Introducción al Álgebra Booleana

Study Notes

El álgebra booleana es una rama de las matemáticas que trata con valores lógicos, principalmente verdadero (1) y falso (0).
Utiliza operadores para manipular estos valores y crear expresiones lógicas.
Es fundamental en la informática, el diseño de lógica digital y otras áreas que requieren razonamiento lógico.

Variables: Representan cantidades lógicas (por ejemplo, A, B, C). Pueden tomar valores de 0 o 1.
Operadores: Se utilizan para combinar y manipular variables para producir resultados lógicos. Los operadores clave incluyen:
- AND (∧): Verdadero sólo si ambos operandos son verdaderos. (0 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 0, 1 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1)
- OR (∨): Verdadero si al menos un operando es verdadero. (0 ∨ 0 = 0, 0 ∨ 1 = 1, 1 ∨ 0 = 1, 1 ∨ 1 = 1)
- NOT (¬ o '): Invierte el valor booleano. (¬0 = 1, ¬1 = 0)
Tabla de verdad: Una tabla que muestra la salida de una expresión booleana para todas las posibles combinaciones de entrada de las variables.

Leyes conmutativas: El orden en que los operandos se combinan con AND o OR no cambia el resultado.
- A ∧ B = B ∧ A
- A ∨ B = B ∨ A
Leyes asociativas: La forma en que los operandos se agrupan al combinarlos con AND o OR no cambia el resultado.
- (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
- (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Leyes distributivas: AND distribuye sobre OR, y OR distribuye sobre AND.
- A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
- A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Leyes de absorción: Simplifican las expresiones booleanas al indicar que si A es verdadero o falso, el resultado de A ∧ (A ∨ B) siempre es el mismo que A. Las expresiones simplificadas son:
- A ∧ (A ∨ B) = A
- A ∨ (A ∧ B) = A
Leyes Idempotentes: Los operandos aplicados varias veces al mismo operando producen el mismo operando.
- A ∨ A = A
- A ∧ A = A
Ley de Involución: La doble negación de una variable es igual a la variable original.
- ¬(¬A) = A

Las funciones booleanas son expresiones que asignan valores de entrada a valores de salida.
- Pueden involucrar cualquier combinación de compuertas AND, OR y NOT.
Son fundamentales para comprender cómo funcionan los circuitos binarios y cómo pueden simplificarse.

Simplificación algebraica: Utilizar los teoremas del álgebra booleana para reducir expresiones complejas a formas más simples.
Mapas de Karnaugh: Un método gráfico para simplificar expresiones booleanas con múltiples variables identificando grupos de 1s.

Circuitos digitales: El álgebra booleana es crucial para diseñar y analizar circuitos digitales, incluyendo compuertas, flip-flops y procesadores complejos.
Informática: Fundamental para la arquitectura de computadores, compuertas lógicas y el diseño de software.
Diseño de bases de datos: Utilizada para consultar datos basándose en condiciones lógicas.
Verificación formal: Crucial para validar circuitos digitales según las especificaciones de diseño.
Inteligencia artificial: Se utiliza en el diseño de circuitos lógicos para sistemas de IA y para definir condiciones lógicas para algoritmos y operaciones.