Introduction à l'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

• L'algèbre linéaire traite des espaces vectoriels et des transformations linéaires.

Définitions

• Un espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication scalaire.
• L'addition : $E \times E \rightarrow E$, notée $(u, v) \mapsto u + v$
• La multiplication scalaire : $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, notée $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$
• Le corps $\mathbb{K}$ peut être les nombres réels ($\mathbb{R}$) ou complexes ($\mathbb{C}$).
• Un espace vectoriel doit satisfaire des axiomes spécifiques, assurant une structure algébrique cohérente.
• Ces axiomes incluent la commutativité et l'associativité de l'addition, l'existence d'un élément neutre (vecteur nul) et d'inverses additifs.
• Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1, \dots, v_n$ est une expression $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$, où $\lambda_i \in \mathbb{K}$. C'est une somme pondérée de vecteurs.
• Une famille de vecteurs $v_1, \dots, v_n$ est libre si $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0$ implique que tous les $\lambda_i = 0$.
• Les vecteurs sont linéairement indépendants : aucun vecteur ne peut être exprimé comme combinaison linéaire des autres.
• Une famille de vecteurs $v_1, \dots, v_n$ est génératrice si tout vecteur de $E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de $v_1, \dots, v_n$. Elle couvre l'ensemble de l'espace vectoriel.
• Une base de $E$ est une famille de vecteurs qui est à la fois libre et génératrice.
• Elle représente un ensemble minimal de vecteurs nécessaires pour exprimer n'importe quel vecteur de l'espace.
• La dimension de $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$. Elle indique le nombre de degrés de liberté dans l'espace vectoriel.

Applications linéaires

• Une application $f : E \rightarrow F$ est linéaire si $f(u + v) = f(u) + f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$. Elle préserve les opérations d’addition et de multiplication scalaire.
• Le noyau de $f$ est $\text{Ker}(f) = {u \in E \mid f(u) = 0}$. C'est l'ensemble des vecteurs qui sont transformés en vecteur nul.
• L'image de $f$ est $\text{Im}(f) = {f(u) \mid u \in E}$. C'est l'ensemble des vecteurs qui peuvent être obtenus par l'application de $f$.
• Le théorème du rang stipule que $\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$. La dimension de l’espace de départ est égale à la somme des dimensions du noyau et de l’image.

Matrices

• Une matrice $A$ de taille $m \times n$ est un tableau de nombres avec $m$ lignes et $n$ colonnes. Chaque élément est identifié par sa position ligne-colonne.
• Le produit de deux matrices $A$ ($m \times n$) et $B$ ($n \times p$) est une matrice $C$ ($m \times p$), où $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$. La multiplication matricielle implique une somme de produits.
• La transposée de $A$, notée $A^T$, est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. Les éléments $a_{ij}$ deviennent $a_{ji}$.
• Une matrice $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB = BA = I$, où $I$ est la matrice identité. L'inverse d'une matrice, si elle existe, est unique.
• Le déterminant d’une matrice carrée $A$ est un scalaire qui caractérise l’inversibilité de $A$. Si $\det(A) \neq 0$, alors $A$ est inversible, sinon elle est singulière.

Valeurs propres et vecteurs propres

• Un vecteur propre de $A$ est un vecteur $v \neq 0$ tel que $Av = \lambda v$, où $\lambda$ est une valeur propre de $A$. Le vecteur propre ne change pas de direction lorsqu’une transformation linéaire est appliquée.
• Le polynôme caractéristique de $A$ est $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$. Les racines de $p(\lambda)$ sont les valeurs propres de $A$. Les valeurs propres sont les solutions du polynôme caractéristique.
• Un espace propre associé à la valeur propre $\lambda$ est $E_\lambda = {v \mid Av = \lambda v}$. C’est l’ensemble de tous les vecteurs propres associés à $\lambda$.
• Une matrice $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP = D$, où $D$ est une matrice diagonale. La diagonalisation simplifie de nombreux calculs matriciels. Les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres de $A$, et les éléments diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $A$.

Produit scalaire et orthogonalité

• Un produit scalaire sur $E$ est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \rightarrow \mathbb{K}$ qui est linéaire en chaque argument, symétrique/hermitienne et définie positive. Il généralise la notion de projection d’un vecteur sur un autre.
• Linéaire en chaque argument.
• Symétrique/Hermitienne : $\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}$.
• Définie positive : $\langle u, u \rangle > 0$ pour $u \neq 0$.
• La norme d'un vecteur $u$ est $|u| = \sqrt{\langle u, u \rangle}$. La norme représente la longueur du vecteur.
• Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si $\langle u, v \rangle = 0$. Ils sont perpendiculaires l’un à l’autre.
• Une base orthogonale est une base où tous les vecteurs sont orthogonaux deux à deux. Les calculs sont simplifiés car les vecteurs sont indépendants.
• Une base orthonormée est une base orthogonale où tous les vecteurs ont une norme de 1. C’est une base orthogonale dont tous les vecteurs sont unitaires.
• Le procédé de Gram-Schmidt permet d'orthonormaliser une base quelconque. Il transforme une base en une base orthogonale, puis orthonormée.

Fonctions trigonométriques

• Ce chapitre porte sur les fonctions trigonométriques.

1.1 Angles

• La mesure en radians est une méthode utilisée pour quantifier les angles.
• Un angle de 1 radian est sous-tendu au centre d'un cercle par un arc d'une longueur égale au rayon du cercle.

Formules de conversion

• Convertir les degrés en radians nécessite de multiplier par $\frac{\pi}{180}$.
• Convertir les radians en degrés nécessite de multiplier par $\frac{180}{\pi}$.
• Longueur de l'arc : $s = r\theta$, où $\theta$ est en radians

Exemple 1

• Convertir $60^\circ$ en radians : $60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$
• Convertir $\frac{\pi}{6}$ rad en degrés : $\frac{\pi}{6} \text{ rad} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{180}{\pi} = 30^\circ$

Exemple 2

• Trouver la longueur d'un arc d'un cercle avec un rayon de 10 m qui soutend un angle central de $30^\circ$.
• La conversion de $30^\circ$ en radians : $30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
• Calculer la longueur de l'arc : $s = r\theta = 10 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} \text{ m}$.

1.2 Les fonctions trigonométriques

• Pour un angle $\theta$ en position standard, soit $P(x, y)$ un point sur le côté terminal de $\theta$ et soit $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ la distance de l'origine à $P$.
• Définitions des fonctions trigonométriques :
• sine: $\sin \theta = \frac{y}{r}$, cosecant: $\csc \theta = \frac{r}{y}$
• cosine: $\cos \theta = \frac{x}{r}$, secant: $\sec \theta = \frac{r}{x}$
• tangent: $\tan \theta = \frac{y}{x}$, cotangent: $\cot \theta = \frac{x}{y}$

Exemple 3

• Si $(-4, 3)$ est un point sur le côté terminal de $\theta$, déterminer les valeurs des six fonctions trigonométriques de $\theta$.
• $x = -4$, $y = 3$, $r = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$.
• $\sin \theta = \frac{3}{5}, \cos \theta = -\frac{4}{5}, \tan \theta = -\frac{3}{4}, \csc \theta = \frac{5}{3}, \sec \theta = -\frac{5}{4}, \cot \theta = -\frac{4}{3}$.

Fonctions trigonométriques des angles aigus

• $\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, $\tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.
• $\csc \theta = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}$, $\sec \theta = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}$, $\cot \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}$.

Exemple 4

• Déterminer les valeurs des six fonctions trigonométriques de $\theta$ dans la figure.
• $\sin \theta = \frac{5}{13}$, $\cos \theta = \frac{12}{13}$, $\tan \theta = \frac{5}{12}$, $\csc \theta = \frac{13}{5}$, $\sec \theta = \frac{13}{12}$, $\cot \theta = \frac{12}{5}$.

Fonctions trigonométriques de certains angles spéciaux

Exemple 5

• Évaluer :
• (a) $\sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
• (b) $(\sin \frac{\pi}{3})(\tan \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}$.

Signes des fonctions trigonométriques

Exemple 6

• Déterminer le quadrant dans lequel $\theta$ se trouve si $\sin \theta > 0$ et $\cos \theta < 0$.
• $\sin \theta > 0$ dans les quadrants I et II.
• $\cos \theta < 0$ dans les quadrants II et III.
• Par conséquent, $\theta$ doit être dans le quadrant II.

Angles de référence

• Soit $\theta$ un angle dans la position standard. Son angle de référence $\overline{\theta}$ est l'angle aigu (non négatif et inférieur à $90^\circ$) formé par le côté terminal de $\theta$ et l'axe des x.

Exemple 7

• Déterminer l'angle de référence pour :
• (a) $\theta = \frac{5\pi}{6}$ : $\overline{\theta} = \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
• (b) $\theta = \frac{8\pi}{3}$ : $\frac{8\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3}$, $\overline{\theta} = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
• (c) $\theta = -150^\circ$ : $\overline{\theta} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Exemple 8

• Déterminer :
• (a) $\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
• (b) $\cos \frac{8\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
• (c) $\tan(-150^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Theorie Des Perturbations Chirales (Lecture 24)

• C'est une théorie efficace des champs pour décrire les interactions des pions à basses énergies.

Références

• S. Scherer, Advanced Quantum Mechanics, Springer 2003
• "QCD chiral symmetry and its breaking" lecture notes by Aneesh Manohar

Résumé

• Les symétries globales de QCD sont passées en revue.
• Le concept de brisure de symétrie chirale est exposé.
• Les interactions des pions à basses énergies sont décrites.

Lagrangien QCD

• Le lagrangien QCD avec $N_{f}$ est donné par :

  $\qquad \mathcal{L}{Q C D}=\sum{q=u, d, s...} \bar{q}\left(i \gamma^{\mu} D_{\mu}-m_{q}\right) q+\mathcal{L}_{\text {gluons }}$

  où $D_{\mu}=\partial_{\mu}-i g A_{\mu}$.

• $\mathcal{L}_{\text {gluons }}$ contient le terme d'énergie cinétique des gluons ainsi que les termes de fixation de jauge.

Symétries du Lagrangien QCD

• Dans la limite des quarks sans masse, le Lagrangien QCD a la symétrie globale suivante :

  $\qquad S U\left(N_{f}\right){L} \times S U\left(N{f}\right){R} \times U(1){V} \times U(1)_{A}$

  où les courants vectoriels et axiaux sont

  $\qquad J_{V}^{\mu}=\bar{q} \gamma^{\mu} q, \quad J_{A}^{\mu}=\bar{q} \gamma^{\mu} \gamma^{5} q$

• La symétrie $U(1){V}$ correspond à la conservation du nombre baryonique, tandis que la symétrie $U(1){A}$ est explicitement rompue par les effets quantiques.

Rupture de Symétrie Chirale

• La symétrie chirale est spontanément rompue:

  $\qquad S U\left(N_{f}\right){L} \times S U\left(N{f}\right){R} \rightarrow S U\left(N{f}\right)_{V}$

  conduisant à $N_{f}^{2}-1$ bosons de Goldstone.

• Pour $N_{f}=3$, ce sont les huit mésons pseudoscalaires $\pi^{\pm}, \pi^{0}, K^{\pm}, K^{0}, \bar{K}^{0}, \eta$.

• Le paramètre d'ordre pour la rupture de symétrie chirale est la condensation de quarks $\langle 0|\bar{q} q| 0\rangle \neq 0$.

• Puisque les quarks ne sont pas sans masse, la symétrie chirale est explicitement rompue par les masses des quarks.

• Les bosons de Goldstone ne sont donc pas sans masse, mais ont une masse proportionnelle aux masses des quarks. Ils sont appelés bosons Pseudo-Goldstone.

Lagrangien Effectif

• Le lagrangien effectif décrivant les interactions des bosons Pseudo-Goldstone peut être écrit en termes des champs de pions $\pi^{a}(x)$ comme :

  $\qquad \mathcal{L}{\text {eff }}=\frac{f{\pi}^{2}}{4} \operatorname{Tr}\left(\partial_{\mu} U \partial^{\mu} U^{\dagger}\right)+\frac{f_{\pi}^{2} B_{0}}{2} \operatorname{Tr}\left(m\left(U+U^{\dagger}\right)\right)+\ldots$

  où $U=\exp \left(i \pi^{a} \tau^{a} / f_{\pi}\right)$.

• $f_{\pi} \approx 93 \mathrm{MeV}$ est la constante de désintégration du pion, $B_{0}=-\langle 0|\bar{q} q| 0\rangle / f_{\pi}^{2}$ et $m$ est la matrice de masse des quarks.

• Les $\tau^{a}$ sont les matrices de Pauli.

• Le premier terme du lagrangien effectif décrit l'énergie cinétique des pions et leurs interactions.

• Le second terme décrit la rupture explicite de la symétrie chirale due aux masses des quarks et donne lieu aux masses des pions.

Diffusion Pion-Pion

• Le lagrangien effectif peut être utilisé pour calculer l'amplitude de diffusion pour la diffusion pion-pion.

• À l'ordre principal dans le développement de l'impulsion, l'amplitude de diffusion pour $\pi^{a} \pi^{b} \rightarrow \pi^{c} \pi^{d}$ est donnée par :

  $\qquad \mathcal{A}(s, t, u)=\frac{s-m_{\pi}^{2}}{f_{\pi}^{2}} \delta^{a b} \delta^{c d}+\frac{t-m_{\pi}^{2}}{f_{\pi}^{2}} \delta^{a c} \delta^{b d}+\frac{u-m_{\pi}^{2}}{f_{\pi}^{2}} \delta^{a d} \delta^{b c}$

  où $s, t, u$ sont les variables de Mandelstam.

Trading Algorithmique

• Le trading algorithmique utilise des ordinateurs pour prendre des décisions de trading et exécuter automatiquement des transactions.

Qu'est-ce que le trading algorithmique ?

• Également connu sous le nom de « Algo Trading » ou « Black-Box Trading ».
• Il utilise des ordinateurs pour prendre des décisions de trading.
• Il peut exécuter des transactions automatiquement en fonction d'instructions préprogrammées.
• Objectif : Générer des profits à une vitesse et une fréquence impossibles pour un trader humain.

Avantages du trading algorithmique

• Vitesse : Les algorithmes peuvent analyser les données et exécuter les transactions beaucoup plus rapidement que les humains.
• Efficacité : Trader 24 heures sur 24, 7 jours sur 7 sans intervention humaine.
• Influence émotionnelle réduite : Supprime l'émotion des décisions de trading.
• Diversification : Facile à trader sur plusieurs marchés et instruments.
• Backtesting : Tester rigoureusement les stratégies sur des données historiques.

Stratégies de trading algorithmique courantes

• Suivi de tendance : Identifier et capitaliser sur les tendances dominantes. Acheter lorsque le prix a une tendance à la hausse, vendre quand il a une tendance à la baisse.
• Retour à la moyenne : Parier sur le retour des prix à leur moyenne ou valeur moyenne. Acheter lorsque le prix baisse en dessous de sa moyenne, vendre lorsqu'il grimpe au-dessus.
• Arbitrage : Exploiter de minuscules différences de prix du même actif sur différentes bourses. Acheter à bas prix sur une bourse, vendre à prix élevé sur une autre.
• Tenue de marché : Placer des ordres d'achat et de vente pour fournir des liquidités et gagner l'écart entre les prix d'achat et de vente.
• Arbitrage statistique : Stratégies complexes qui utilisent des modèles statistiques pour identifier les erreurs de prix entre des actifs connexes.

Composants clés d'un système de trading algorithmique

• Flux de données : Les données de marché en temps réel sont cruciales.
• Logique de stratégie : L'algorithme de base qui définit les règles de trading.
• Gestion des risques : Règles pour limiter les pertes potentielles.
• Moteur d'exécution : La partie du système qui envoie des ordres à la bourse.
• Plateforme de backtesting : Pour évaluer la performance de la stratégie sur des données historiques.

Défis

• Surajustement : Une stratégie qui fonctionne bien sur des données historiques peut échouer en trading réel.
• Latence : La vitesse est cruciale, les retards peuvent éroder les bénéfices.
• Évolutions du marché : Les stratégies doivent s'adapter aux conditions changeantes du marché.
• Conformité réglementaire : Doit se conformer aux réglementations en matière de trading.
• Problèmes techniques : Les défaillances du système peuvent entraîner des pertes importantes.

Le trading algorithmique est-il fait pour vous ?

• Nécessite des compétences en programmation, une compréhension des marchés financiers et une gestion des risques.
• Ce n'est pas une méthode pour « devenir riche rapidement ».
• L'apprentissage continu et l'adaptation sont essentiels.
• Commencer petit, tester rigoureusement et gérer les risques.

Chapitre 1 Logique et raisonnement

1.1 Propositions

Définition 1.1.1

• Une proposition (ou énoncé) est une phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux.

Exemple 1.1.1

• Les énoncés suivants sont des propositions :
• La neige est blanche.
• 2 + 2 = 4
• Toronto est la capitale du Canada.

Exemple 1.1.2

• Les énoncés suivants ne sont pas des propositions :
• Quelle heure est-il ?
• Lis attentivement ceci.
• $x + 1 = 2$

Définition 1.1.2

• La valeur de vérité d'une proposition est vraie, notée par $V$, si elle est une proposition vraie et fausse, notée par $F$, si elle est une proposition fausse.

Définition 1.1.3

• Une proposition est dite simple si elle ne peut pas être divisée en propositions plus petites.
• Une proposition est dite composée si elle est formée de deux propositions ou plus.

Exemple 1.1.3

• « Le Canada est un pays » est une proposition simple.
• « Le Canada est un pays et Toronto est sa capitale » est une proposition composée.

Définition 1.1.4

• Si $p$ est une proposition, alors la négation de $p$, notée $\neg p$ (ou $\bar{p}$), est l'énoncé « Il n'est pas vrai que $p$ ».
• La proposition $\neg p$ est lue « non $p$ ».
• Si $p$ est vraie, alors $\neg p$ est fausse ; si $p$ est fausse, alors $\neg p$ est vraie.

Exemple 1.1.4

• Trouver la négation des propositions suivantes :
• «Aujourd'hui, c'est jeudi.»
• «Il n'y a pas de pollution à New Delhi.»
• «2 + 1 = 3»
• Solution :
• «Il n'est pas vrai qu'aujourd'hui est jeudi.» ou «Aujourd'hui n'est pas jeudi.»
• «Il n'est pas vrai qu'il n'y a pas de pollution à New Delhi.» ou «Il y a de la pollution à New Delhi.»
• «Il n'est pas vrai que 2 + 1 = 3.» ou «2 + 1 $\neq$ 3.»
• La table de vérité pour la négation de $p$ est donnée comme suit :

Programmation Dynamique (Lecture 14)

Nombres de Fibonacci

• Les nombres de Fibonacci sont définis comme suit :

  $$ F(n) = \begin{cases} 0 & \text{si } n = 0 \ 1 & \text{si } n = 1 \ F(n-1) + F(n-2) & \text{si } n > 1 \end{cases} $$

• Une implémentation récursive directe est terriblement inefficace.

• L'usage de la programmation dynamique permet de calculer $F(n)$ en temps $O(n)$.

• Implémentation en Python :

  def fibonacci(n):
   F =  * (n + 1)
   F = 0
   F = 1
   for i in range(2, n + 1):
   F[i] = F[i-1] + F[i-2]
   return F[n]
  

Coefficients Binomiaux

• Les coefficients binomiaux sont définis comme suit :

  $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

• $\binom{n}{k}$ est le nombre de manières de choisir $k$ objets parmi un ensemble de $n$ objets.

• Les coefficients binomiaux peuvent être calculés en utilisant la récurrence suivante :

  $$ \binom{n}{k} = \begin{cases} 1 & \text{si } k = 0 \text{ ou } k = n \ \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} & \text{si } 0 < k < n \end{cases} $$

• Une implémentation récursive directe est terriblement inefficace.

• L'usage de la programmation dynamique permet de calculer $\binom{n}{k}$ en temps $O(nk)$.

• Implémentation en Python :

  def binomial_coefficient(n, k):
   C = [[0 for i in range(k + 1)] for j in range(n + 1)]
   for i in range(n + 1):
   for j in range(min(i, k) + 1):
   if j == 0 or j == i:
   C[i][j] = 1
   else:
   C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]
   return C[n][k]
  

Distance d'Édition (Edit Distance)

• La distance d'édition entre deux chaînes de caractères $x$ et $y$ est le nombre minimal d'opérations d'édition nécessaires pour transformer $x$ en $y$.

• Les opérations d'édition sont :

• Insertion : insérer un caractère dans $x$.

• Suppression : supprimer un caractère de $x$.

• Substitution : remplacer un caractère dans $x$ par un caractère différent.

• Soit $m = |x|$ et $n = |y|$. Soit $E(i, j)$ la distance d'édition entre $x[1..i]$ et $y[1..j]$.

• La distance d'édition peut être calculée en utilisant la récurrence suivante :

  $$ E(i, j) = \begin{cases} j & \text{si } i = 0 \ i & \text{si } j = 0 \ E(i-1, j-1) & \text{si } x[i] = y[j] \ 1 + \min{E(i-1, j), E(i, j-1), E(i-1, j-1)} & \text{si } x[i] \neq y[j] \end{cases} $$

• L'usage de la programmation dynamique permet de calculer $E(m, n)$ en temps $O(mn)$.

• Implémentation en Python :

  def edit_distance(x, y):
   m = len(x)
   n = len(y)
   E = [[0 for j in range(n + 1)] for i in range(m + 1)]
   for i in range(m + 1):
   E[i] = i
   for j in range(n + 1):
   E[j] = j
   for i in range(1, m + 1):
   for j in range(1, n + 1):
   if x[i-1] == y[j-1]:
   E[i][j] = E[i-1][j-1]
   else:
   E[i][j] = 1 + min(E[i-1][j], E[i][j-1], E[i-1][j-1])
   return E[m][n]
  

Relations (Relations)

• Une relation entre deux ensembles est une collection de paires ordonnées, indiquant une certaine association entre les éléments des ensembles.

Définition

• Une relation R entre deux ensembles A et B est un sous-ensemble du produit cartésien $A \times B$, c'est-à-dire $R \subseteq A \times B$.

Représentations Possibles

• Possibilité d'écriture de l'ensemble.
• Représentations graphiques.
• Représentations matricielles.

Écriture d'un ensemble

$R = {(a, b) \mid a \in A, b \in B, aRb }$

Représentation Graphique

• Nœuds : Éléments des ensembles $A$ et $B$.
• Arêtes : $(a, b) \in R$ est représenté par une arête de $a$ vers $b$.

Représentation Matricielle

• Matrice $m \times n$ $M_R$ avec $M_R[i, j] = \begin{cases} 1, & \text{if } (a_i, b_j) \in R \ 0, & \text{autrement} \end{cases}$ où $A = {a_1, a_2, \dots, a_m}$ et $B = {b_1, b_2, \dots, b_n}$

Propriétés des Relations

• Les propriétés des relations incluent la réflexivité, la symétrie, la transitivité et les relations d'équivalence.

Réflexivité

• Une relation R sur un ensemble A est réflexive si $(a, a) \in R$ pour tous $a \in A$.

Symétrie

• Une relation R sur un ensemble A est symétrique si pour tous $(a, b) \in R$, également $(b, a) \in R$.

Transitivité

• Une relation R sur un ensemble A est transitive si pour tous $(a, b) \in R$ et $(b, c) \in R$, également $(a, c) \in R$.

Relation d'équivalence

• Une relation R sur un ensemble A est une relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.

Exemple

Sei $A = {1, 2, 3}$ and $R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}$.

• Réflexif : Oui, puisque $(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
• Symétrique : Oui, car pour $(1, 2) \in R$, également $(2, 1) \in R$.
• Transitif : Non, car $(1, 2) \in R$ et $(2, 1) \in R$, mais $(1, 1) \in R$ est déjà donné. Si $(1, 3)$ et $(3, 2)$ étaient dans $R$, mais pas $(1, 2)$, alors ce ne serait pas transitif, car $(1, 2)$ est déjà donné.
• Ce n'est pas une relation d'équivalence car elle n'est pas transitive.

Système de Trading Algorithmique

• Explore la recherche quantitative, la stratégie de trading, le développement logiciel, et le déploiement, détaillant chaque phase essentielle.

Recherche Quantitative

• Implique la collecte, le nettoyage, l'analyse de données, la modélisation, et le backtesting.

Sources De Données

• Fournisseurs de données financières : Bloomberg, Refinitiv.
• Données alternatives : Médias sociaux, analyses de sentiment.

Nettoyage et Prétraitement Des Données

• Gestion des valeurs manquantes.
• Suppression des valeurs aberrantes.
• Normalisation.

Ingénierie Des Caractéristiques

• Indicateurs techniques : Moyennes mobiles, RSI, MACD.
• Mesures de la volatilité : Écart-type, ATR.
• Caractéristiques statistiques : Corrélation, coefficients de régression