Introduction à l'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

• L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques qui étudie les espaces vectoriels et les transformations linéaires entre ces espaces.

Définitions fondamentales

• Un espace vectoriel E est un ensemble muni de deux opérations : l'addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire, respectant certaines propriétés.
• Addition : $(u, v) \in E^2 \rightarrow u + v \in E$
• Multiplication par un scalaire : $(\lambda, u) \in \mathbb{R} \times E \rightarrow \lambda \cdot u \in E$
• Une famille de vecteurs $(v_1,..., v_n)$ est un sous-ensemble de E.
• Une combinaison linéaire de vecteurs $(v_1,..., v_n)$ est un vecteur obtenu en multipliant chaque vecteur par un scalaire et en les sommant : $\lambda_1 \cdot v_1 +... + \lambda_n \cdot v_n$, où $(\lambda_1,..., \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$
• $\text{Vect}(v_1,..., v_n)$ désigne l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de $(v_1,..., v_n)$, formant un sous-espace vectoriel de E.
• Une famille $(v_1,..., v_n)$ est génératrice si $\text{Vect}(v_1,..., v_n) = E$, c'est-à-dire si toute vecteur de E peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.
• Une famille $(v_1,..., v_n)$ est libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls : $\lambda_1 \cdot v_1 +... + \lambda_n \cdot v_n = 0 \Rightarrow \lambda_1 =... = \lambda_n = 0$.
• Une base de E est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice.
• La dimension de E, notée dim(E), est la taille commune de toutes les bases de E si E admet une base de taille finie.
• Pour un sous-espace vectoriel F de E, $F \subset E$ et $\dim(F) \leq \dim(E)$.

Théorèmes clés

• Théorème de la base incomplète : Dans un espace vectoriel de dimension finie, toute famille libre peut être complétée pour former une base de l'espace.
• Dans un espace vectoriel E de dimension finie n :
• Une famille de n vecteurs est une base de E si et seulement si elle est libre.
• Une famille de n vecteurs est une base de E si et seulement si elle est génératrice.

Applications linéaires

• Une application $f : E \rightarrow F$ est linéaire si elle préserve l'addition et la multiplication par un scalaire :
• $f(u + v) = f(u) + f(v), \forall u, v \in E$
• $f(\lambda \cdot u) = \lambda \cdot f(u), \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in E$
• Le noyau de f, noté $\text{Ker}(f) = {u \in E \mid f(u) = 0_F}$, est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul de F. C'est un sous-espace vectoriel de E.
• L'image de f, notée $\text{Im}(f) = {f(u) \mid u \in E}$, est l'ensemble des images de tous les vecteurs de E par f. C'est un sous-espace vectoriel de F.
• Théorème du rang : Pour une application linéaire f avec E de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.
• f est injective si et seulement si $\text{Ker}(f) = {0_E}$.
• f est surjective si et seulement si $\text{Im}(f) = F$.
• f est bijective si et seulement si f est à la fois injective et surjective.

Matrices

• Une matrice est un tableau de nombres, avec m lignes et n colonnes pour une matrice de taille $m \times n$. $a_{ij}$ désigne l'élément à la i-ème ligne et j-ème colonne.
• L'addition de matrices de même taille se fait élément par élément : $(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}$.
• La multiplication d'une matrice par un scalaire multiplie chaque élément de la matrice : $(\lambda \cdot A){ij} = \lambda \cdot a{ij}$.
• La multiplication de deux matrices A et B est possible si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est de taille $m \times n$ et B est de taille $n \times p$, alors $A \cdot B$ est de taille $m \times p$. $(A \cdot B){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$.
• La transposée de A, $A^T$, est obtenue en inversant les lignes et les colonnes : $(A^T){ij} = a{ji}$.
• Une matrice A est inversible s'il existe $A^{-1}$ telle que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$, où $I_n$ est la matrice identité de taille $n \times n$.
• Le déterminant d'une matrice carrée A, det(A), indique si A est inversible : A est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

Valeurs propres et vecteurs propres

• Soit $f : E \rightarrow E$ une application linéaire.
• $\lambda \in \mathbb{R}$ est une valeur propre de f s'il existe un vecteur non nul $v \in E$ tel que $f(v) = \lambda \cdot v$.
• v est un vecteur propre de f associé à $\lambda$ si $f(v) = \lambda \cdot v$.
• $E_\lambda = {v \in E \mid f(v) = \lambda \cdot v}$ est le sous-espace propre associé à $\lambda$.
• Le polynôme caractéristique de f est $P_f(\lambda) = \det(f - \lambda \cdot \text{Id}_E)$. Les valeurs propres de f sont les racines de $P_f(\lambda)$.
• f est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de f.
• Si f admet n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable.

Produit scalaire et orthogonalité

• Un produit scalaire sur E est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E^2 \rightarrow \mathbb{R}$ qui satisfait les propriétés suivantes :
• $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle, \forall u, v \in E$ (symétrie)
• $\langle \lambda \cdot u + \mu \cdot v, w \rangle = \lambda \cdot \langle u, w \rangle + \mu \cdot \langle v, w \rangle, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}, \forall u, v, w \in E$ (linéarité à gauche)
• $\langle u, u \rangle \geq 0, \forall u \in E$ et $\langle u, u \rangle = 0 \Leftrightarrow u = 0_E$ (définie positive)
• La norme d'un vecteur u est $||u|| = \sqrt{\langle u, u \rangle}$.
• u et v sont orthogonaux si $\langle u, v \rangle = 0$.
• Une base orthonormale de E est une base $(e_1,..., e_n)$ telle que $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$, où $\delta_{ij} = 1$ si $i = j$ et $\delta_{ij} = 0$ si $i \neq j$.
• Le procédé de Gram-Schmidt est une méthode pour construire une base orthonormale à partir d'une base quelconque.