Introduction à l'algèbre vectorielle

Algèbre Vectorielle

• Les scalaires sont définis par leur magnitude et leurs unités.
• Les vecteurs sont définis par une magnitude, une direction et des unités.
• Magnitude d'un vecteur A s'écrit |A| = A ≥ 0.

Multiplication d'un Vecteur par un Scalaire

• Si A est un vecteur et s est un scalaire, alors sA est un vecteur de magnitude |s|A.
• La direction de sA est la même que celle de A si s > 0 et opposée si s < 0.

Égalité de Deux Vecteurs

• Deux vecteurs A et B sont égaux s'ils ont la même magnitude et direction.

Vecteur Négatif

• Désigné par -A, même magnitude que A mais direction opposée.
• A + (-A) = 0.

Addition Vectorielle

• La somme de deux vecteurs A et B est C, obtenue en plaçant le point de départ de B au point terminal de A.

Lois de l'Addition Vectorielle

• Loi Commutative : A + B = B + A
• Loi Associative : A + (B + C) = (A + B) + C

Soustraction Vectorielle

• La différence de deux vecteurs A et B est un vecteur D tel que D + B = A.
• Formule : A - B = A + (-B)

Vecteurs Unitaires

• Un vecteur unitaire a une magnitude de 1.
• Si A est un vecteur de magnitude A ≠ 0, alors ̂u_A= A/A
 est un vecteur unitaire dans la direction de A.

Composantes d'un Vecteur

• Vecteurs unitaires 𝐢̂, 𝐣̂ et 𝐤̂ le long des axes x, y, et z.

• Un vecteur A peut s'écrire : A = Ax 𝐢̂ + Ay 𝐣̂ + Az 𝐤̂

• La magnitude de A est A = |A|= √(_Ax_² + _Ay_² + _Az_²).

Addition et Soustraction

• Si A = Ax 𝐢̂ + Ay 𝐣̂ + Az 𝐤̂ et B = Bx 𝐢̂ + By 𝐣̂ + Bz 𝐤̂, alors :
• A + B = (Ax + Bx)𝐢̂ + (Ay+ By)𝐣̂ + (Az+ Bz)𝐤̂
• A - B = (Ax - Bx)𝐢̂ + (Ay - By)𝐣̂ + (Az - Bz)𝐤̂

Vecteurs de Position

• Le vecteur de position r d'un point P est le vecteur allant de l'origine O à P.
• Si (x, y, z) sont les coordonnées rectangulaires de P, alors r = x𝐢̂ + y𝐣̂ + z𝐤̂.

Vecteurs de Déplacement

• Si 𝐫1 et 𝐫2 sont les vecteurs de position de deux points P1 et P2, alors le vecteur de déplacement de P1 à P2 est :
• Δr = r2 - r1 = (_x_2 - _x_1)𝐢̂ + (_y_2 - _y_1)𝐣̂ + (_z_2 - _z_1)𝐤̂