Introduction à l'ANOVA

Introduction à l'analyse de variance (ANOVA)

• L'analyse de variance à un facteur sert à comprendre l'impact d'un facteur unique sur une variable dépendante.

Exemples

• L'emplacement d'un nouveau produit en magasin influence-t-il les ventes moyennes ?
• L'étage d'un produit en rayon a-t-il un impact sur les ventes ?
• Le type de support publicitaire a-t-il une influence sur l'évaluation d'un produit ?
• Le type d'emballage influe-t-il sur les ventes d'un produit ?
• Le lieu de plantation affecte-t-il la hauteur des arbres ?
• L'heure de fermeture d'une pharmacie a-t-elle un impact sur son chiffre d'affaires ?
• Est-il avantageux d'offrir un rabais sur une marque maison lorsque les grandes marques sont déjà en rabais ?

Pourquoi l'analyse de variance ?

• L'ANOVA est un outil statistique pour étudier la relation entre une variable dépendante/endogène et un ou plusieurs facteurs.
• Examine l'incidence de facteurs sur une variable de réponse
• L'analyse consiste à tester les effets de changements sur une variable en établissant des groupes de traitement et de contrôle.
• L'ANOVA décompose la variabilité des observations en examinant les variations entre et au sein des échantillons.
• On effectue une expérimentation en contrôlant une ou plusieurs variables indépendantes ayant au moins 2 niveaux.
• Permet de réagir aux effets des niveaux de la variable indépendante.
• C'est un plan expérimental visant à tester des hypothèses.

Présentation des données

• P représente la population totale dans l'étude.
• A est le facteur étudié, divisé en k modalités/niveaux (A1, A2, ..., Ak).
• Y est la variable d'intérêt, avec une moyenne désignée par μ.
• La population est divisée en sous-groupes (P1, P2, ..., Pk), chacun ayant sa propre moyenne (μ1, μ2, ..., μk).
• E représente l'échantillon, avec une taille totale de n= ∑𝑘𝑗=1 𝑛𝑗.
• E1…Ek sont les sous-échantillons liés aux sous-populations, avec des effectifs de n1, n2, …, nk.
• Il est recommandé de travailler avec des blocs de même taille et des plans équilibrés si les ni sont égaux.
• Pour la variable Y, il faut calculer 𝑦ത (moyenne générale) et 𝑦ത1, 𝑦ത2 …𝑦തk (moyennes par sous-échantillon).
• Chaque ligne représente les observations chiffrées où l'on enregistre la valeur de la variable du sujet i au niveau j du facteur.

Exemple de Données (Type d'emballage)

• Le type d'emballage ou du type d'engrais est le facteur étudié, qui est qualitatif, avec 3 modalités (A1, A2, A3).
• Les sujets sont, par exemple, des clients ou des lots de terrain.
• Il y a 3 échantillons différents mesurés.
• "Y" représente la variable d'intérêt quantitatif, comme les achats.
• Pour chaque échantillon, les achats ou le rendement sont observés par client ou par lot.

Conditions d'application de l'ANOVA

• Les échantillons proviennent d'une population à distribution normale ou approximativement normale.
• Les variances dans chaque sous population sont identiques, c'est à dire égales ( σ𝑗 = σ).
• Les échantillons analysés doivent être indépendants.

Hypothèses à tester

• L’hypothèse nulle (H0) stipule que toutes les moyennes sont égales : μ1 = μ2 = ... = μk = μ.
• L’hypothèse alternative (H1) est qu’au moins deux moyennes diffèrent (∃ j, μj ≠ μ).

Variation Totale

• La variation entre les groupes et la variation aléatoire dans chaque échantillon sont les deux types de variations comparées pour tester l'égalité des moyennes.
• La comparaison utilise le rapport des variances
• l'hypothèse est que si la variation entre les groupes de traitements est significativement plus grande que la variation aléatoire, alors les moyennes ne sont pas égales.

Signification de l'hypothèse nulle

• Si l'hypothèse nulle est vraie, les moyennes des observations seront similaires pour chaque niveau du facteur, indiquant qu'il n'y a pas d'effet du facteur.
• Dans le cas contraire, la variation entre les groupes de traitement s'avère plus significative que la variation purement aléatoire, ce qui permet de conclure que les moyennes ne sont pas égales.

Décomposition de la variation globale

• Yij représente l'observation i au niveau j du facteur étudié
• Y(j) représente la moyenne du niveau/modalité/groupe j
• Y est la moyenne de toutes les observations
• (Yij − Y(j)) est l'écart entre une observation et la moyenne de son groupe
• (𝑌ത j - 𝑌) est l'écart entre la moyenne du groupe et la moyenne globale
• La variation totale se décompose en variations dues au traitement (entre les groupes) et aléatoires (dans chaque échantillon).
• Cette décomposition est utilisée pour calculer des statistiques de test et déterminer si les différences observées entre les groupes étudiés sont significatives ou dues au hasard.
• Les variations dues au traitement comprennent les variations entre les groupes, la somme des carrés des erreurs intergroupes et la variation expliquée.

Variations aléatoires

• Les variations aléatoires comprennent les variations dans les groupes, la somme des carrés des erreurs intragroupes, la variation non contrôlée et la variation non expliquée.
• Les sommes des carrés moyennes sont les sommes des carrés divisées par les degrés de liberté.
• La variabilité totale est expliquée par la variabilité entre les groupes et à l'intérieur des groupes
• La variabilité entre les groupes plus la variabilité intergroupe est grande
• On doit comparer les variabilités intergroupes versus la variabilité intergroupe

Statistiques de test et distribution

• CMT = SCTtotale / (n - 1)
• CME = SCinter / (k - 1)
• CMR = SCintra / (n - k)
• Statistique de test F = CME / CMR
• La statistique de test a une distribution de Fisher avec dl au numérateur k-1 et au dénominateur n-k.
• Le test F est un test unilatéral à droite, déterminant si les moyennes de plusieurs groupes sont égales.
• La p-value indique la probabilité d'obtenir des résultats aussi extrêmes que ceux observés si l'hypothèse nulle est vraie.
• En comparant la valeur de F avec une valeur critique, on peut déterminer si les différences entre les groupes sont significatives.
• Une grande valeur de Fstat indique que la majeure partie de la variation est due à variation entre groupes, plutôt qu'entre sujets.
• Une faible valeur de Fstat suggère que la variation due à l'expérimentation est minime, comparée à la variation entre sujets.

Analyse de variance à un facteur avec variable de contrôle

• Il s’agit de prendre en compte l'effet d'une autre variable qui pourrait influencer le facteur étudié.
• On nomme cette autre variable, la variable de contrôle/blocage.
• L'âge, le fournisseur peuvent être des variables de blocage.
• Les niveaux du facteur sont appliqués aléatoirement à chaque bloc.
• Requièrent des distributions des observations correspondant aux blocs, normales de manière approximative.
• Requièrent variances égales entre les différentes distributions des blocs
• Ho stipule que les moyennes sont égales et H1 qu'au moins une moyenne est différente pour variable du facteur/traitement et pour variable de contrôle/bloc

Notation : Plan de blocs aléatoires

• i, modalité i de la variable du bloc (en ligne)
• j, modalité j du facteur (en colonne)
• k, le nombre de niveaux de traitement
• n, observations dans chaque traitement.
• Yij, observation individuelle. Yj et Yi représentent les moyennes. Y, moyenne globale.
• Dans ce plan, on décompose la variation totale en examinant le rôle potentiel des variables confusionnelles et des blocs aléatoires.

Décomposition de la variation totale

• les composantes de la variation impliquent au traitement qu'au bloc et à l'échantillon.
• Pour tester l'effet du facteur, on compare Ffact à une valeur critique.
• Pour tester l'effet du bloc, on réalise une comparaison similaire.

Interprétation des Résultats

• Si la valeur observée de Fstat est plus grande que la valeur critique de Ffact , on doit rejeter l'hypothèse nulle et cela signifie que le traitement a eu des effets significatifs.
• En revanche, si la valeur observée est plus petite, il y a absence d'effets significatifs.
• On ne conclut pas de l'ANOVA qu'une moyenne particulière est différente des autres