Introduction à la Dérivation

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Introduction à la Dérivation

• La dérivation sert à déterminer les variations d'une fonction.
• Le nombre dérivé est le concept initial fondamental.
• Le lien entre la pente de la tangente à une courbe en un point et les variations de la fonction en ce point est établi.
• La tangente a une pente négative lorsque la fonction est décroissante.
• La tangente a une pente positive lorsque la fonction est croissante.
• L'objectif est de déterminer la pente de la tangente afin de comprendre les variations de la fonction.

Détermination de la Pente d'une Tangente

• Un rappel est fait sur le calcul de la pente d'une droite sécante à la courbe d'une fonction.
• La pente d'une droite sécante passant par deux points A et B se calcule par (f(b) - f(a)) / (b - a).
• Une tangente à la courbe en un point A et une sécante passant par A et un point M proche de A sont construites.
• La distance entre A et M est notée h, donc l'abscisse de M est a + h.
• La pente de la sécante AM est (f(a + h) - f(a)) / h.

Nombre Dérivé et Tangente

• Le point M se rapproche de A lorsque h tend vers 0.
• La sécante se rapproche de la tangente lorsque h tend vers zéro.
• La pente de la sécante s'approche de celle de la tangente lorsque h tend vers zéro.
• La pente de la tangente est la limite de (f(a + h) - f(a)) / h lorsque h tend vers 0.
• Une fonction f est dite dérivable en a si cette limite existe et est égale à un nombre réel l.
• Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), représente cette limite.
• L'équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f'(a) * (x - a) + f(a).

Relation entre Nombre Dérivé et Variations de la Fonction

• L'exemple de la fonction carré (f(x) = x^2) est utilisé pour illustrer la relation.
• Le quotient (f(a + h) - f(a)) / h est calculé pour la fonction carré, simplifiant à 2a + h.
• La limite de ce quotient quand h tend vers 0 est 2a, représentant la pente de la tangente.
• Si a est positif, la pente est positive, et la fonction est croissante.
• Si a est négatif, la pente est négative, et la fonction est décroissante.
• Le nombre dérivé f'(a) est égal à 2a pour la fonction carré.
• La fonction dérivée f'(x) = 2x est définie pour la fonction carré.
• Un formulaire des fonctions dérivées est présenté.

Formulaire des Dérivées de Fonctions de Référence

• f(x) = x^2 a pour dérivée f'(x) = 2x.
• f(x) = ax a pour dérivée f'(x) = a.
• f(x) = a a pour dérivée f'(x) = 0.
• f(x) = x^n a pour dérivée f'(x) = n * x^(n-1).
• La dérivée de a * f(x) est a * f'(x).
• f(x) = √x a pour dérivée f'(x) = 1 / (2√x).

Opérations sur les Fonctions Dérivées

• La dérivée d'une somme de fonctions (u + v)' est u' + v'.
• La dérivée d'un produit de fonctions (u * v)' est u'v + uv'.
• Exemple : dérivée de f(x) = x^3 * √x, avec u = x^3 et v = √x.
• u' = 3x^2 et v' = 1 / (2√x).
• f'(x) = 3x^2 * √x + x^3 * (1 / (2√x)).
• La dérivée d'un quotient de fonctions (u / v)' est (u'v - uv') / v^2.

Théorème de Variation des Fonctions

• Si f'(x) est négative sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) est positive sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) est strictement négative, alors f est strictement décroissante.
• Si f'(x) est strictement positive, alors f est strictement croissante.
• Exemple : f(x) = 2x + 3.
• f'(x) = 2, qui est positif pour tout x.
• Donc f est croissante sur R.

Extrema d'une Fonction

• Si f'(x) s'annule et change de signe en un point c, alors f a un extremum (maximum ou minimum) en c.
• Exemple : f(x) = x^2.
• f'(x) = 2x, s'annule en x = 0.
• f'(x) est négatif pour x < 0 et positif pour x > 0, donc f a un minimum en x = 0.
• Méthode : chercher les points où f'(x) = 0, puis vérifier le changement de signe de f'(x).
• Exemple : f(x) = x^2 + x.
• f'(x) = 2x + 1.
• f'(x) = 0 pour x = -1/2.
• f'(x) change de signe en -1/2 (négatif avant, positif après), donc f a un minimum en x = -1/2.

Introduction à la dérivation pour comprendre comment les variations d'une fonction sont déterminées. Détermination de la pente d'une tangente et son lien avec les variations de la fonction. La pente de la tangente est calculée pour comprendre les variations.