Introducere în Algebra Relațională

• Cursul 2 se axează pe introducerea în algebra relațională, acoperind elemente de bază, operații pe mulțimi, operatori multiset, operatori extinși și bibliografie.

Elemente de Algebră Relațională

• Algebra relațională este un limbaj formal de interogare pentru modelul relațional, oferind mijloace puternice de a construi relații noi din datele existente.
• Când relațiile inițiale sunt date stocate, algebra relațională generează răspunsuri la interogări.
• Expresiile algebrice sunt construite prin aplicarea operatorilor pe operanzi atomici sau alte expresii algebrice.
• În algebra relațională, operanzii sunt variabile ce reprezintă relații și constante, care sunt relații finite.
• În algebra relațională "clasică", operanzii și rezultatele expresiilor sunt mulțimi.
• Operațiile algebrei relaționale sunt grupate în patru clase: operații specifice teoriei mulțimilor, operații de eliminare a unor părți ale unei relații, operații de asociere a tuplurilor și operații de atribuire de nume noi atributelor relației.
• Fiecare operator acceptă instanțe ale unei relații și returnează o altă instanță de relație.
• Operatorii pot fi compuși pentru a forma interogări complexe.
• O frază de interogare corespunde unei expresii algebrice relaționale, definită recursiv ca o relație și un operator aplicat unei expresii, sau ca un operator binar aplicat la două expresii.
• O relație r, cu instanța ei R, este o mulțime de tupluri, notată R = {tupluri ti, unde ti ∈ r}.

Operații pe Mulțimi Aplicate Relațiilor

• Reuniunea (R ∪ S) combină tuplurile din două relații R și S, unde T = {ti : ti ∈ r sau ti ∈ s, ∀ti ∈ t}, cu condiția ca R și S să aibă atribute identice și domenii de valori.
• Nota: rezultatul reuniunii nu conține duplicate.
• Intersecția (R ∩ S) identifică tuplurile comune ambelor relații : T = {ti : ti ∈ r și ti ∈ s, ∀ti ∈ t}, fără duplicate în rezultat.
• Diferența (R - S) returnează tuplurile prezente în R, dar nu și în S: T = {ti | ti ∈ r și ti ∉ s, ∀ti ∈ t}, sau invers pentru S - R.
• Important: R - S ≠ S - R și R ∩ S = R - (R - S).
• Proiecția (π A1, A2,..., Ak(R)) selectează atributele specificate (A1, A2,..., Ak) din relația R.
• Proiecția poate fi definită formal ca π i1, i2,..., ik = {ti | ti = (a1, a2,..., ak), unde ∃ tj ∈ R, astfel încât aj = bj pentru j = 1...k}. Simbolurile a1, a2,... reprezintă atribute din R.
• Selecția (σF(R)) extrage tuplurile din R care îndeplinesc formula (clauza) F, iar schema relatiei obtinuta este identica cu schema relatiei R.
• Operanzii din clauza F sunt constante sau atribute din schema relatiei R, iar operatorii sunt aritmetici sau logici.

Operații pe Mulțimi Aplicate Relațiilor: Produsul Cartezian și Joncțiunea

• Produsul cartezian (R × S) combină fiecare tuplu din R cu fiecare tuplu din S, unde T = {tij | ti = (ri1ri2...riksj1sj2...sjp), ri ∈ R, sj ∈ S}.
• Tuplurile din T reprezintă toate combinațiile posibile.
• Numărul de atribute al produsului cartezian este suma atributelor lui R și S, iar numărul de tupluri este produsul numerelor de tupluri ale relațiilor R și S.
• Joncțiunea (R⋈F S) este o operație compusă care implică produsul cartezian și selecția, obținându-se din produsul cartezian al relațiilor R și S, urmat de o selecție după o condiție F.
• Joncțiunea naturală (R⋈S) realizează joncțiunea după condiția ca "coloanele cu același nume și tip să aibă valori egale", eliminând atributele duplicat prin proiecție.
• Join-ul natural nu tine cont de semnificația coloanelor.
• În SQL, joncțiunea naturală se specifică prin sintaxa NATURAL JOIN în clauza WHERE.
• Joncțiunea externă returnează toate liniile, inclusiv cele care nu îndeplinesc condiția de joncțiune, folosind valoarea nulă pentru atributele fără corespondent.
• Există trei tipuri: stânga (R⟕ S), dreapta (R ⟖ S) și completă (R ⟗ S).
• Joncțiunea externă conține întotdeauna tuplurile din rezultatul joncțiunii generale sub aceeași condiție.

Operații pe Mulțimi Aplicate Relațiilor: Semijoncțiunea

• Semijoncțiunea (R⋉S) este proiecția joncțiunii naturale a două relații pe atributele primei relații: R⋉S = πR(R⋈S).
• O formulă echivalentă este R⋉S = RR⋈S(S).
• Semijoncțiunea lui R în raport cu S include tuplurile din R care participă la joncțiunea naturală cu S.
• Semijoncțiunea nu este simetrică: R⋉S ≠ S⋊R.
• Diferența dintre joncțiunea convențională și semijoncțiune este că semijoncțiunea returnează cel mult o linie din prima tabelă, chiar dacă găsește mai multe linii corespondente în a doua tabelă.
• În limbajul SQL, semijoncțiunea se folosește împreună cu operatorii EXIST și IN.

Operatori pe Multiseturi

• Un multiset acceptă apariții multiple ale elementelor, contrar mulțimilor convenționale care nu conțin duplicate.
• În bazele de date, tabelele sau rezultatele interogărilor pot avea linii duplicat, transformându-le în multiseturi.
• Primele SGBD tratau relațiile ca multiseturi pentru eficiență.
• Dacă utilizatorul nu cere explicit eliminarea duplicatelor, relațiile pot conține duplicate.
• Reuniunea multiseturilor nu elimină duplicatele.
• Intersecția multiseturilor menține duplicatele.

Operatori pe Multiseturi: Proiecția și Observații Generale

• Proiecția în multiseturi funcționează similar cu relațiile, dar nu elimină liniile duplicate.
• Diferenta, produsul cartezian, selectia, joinul, joinul natural și joinul extern sunt calculate similar, dar multiset-urile rezultat pot sa contina linii duplicat.
• Operațiile pot genera linii duplicat doar dacă operanzii le conțin deja.

Operatori Extinși ai Algebrei Relaționale

• Limbajele de interogare moderne includ operații suplimentare, cum ar fi redenumirea, pentru a îmbunătăți funcționalitatea.
• Redenumirea permite redenumirea relațiilor și/sau atributelor.
• Operatorul de redenumire (ρ) redenumirea relatiilor/multiseturilor/cat si a atributelor.
• O relație R(A1, A2,..., An) poate fi redenumită în S(B1, B2,..., Bn), păstrând conținutul, dar schimbând numele atributelor, S = ρR(A1, A2,..., An).
• În SQL, redenumirea se realizează prin definirea aliasurilor de coloană/tabelă în cererile SELECT.

Operatori Extinși ai Algebrei Relaționale: Constructorul și Eliminarea Duplicatelor

• Constructorul permite redenumirea atributelor în rezultatul unei expresii relationale sau multiseturi, de exemplu putem redenumi într-un rezultat un atribut prin constructia.
• În SQL, Constructorul se foloseste pentru aliasul de coloană într-o cerere SELECT.
• Eliminarea duplicatelor se aplică doar multiset-urilor, iar rezultatul este un multiset fără duplicate.
• Notatia operatorului este δ(R).
• Optiunea DISTINCT din SQL are efect de eliminare a duplicatelor, redând o relație (fără duplicate).

Operatori Extinși ai Algebrei Relaționale: Gruparea și Sortarea

• Gruparea grupează rezultatele operațiilor după anumite criterii.
• Sintaxa operatorului de grupare este urmatoarea: Y atribute&functii (R).
• atribute sunt criterii de grupare si apar in rezultatul returnat de operator;
• functii sunt functii de grup ( MIN, MAX, SUM, AVG, COUNT) care se calculeaza la nivelul fiecarui grup si de asemenea apar in rezultatul operatorului.
• În SQL operatorul se aplica prin funcții de grup impreuna cu clauza GROUP BY.
• Sortarea ordonează relația sau multisetul în funcție de atributele specificate.
• În mod normal, datele nu sunt neaparat ordonate.
• În SQL operatorul se aplica atunci cand se fac interogari pentru intocmirea de liste ordonate dupa anumite atribute.
• sortarea se face folosind clauza ORDER BY dintr-o cerere SELECT.

Operatori Extinși ai Algebrei Relaționale: Proiecția Extinsă

• Proiecția extinsă permite definirea de atribute noi, obținute prin calcule pe relații sau multiseturi.
• La proiecția extinsă Sintaxa este urmatoarea: π expresie_1, expresie_2, ... expresie_n (R).
• Duplicatele se elimina sau nu, in functie de rezultatul dorit (relatie sau multiset).
• În SQL, acești operatori sunt implementați în cererea SELECT, folosind operatori sau funcții aplicate pe atributele (coloanele) deja definite.