Introducción a las Matrices

Matrices

• Una matriz es un arreglo rectangular de números reales organizados en m filas y n columnas.

Notación

• $A = (a_{ij})$ denota una matriz.
• $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ representa una matriz A con m filas y n columnas, donde los elementos pertenecen a los números reales.

Tipos de Matrices

Matriz Cuadrada

• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, donde el número de filas es igual al número de columnas.
• Diagonal Principal: Los elementos $a_{11}, a_{22},..., a_{nn}$ forman la diagonal principal.
• Matriz Triangular Superior: Elementos $a_{ij} = 0$ para $i > j$.
• Matriz Triangular Inferior: Elementos $a_{ij} = 0$ para $i < j$.
• Matriz Diagonal: Elementos $a_{ij} = 0$ para $i \neq j$.
• Matriz Identidad: $I_n$ es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Rectangular

• $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, donde $m \neq n$.

Matriz Fila

• $A \in \mathbb{R}^{1 \times n}$.

Matriz Columna

• $A \in \mathbb{R}^{m \times 1}$.

Matriz Nula

• $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, con todos los elementos $a_{ij} = 0$.

Matriz Traspuesta

• Dada $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, su traspuesta $A^T \in \mathbb{R}^{n \times m}$ se obtiene intercambiando filas por columnas.
• $(A^T){ij} = a{ji}$.

Matriz Simétrica

• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y $A = A^T$.

Matriz Antisimétrica

• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y $A = -A^T$.

Operaciones con Matrices

• Con $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $c \in \mathbb{R}$.

Suma

• $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$

Resta

• $A - B = (a_{ij} - b_{ij})$

Producto por un escalar

• $cA = (ca_{ij})$

Producto de Matrices

• Si $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$, entonces $C = AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$, donde $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.

Propiedades del Producto de Matrices

• Asociativa: $(AB)C = A(BC)$
• Distributiva: $A(B + C) = AB + AC$ y $(A + B)C = AC + BC$
• No conmutativa: En general, $AB \neq BA$
• El producto de matrices requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.