under addition forms a group.
- (Matrices, multiplication): The set of invertible matrices under multiplication forms a group.
Subgroups
- A subgroup is a subset of a group that is also a group under the same operation as the larger group.
Important Properties of subgroups
- Every group has at least two subgroups: the empty set {} and the group itself.
- Within any subgroup, the identity element remains the same as in the original group.
Morphism of Groups
- Function preserving the group structure
- If f : G → G' is a group homomorphism, f(a * b) = f(a) * f(b) for all a, b in G
Notions of Groups
- The kernel of a homomorphism is a subgroup
- The image of a homomorphism is a subgroup.
Cyclic Groups
- Group where every element can be expressed as a power of a single element (generator)
- An example is the set of integers under addition, where every integer is a multiple of 1
Permutation Groups
- Group of all possible ways to reorder a set of elements.
- Example: possible ways to reorder the numbers {1, 2, 3}
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Ce quiz explore les propriétés fondamentales des groupes en mathématiques. Apprenez les concepts de fermeture, d'associativité, d'élément neutre et d'éléments inverses qui définissent la structure d'un groupe. Comprendre les groupes est essentiel pour de nombreuses disciplines scientifiques et mathématiques.
