Introduction aux Graphes
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Questions and Answers

Qu'est-ce qu'un graphe ?

Un graphe est constitué de points appelés sommets et de liens entre ces points qui sont appelés arêtes.

Un graphe est dit orienté si la relation représentée est réciproque.

False (B)

Qu'est-ce que l'ordre d'un graphe ?

L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets qu'il contient.

Qu'est-ce qu'une boucle dans un graphe ?

<p>Une boucle est une arête dont les deux extrémités sont identiques.</p> Signup and view all the answers

Quel type de graphe est un graphe sans boucle et sans arêtes parallèles ?

<p>Graphe simple (C)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un graphe complet ?

<p>Un graphe complet est un graphe simple où il existe une arête entre chaque paire de sommets.</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une chaîne dans un graphe ?

<p>Une chaîne est une séquence finie et alternée de sommets et d'arêtes, débutant et finissant par deux sommets appelés extrémité initiale et extrémité terminale.</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un graphe fortement connexe ?

<p>Un graphe orienté est dit fortement connexe si pour toute paire de sommets x, y, il existe au moins un chemin de x vers y et au moins un chemin de y vers x.</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un graphe eulérien ?

<p>Un graphe eulérien est un graphe qui contient un cycle eulérien, c'est-à-dire un cycle qui parcourt chaque arête du graphe une et une seule fois.</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une matrice d'adjacence ?

<p>La matrice d'adjacence d'un graphe est une matrice booléenne carrée de taille N x N qui est utilisée pour représenter le graphe.</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un graphe partiel ?

<p>Un graphe partiel est un sous-graphe d'un graphe initial qui contient tous les sommets du graphe initial, mais seulement un sous-ensemble des arcs de celui-ci.</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un graphe complémentaire ?

<p>Le graphe complémentaire d'un graphe simple est un graphe simple où il existe une arête entre chaque paire de sommets qui n'est pas reliée dans le graphe initial.</p> Signup and view all the answers

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Flashcards

Définition d'un graphe

Un graphe est composé de points appelés sommets et de liens entre ces points appelés arêtes. Les arêtes représentent des relations entre les sommets.

Graphe non orienté

Un graphe est non orienté si la relation représentée est réciproque. Exemple : L'amitié est une relation non orientée car si A est ami avec B, alors B est aussi ami avec A.

Graphe orienté

Un graphe est orienté si la relation représentée n'est pas réciproque. Exemple : "Suivre" sur Twitter est une relation orientée car si A suit B, B ne suit pas nécessairement A.

Utilisation des graphes

Un graphe qui représente un problème de manière visualisable (graphique). Exemple : Le problème des sept ponts de Königsberg.

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Modélisation des problèmes

Un graphe qui est utilisé pour construire un modèle théorique d'un problème et le résoudre en utilisant des propriétés et des algorithmes existants.

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Problèmes d'existence

Existe-t-il un moyen d'aller d'un point de départ A à un point d'arrivée B en respectant certaines conditions ?

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Problèmes de construction

Si une solution existe, comment la construire ou la réaliser ?

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Problèmes d'énumération

Combien de solutions existent-ils et comment les lister ?

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Problèmes d'optimisation

Parmi plusieurs solutions, quelle est la meilleure en fonction d'un critère d'optimisation défini ?

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Sommet

Un point/noeud dans un graphe.

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Arête

Un lien non orienté entre deux sommets dans un graphe non orienté.

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Arc

Un lien orienté entre deux sommets dans un graphe orienté.

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Ordre d'un graphe

Le nombre de sommets dans un graphe.

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Écriture d'une arête

Une paire non ordonnée de sommets qui représente une arête dans un graphe non orienté.

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Extrémités d'une arête

Les deux sommets reliés par une arête.

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Incidence d'une arête

Lorsque une arête est liée à un sommet.

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Sommets adjacents

Deux sommets reliés par une arête.

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Notation Γ(x)

Ensemble des sommets adjacents à un sommet x dans un graphe non orienté.

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Boucle

Une arête dont les deux extrémités sont le même sommet.

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Degré d'un sommet

Le nombre d'arêtes incidentes à un sommet, les boucles étant comptées deux fois.

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Graphe simple

Un graphe sans boucle et sans arêtes parallèles.

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Graphe complet

Un graphe simple où il existe une arête entre chaque paire de sommets.

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Chaîne

Une séquence finie et alternée de sommets et d'arêtes, débutant et finissant par deux sommets appelés extrémité initiale et extrémité terminale.

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Longueur d'une chaîne

Le nombre d'arêtes dans une chaîne.

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Chaîne élémentaire

Une chaîne qui ne parcourt pas plus d'une fois le même sommet.

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Chaîne simple

Une chaîne qui ne parcourt pas plus d'une fois la même arête.

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Cycle

Une chaîne simple dont les extrémités sont identiques.

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Sous-graphe

Un sous-graphe du graphe G = (X,U) est un graphe G' = (X', U') tel que X' subset X et U' subset U.

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Graphe partiel

Un graphe partiel du graphe G = (X, U) est un graphe G' = (X, U') tel que U' subset U.

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Graphe complémentaire

Le graphe complémentaire du graphe simple G = (X, U) est un graphe simple G' = (X, U') tel que (x,y) ∈ U' si et seulement si (x,y) ∈ / U.

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Graphe connexe

Un graphe non orienté G = (X, U) est dit connexe s’il existe au moins une chaîne entre chaque paire de sommets distincts x, y ∈ X.

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Composante connexe

Un sous-graphe connexe maximal.

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Nombre de connexité

Le nombre de composantes connexes dans un graphe.

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Graphe fortement connexe

Un graphe orienté est dit fortement connexe si pour toute paire de sommets x, y ∈ X il existe au moins un chemin de x vers y et au moins un chemin de y vers x.

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Composante fortement connexe

Un sous-graphe fortement connexe maximal.

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Chaîne eulérienne

Une chaîne qui parcourt toutes les arêtes d'un graphe une et une seule fois.

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Cycle eulérien

Une chaîne eulérienne qui forme un cycle.

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Graphe semi-eulérien

Un graphe qui contient une chaîne eulérienne.

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Graphe eulérien. Le cycle eulérien est un cycle qui parcourt chaque arête une et une seule fois.

Un graphe qui contient un cycle eulérien.

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Matrice d'adjacence

Un graphe G = (X, U) d'ordre N et sans arêtes/arcs parallèles. Une matrice d'adjacence est une matrice à N lignes et N colonnes. Chaque ligne correspond à un sommet. Aij vaut 1 si les sommets i et j sont reliés par une arête et 0 sinon.

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Matrice d'adjacence: Somme des éléments de la ligne

La somme des éléments de la ligne du sommet i dans la matrice d'adjacence est égale au nombre de sommets adjacents au sommet i dans le graphe.

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Matrice d'adjacence: Somme des éléments de la colonne

La somme des éléments de la colonne du sommet i dans la matrice d'adjacence est égale au nombre de sommets adjacents au sommet i dans le graphe.

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Study Notes

Introduction to Graphs

  • Graphs are composed of points (vertices) connected by lines (edges).
  • Vertices represent elements, and edges represent relationships between these elements.
  • Graphs can be directed (relationships are not reciprocal) or undirected (relationships are reciprocal).
  • Graphs are useful for modeling various problems, such as map coloring, molecular structures, and the Seven Bridges of Königsberg problem.
  • Graph theory offers tools and algorithms to analyze and solve these problems.
  • Graph problems often involve determining existence, construction, enumeration, or optimization of elements and relationships within a graph.

Types of Graph Problems

  • Problems of existence: Asking if a solution exists (e.g., "Is there a...?" or "Is it possible to...?").
  • Problems of construction: If a solution exists, how can it be constructed?
  • Problems of enumeration: How many solutions exist, and how can they all be listed?
  • Problems of optimization: What is the best or optimal solution?

Graphs and the Seven Bridges of Königsberg

  • The Seven Bridges of Königsberg problem was one of the initial motivations for the development of graph theory.
  • The problem involved finding a path that crossed each bridge exactly once.
  • The problem is modeled by a graph representing the landmasses and bridges connecting them.

Undirected Graphs

  • In undirected graphs, the relationships between elements are reciprocal.
  • The order of vertices in an undirected relationship (edge) does not matter.
  • These relationships are often represented by unordered pairs of vertices.

Directed Graphs

  • In directed graphs, the relationship between elements is not reciprocal.
  • Relationships are often represented by ordered pairs, indicating a direction from one vertex to another.
  • The order of vertices in a directed relationship (arc) matters.

Basic Graph Elements

  • Vertex: A point or node in the graph.
  • Edge: A line connecting two vertices.
  • Arc: A directed edge, representing a relationship with a direction.
  • Adjacency: Two vertices are adjacent if an edge connects them.
  • Incidence: An edge is incident to the vertices it connects.
  • Parallel edges: Edges connecting the same pair of vertices.
  • Loops: Edges connecting a vertex to itself.

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Description

Ce quiz couvre les bases des graphes, y compris les concepts de sommets et d'arêtes. Vous apprendrez à distinguer entre graphes dirigés et non dirigés ainsi que les différents types de problèmes liés aux graphes. Explorez des exemples pratiques et des applications de la théorie des graphes.

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