Introduction à la loi de Poisson

Introduction à la loi de Poisson

• La loi de Poisson calcule la probabilité d'un événement dans un intervalle de temps lorsque les chances de l'événement sont faibles et le nombre d'essais élevé.
• Elle est utilisée pour la gestion des stocks, le contrôle qualité, l'étude des sinistres, l'analyse des files d'attente et l'étude des appels téléphoniques.
• Les conditions du processus de Poisson incluent une probabilité d'événement proportionnelle à Δt (p·Δt), l'indépendance des événements, et une probabilité négligeable de deux apparitions sur le même Δt.
• Des exemples de phénomènes poissonniens sont les pannes de machines, les accidents d'avion et les fautes dans un texte.

Définition mathématique

• Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre λ (λ > 0), notée P(λ).
• La formule de la loi de Poisson est : P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!.
• Dans cette formule, e est la constante mathématique (≈ 2,718), k est le nombre d'événements, k! est la factorielle de k, et λ est le paramètre lambda.
• Par convention, 0! = 1.

Espérance et Variance

• Pour une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ :
• L'espérance mathématique est E(X) = λ = n × p
• L'écart type est σ(X) = √λ = √(n × p)

Relations avec d'autres lois

• Elle sert d'approximation à la loi binomiale lorsque n est grand et p est petit.
• La loi de Poisson peut être définie comme la limite d'une loi binomiale.
• Un avantage majeur est son paramètre unique λ, facilitant sa tabulation et son utilisation.

Méthodes de calcul des probabilités

• Calcul ponctuel : P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!
• Exemple : Pour λ = 2 et k = 3, P(X = 3) ≈ 0,180 (18%).
• Calcul cumulatif : P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k)
• Exemple : Pour λ = 2 et k = 2, P(X ≤ 2) ≈ 0,677 (67,7%).
• P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)
• P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a-1)

Utilisation de la calculatrice

• Pour calculer P(X = k) sur une calculatrice Casio : MENU → STAT → EXE → F5 (DIST) → F1 (POISN) → F1 (Ppd), puis entrer la valeur de k et λ.
• Pour calculer P(X ≤ k) sur une calculatrice Casio : MENU → STAT → EXE → F5 (DIST) → F1 (POISN) → F2 (Pcd), puis entrer la valeur de k et λ.
• Les instructions peuvent varier selon le modèle de calculatrice (Casio Graph 35+, TI-Nspire, TI-83).

Exemples résolus

• Exemple 1 (Contrôle qualité) : Avec n = 100 et p = 0,02, λ = 2 et P(X = 3) ≈ 0,180 (18%).
• Exemple 2 (Carte électronique) : Avec λ = 2, la probabilité d'avoir au maximum 2 défauts est P(X ≤ 2) ≈ 0,677 (67,7%).

Astuces pour les exercices

• Identifiez λ : soit donné, soit calculé par λ = n × p.
• Choisissez la méthode de calcul : formule directe pour P(X = k), fonction cumulative pour P(X ≤ k), et 1 - P(X ≤ k-1) pour P(X ≥ k).
• Conventions : 0! = 1 et pour k = 0 : P(X = 0) = e^(-λ).