Introduction à la géométrie

• La géométrie est une branche des mathématiques qui traite des formes, des tailles, des positions relatives des figures et des propriétés de l'espace.

Figures géométriques de base

• Point : Un emplacement spécifique, représenté par un point, sans taille ni dimension.
• Ligne : Un arrangement droit et continu d'une infinité de points s'étendant à l'infini dans les deux sens.
• Plan : Une surface plane bidimensionnelle qui s'étend à l'infini.
• Segment de ligne : Une partie d'une ligne entre deux points d'extrémité.
• Rayon : Une partie d'une ligne qui commence à un point d'extrémité et s'étend à l'infini dans une seule direction.

Angles

• Angle : Formé par deux rayons partageant un point d'extrémité commun (sommet).
• Angle aigu : Un angle mesurant plus de 0° et moins de 90°.
• Angle droit : Un angle mesurant exactement 90°.
• Angle obtus : Un angle mesurant plus de 90° et moins de 180°.
• Angle plat : Un angle mesurant exactement 180°.
• Angle rentrant : Un angle mesurant plus de 180° et moins de 360°.
• Angles complémentaires : Deux angles dont les mesures s'additionnent pour donner 90°.
• Angles supplémentaires : Deux angles dont les mesures s'additionnent pour donner 180°.
• Angles verticaux : Une paire d'angles opposés formés par des lignes qui se croisent ; ils sont congruents (égaux).

Lignes et leurs relations

• Lignes parallèles : Lignes dans un plan qui ne se croisent jamais ; elles ont la même pente.
• Lignes perpendiculaires : Lignes qui se croisent à un angle droit (90°).
• Transversale : Une ligne qui coupe deux autres lignes ou plus.

Polygones

• Polygone : Une forme bidimensionnelle fermée formée de segments de droite.
• Triangle : Un polygone à trois côtés et trois angles ; la somme de ses angles est de 180°.
• Types de triangles :
  • Équilatéral : Les trois côtés ont la même longueur et les trois angles mesurent 60°.
  • Isocèle : Deux côtés ont la même longueur et les angles opposés à ces côtés sont égaux.
  • Scalène : Les trois côtés ont des longueurs différentes et les trois angles sont différents.
  • Triangle rectangle : Contient un angle droit (90°).
  • Triangle aigu : Tous les angles sont aigus (moins de 90°).
  • Triangle obtus : Contient un angle obtus (plus de 90°).
• Quadrilatère : Un polygone à quatre côtés et quatre angles ; la somme de ses angles est de 360°.
• Types de quadrilatères :
  • Carré : Les quatre côtés sont égaux et les quatre angles sont des angles droits.
  • Rectangle : Les côtés opposés sont égaux et les quatre angles sont des angles droits.
  • Parallélogramme : Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur ; les angles opposés sont égaux.
  • Losange : Les quatre côtés sont égaux et les angles opposés sont égaux.
  • Trapèze : A au moins une paire de côtés parallèles.
  • Cerf-volant : Deux paires de côtés adjacents sont de même longueur.
• Pentagone : Un polygone à cinq côtés et cinq angles.
• Hexagone : Un polygone à six côtés et six angles.
• Heptagone : Un polygone à sept côtés et sept angles.
• Octogone : Un polygone à huit côtés et huit angles.
• Décagone : Un polygone à dix côtés et dix angles.
• N-gone : Un polygone à n côtés et n angles.
• Polygone régulier : Un polygone dont tous les côtés et tous les angles sont égaux.

Cercles

• Cercle : Un ensemble de tous les points d'un plan qui se trouvent à une distance fixe d'un point central.
• Rayon : La distance entre le centre du cercle et n'importe quel point du cercle.
• Diamètre : La distance à travers le cercle en passant par le centre ; deux fois le rayon.
• Circonférence : La distance autour du cercle ; calculée par 2πr ou πd, où r est le rayon et d est le diamètre.
• Aire : La quantité d'espace à l'intérieur du cercle ; calculée par πr².
• Pi (π) : Une constante mathématique approximativement égale à 3,14159.
• Corde : Un segment de ligne reliant deux points sur un cercle.
• Tangente : Une ligne qui touche un cercle en un seul point.
• Arc : Une partie de la circonférence d'un cercle.
• Secteur : Une région délimitée par deux rayons et un arc de cercle.

Figures tridimensionnelles (solides)

• Géométrie solide : Traite des propriétés et des mesures des figures tridimensionnelles.
• Cube : Un solide à six faces carrées.
• Prisme rectangulaire : Un solide à six faces rectangulaires.
• Sphère : Un solide constitué de l'ensemble de tous les points de l'espace équidistants d'un point central.
• Cylindre : Un solide à deux bases circulaires parallèles reliées par une surface incurvée.
• Cône : Un solide à base circulaire et à surface incurvée qui rétrécit jusqu'à un seul point (sommet).
• Pyramide : Un solide à base polygonale et à faces triangulaires qui se rejoignent en un seul point (sommet).

Périmètre et aire

• Périmètre : La distance totale autour de l'extérieur d'une forme bidimensionnelle.
  • Périmètre d'un carré : 4s (où s est la longueur du côté).
  • Périmètre d'un rectangle : 2l + 2w (où l est la longueur et w est la largeur).
  • Périmètre d'un triangle : a + b + c (où a, b et c sont les longueurs des côtés).
• Aire : La quantité d'espace qu'une forme bidimensionnelle couvre.
  • Aire d'un carré : s² (où s est la longueur du côté).
  • Aire d'un rectangle : lw (où l est la longueur et w est la largeur).
  • Aire d'un parallélogramme : bh (où b est la base et h est la hauteur).
  • Aire d'un triangle : 1/2 * bh (où b est la base et h est la hauteur).
  • Aire d'un trapèze : 1/2 * (b1 + b2) * h (où b1 et b2 sont les longueurs des côtés parallèles et h est la hauteur).

Volume et aire de la surface

• Volume : La quantité d'espace qu'un objet tridimensionnel occupe.
  • Volume d'un cube : s³ (où s est la longueur du côté).
  • Volume d'un prisme rectangulaire : lwh (où l est la longueur, w est la largeur et h est la hauteur).
  • Volume d'un cylindre : πr²h (où r est le rayon et h est la hauteur).
  • Volume d'un cône : 1/3 * πr²h (où r est le rayon et h est la hauteur).
  • Volume d'une sphère : 4/3 * πr³ (où r est le rayon).
• Aire de la surface : L'aire totale de toutes les surfaces d'un objet tridimensionnel.
  • Aire de la surface d'un cube : 6s² (où s est la longueur du côté).
  • Aire de la surface d'un prisme rectangulaire : 2lw + 2lh + 2wh (où l est la longueur, w est la largeur et h est la hauteur).
  • Aire de la surface d'un cylindre : 2πr² + 2πrh (où r est le rayon et h est la hauteur).
  • Aire de la surface d'une sphère : 4πr² (où r est le rayon).

Géométrie des coordonnées

• Plan des coordonnées : Un plan formé de deux droites numériques perpendiculaires (axe des x et axe des y), utilisé pour localiser les points.
• Coordonnées : Une paire ordonnée (x, y) qui représente la position d'un point sur le plan des coordonnées.
• Quadrants : Les quatre régions du plan des coordonnées, numérotées I, II, III et IV.
• Formule de distance : Utilisée pour calculer la distance entre deux points (x1, y1) et (x2, y2).
  • Formule : √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Transformations

• Transformation : Un changement dans la position, la taille ou la forme d'une figure géométrique.
• Translation : Un glissement d'une figure le long d'une ligne droite sans changer sa taille ou sa forme.
• Rotation : Un tour d'une figure autour d'un point fixe.
• Réflexion : Un retournement d'une figure par rapport à une ligne (ligne de réflexion).
• Homothétie : Un agrandissement ou une réduction d'une figure, modifiant sa taille mais pas sa forme.
• Congruence : Les figures sont congruentes si elles ont la même taille et la même forme.
• Similitude : Les figures sont similaires si elles ont la même forme mais des tailles différentes ; leurs côtés correspondants sont proportionnels et leurs angles correspondants sont égaux.

Pavages

• Pavage : Un motif composé de formes répétées qui recouvrent un plan sans espaces ni chevauchements.
• Pavage régulier : Un pavage composé d'un seul type de polygone régulier.
• Pavage semi-régulier : Un pavage composé de deux polygones réguliers différents ou plus.

Symétrie

• Symétrie : Un objet possède une symétrie s'il peut être transformé (par exemple, réfléchi ou tourné) et rester inchangé.
• Symétrie axiale : Une figure a une symétrie axiale si elle peut être pliée le long d'une ligne de sorte que les deux moitiés correspondent exactement.
• Symétrie de rotation : Une figure a une symétrie de rotation si elle peut être tournée de moins de 360° autour d'un point et avoir toujours la même apparence.