Introducción a las Derivadas

Introducción a las Derivadas

• El concepto de derivada surgió de problemas clásicos como hallar la tangente a una curva y calcular velocidades instantáneas.

Motivación: Problema de la Tangente

• Dada una función $y = f(x)$, el objetivo es encontrar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en un punto específico $P(a, f(a))$.
• Se considera un punto $Q(a+h, f(a+h))$ cercano sobre la gráfica para formar una recta secante que pasa por $P$ y $Q$.
• La pendiente de la recta secante se calcula como $m_{sec} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• A medida que $Q$ se acerca a $P$ (cuando $h \to 0$), la recta secante se aproxima a la recta tangente en $P$.
• La pendiente de la recta tangente en $P$ se define como $m_{tan} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Motivación: Problema de la Velocidad

• Se considera un objeto moviéndose en línea recta con una posición dada por la ecuación $s = f(t)$, donde $t$ es el tiempo.
• La velocidad promedio en el intervalo $[a, a+h]$ se calcula como $v_{prom} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• La velocidad instantánea en $t=a$ es el límite de la velocidad promedio cuando $h$ tiende a 0, es decir, $v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Definición de Derivada

• La derivada de una función $f$ en un punto $a$, denotada como $f'(a)$, se define como $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, si este límite existe.
• Una función es derivable en $a$ si este límite existe.
• Una definición equivalente para la derivada es: $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

Interpretaciones de la Derivada

• Geométrica: $f'(a)$ representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$.
• Física: Si $s = f(t)$ es la función de posición, $f'(a)$ es la velocidad instantánea en el tiempo $t=a$.

Función Derivada

• Al calcular $f'(a)$ para cada número $a$ en un intervalo, se obtiene la función derivada de $f$, denotada por $f'(x)$.
• La función derivada se define formalmente como $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.

Notaciones de la Derivada

• Las notaciones comunes para la derivada de $y = f(x)$ incluyen: $f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = Df(x) = D_x f(x)$.

Cálculo de Derivadas: Ejemplos

• Ejemplo 1: Si $f(x) = x^2$, entonces $f'(x) = 2x$.
• Ejemplo 2: Si $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.