Conjuntos

• Un conjunto se denota con una letra mayúscula.
• Los elementos se denotan con una letra minúscula.
• Los elementos se encierran entre llaves { } y se separan por comas.
• El conjunto D tiene los elementos que aparecen al lanzar un dado: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• El conjunto S representa los días de la semana: S = {Lunes, martes, miércoles, Jueves, viernes, sábado, domingo}
• Al definir un conjunto se puede hacer de 2 formas: por extensión o por enumeración.
• El método de extensión o numeración hace un listado de sus elementos (ejemplos anteriores).
• El método de comprensión o descripción describe alguna propiedad conservada por todos sus miembros.

Tipos de Conjuntos

• Los conjuntos finitos son aquellos cuyos elementos se pueden contar.
• Ejemplo de conjunto finito: datos que aparecen al lanzar un dado.
• Los conjuntos infinitos no se pueden contar o tienen un número ilimitado de elementos.
• Ejemplo de conjunto infinito: conjunto de los números reales.
• El conjunto universal es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación dada.
• Ejemplo de conjunto universal para números reales positivos: U = R+ = {0, ∞}
• Un conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos y se denota por ∅ o { }.
• Ejemplo de conjunto vacío: conjunto de meses que solo tengan 27 días.

Diagrama de Venn

• Cualquier figura geométrica cerrada (círculo, rectángulo, óvalo, etc.) sirve para representar gráficamente las operaciones entre conjuntos.
• Estos diagramas son llamados Diagramas de Venn.
• Normalmente, al conjunto universal se le representa con un rectángulo.
• Los conjuntos se representan con un círculo o elipse.
• Un diagrama de Venn en ningún momento constituye una prueba matemática.
• Sin embargo, permite tener una visión intuitiva de la relación que puede existir entre conjutos.

Operaciones con Conjuntos

• La unión de conjuntos es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o B.
• La unión se simboliza como A ∪ B.
• La intersección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B.
• La intersección se simboliza como A ∩ B.
• La diferencia de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• La diferencia se simboliza como A - B.
• El complemento son todos los conjuntos del universo que no son A.
• El complemento se simboliza como A' o Ac.

Probabilidad

• La probabilidad es la medida de la incertidumbre de que ocurra un evento.
• La probabilidad se utiliza para expresar cuán probable es un determinado suceso.
• Un suceso es cualquier conjunto de resultados de procedimientos o experimentos.
• Un experimento es un conjunto de pruebas o la realización de un proceso que conduce a un resultado y observación de la cual no se está seguro.
• El espacio muestral es, para un experimento, un conjunto de todos los resultados experimentales, esto es, cuando se hayan especificado todos los resultados posibles.
• La probabilidad de un suceso puede tomar valores que van del 0 al 1.
• Un suceso imposible es 0, y uno seguro es 1.

Cálculo de Probabilidades

• Sea A un suceso, su probabilidad está determinada por P(A).
• La probabilidad del suceso A (ya sea probabilidad de que llueva o de que una moneda caiga cara) es un valor entre 0 y 1, o sea 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• La probabilidad del suceso será menor o igual a 1 o mayor o igual a 0.
• Ejemplo:
  • Al lanzar una moneda, la probabilidad de que caiga cara es P(cara) = 0.5
  • Al tirar un dado, la probabilidad de que caiga el número 3 es P(3) = 1/6 = 0.166

Cálculo de Probabilidades por Método Clásico

• Si un procedimiento tiene n sucesos simples distintos y cada uno de los sucesos tiene la misma probabilidad de ocurrir, entonces: P(A) = (número de veces que puede ocurrir A) / (número de sucesos simples diferentes).
• Ejemplo:
  • Al lanzar una moneda, hay dos sucesos simples con la misma probabilidad: {Cara, Cruz}.
  • El suceso que caiga cara tiene una probabilidad de P(cara) = ½ = 0.5 = 50%.

Cálculo de Probabilidades por Frecuencias Relativas

• Repetir un procedimiento una gran cantidad de veces.
• Contar el número de veces que se presentó el suceso A.
• Con base a lo ocurrido: P(A) = (número de veces que ocurrió A) / (número de veces que se repitió el procedimiento).
• Ejemplo:
  • Al lanzar una moneda 100 veces, cae cara en 65 ocasiones.
  • P(cara) = 65/100 = 0.65 ≈ 65%.

Probabilidad Subjetiva.

• La probabilidad del suceso A se estima con base en el conocimiento de las circunstancias relevantes para el suceso en cuestión.
• Ejemplo
  • Probabilidad de que llueva: estimación basada en el conocimiento de las condiciones del tiempo.
  • Época del año.
  • Si ha llovido los días previos.
  • La zona geográfica.
  • Probabilidad de aprobar el examen de matemáticas: estudio.

Técnicas de Conteo

• Son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto de objetos.
• Este tipo de técnicas se utiliza cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos, y saber cuántas de ellas son posibles.
• El diagrama de árbol es un tipo de gráfico o esquema que permite establecer relaciones de manera jerarquizada entre conceptos, así como representar visualmente las posibles consecuencias o resultados de una acción. Ejemplo:
  • Se tienen 4 sillas amarilla, roja, azul y verde; la cantidad de combinaciones de 3 de ellas que se pueden hacer ordenadas una al lado de otra.

Principio de Adición

• Si se realiza un evento de "m" formas y otro evento de "n" formas, y no se realizan ambos eventos a la vez.
• Evento A → m formas.
• Evento B → n formas.
• A o B → m + n formas.

Principio de Multiplicación

• Si se realiza un evento y luego el otro, los eventos pueden desarrollarse a partir de:
• Evento A → m formas.
• Evento B → n formas.
• A y B → m x n

Ejemplos

• Para cruzar un río se cuenta con 1 barco o 2 botes.
  • Evento A → 1 barco.
  • Evento B → 2 barcos.
• Las formas en que se puede vestir una persona si tiene 2 camisas y 3 pantalones son:
  • Evento A → 2 camisas.
  • Evento B → 3 pantalones.
  • 2 x 3 = 6 formas.

Cálculo de Probabilidades con Diagramas de Árbol

• Para el cálculo de probabilidad se usa que:
  • Para calcular cierta probabilidad se avanza así la derecha entonces se multiplica.
  • Por otro lado para calcular cierta probabilidad se avanza hacia abajo entonces se suma.
• Ejemplo:
  • Una moneda tiene en sus 2 caras un gato y un perro. Se lanza 2 veces la moneda.
  • a) La probabilidad de obtener 2 gatos es 0.25 o 25%
  • b) La probabilidad de obtener un solo gato es 0.5 o 50%

Distribución Binomial

• En probabilidad, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de "n" ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija "p" de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
• El experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.

Características de la Distribución Binomial

    Media: np.
    Varianza: np(1-p).
    Desviación éstandar: √(np(1-P))

Combinaciones y Permutaciones

• Algunas situaciones de probabilidad implican múltiples eventos, donde uno de los eventos afecta a otros, se llaman eventos dependientes.
• Las permutaciones son agrupaciones en las que importa el orden de los objetos.
• Las combinaciones son agrupaciones en las que importa el contenido pero no el orden.

Permutaciones

• Una permutación de conjunto de elementos es una disposición de dichos elementos, es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden.
• El número de permutaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k" se calcula con la fórmula: - P(n, k) = n! / (n-k)!
• Ejemplo:
  • Se entregan $200 al primer lugar y $100 al segundo en un concurso donde participan Eduardo, Carlos y Sergio, las formas de repartir los premios entre primero y segundo lugar es de 6.

Combinaciones

• Una combinación es un conjunto de elementos, donde se hace una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden.
• El número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k" se calcula con la fomula: - C(nk) = n! /(n-k)! k!
• Ejemplo:
  • Un chef va a preparar ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli
• El número de formas para usar 2 ingredientes es de 6.