Introducción a la Probabilidad

Introducción

• Algunas experiencias tienen resultados predecibles si se conocen las condiciones.
• Otras experiencias generan resultados impredecibles debido a factores que causan variación.
• La aleatoriedad define la imposibilidad de predecir con certeza un resultado.
• Observar el resultado de un dado, la duración de una bombilla o el tráfico en un peaje son ejemplos de experiencias aleatorias.
• El término azar también se asocia a lo imprevisible de estas experiencias.
• La Teoría de Probabilidad proporciona bases matemáticas para describir la variación en experiencias aleatorias.
• Autores atribuyen el origen de esta teoría a la necesidad de entender los juegos de azar.
• Pascal y Fermat contribuyeron significativamente a la conceptualización de la probabilidad en 1654.
• El Caballero de Meré preguntó a Pascal sobre la probabilidad de obtener al menos un doble seis al lanzar dos dados.
• Galileo planteó un problema sobre la probabilidad de la suma de los números al lanzar 3 dados.
• Es importante explicitar todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria para el estudio de probabilidad.

Experiencias aleatorias y espacio muestral

• Experiencia aleatoria: La imposibilidad de predecir con certeza el resultado.
• Se presentan ejemplos de experiencias aleatorias:
  • Lanzar un dado y observar el número.
  • Lanzar un dado y determinar si es par o impar.
  • Lanzar un dado dos veces y observar los números.
  • Lanzar un dado dos veces y contar cuántas veces sale un número par.
  • Lanzar un dado repetidamente hasta obtener un tres.
  • Contar llamadas telefónicas en un horario.
  • Extraer un azulejo defectuoso de una caja.
  • Medir el diámetro de cojinetes.
• Características comunes de estas experiencias:
  • Se realizan según reglas definidas.
  • Se repiten bajo condiciones similares.
  • Hay variación en los resultados, pero se puede definir el conjunto de todos los resultados posibles.
  • Los resultados individuales parecen aleatorios, pero al repetir la experiencia muchas veces, surge un modelo de regularidad.
• Espacio muestral (S): Conjunto de todos los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
  • S1 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} (lanzar un dado)
  • S2 ={p, i} (par o impar)
  • S3 ={(a, b) con a, b = 1, 2, 3, 4, 5, 6} (lanzar un dado dos veces)
  • S4 ={0, 1, 2}
  • S5 ={1, 2, 3, ...} = N
  • S6 ={0, 1, 2, ...} = N0
  • S7 ={b, d} (bueno o defectuoso)
  • S8 ={d ∈ R: d ≥ 0}
• Observaciones sobre los espacios muestrales:
  • S1, S2, S3, S4 y S7 son finitos.
  • S5 y S6 son infinitos numerables.
  • S8 es infinito no numerable.
• Suceso elemental: Conjunto con un solo resultado de S.
• Suceso A: Conjunto de resultados de S.

Sucesos y propuestas

• El conjunto {2} es un suceso elemental de S1, mientras que A = {2, 4, 6} es un suceso de S1.
• {(3, 5)}, {(5, 3)}, {(6, 6)} son sucesos elementales de S3.
• B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} es un suceso de S3 que representa obtener el mismo número en ambas tiradas.
• Propuestas:

1. Explicitar elementos de sucesos en relación a la experiencia del ejemplo 3.
   • A: Primer número par y segundo impar.
   • B: Ambos números pares.
   • C: Ambos números impares.
   • D: Suma de los números es igual a 6.
   • E: El mínimo de los números es igual a 5.
   • F: El máximo de los números es igual a 4.
2. En relación al ejemplo 6:
   • A: Se reciben a lo sumo 3 llamadas.
   • B: Se reciben por lo menos dos llamadas.
3. En relación al ejemplo 8:
   • A: Diámetro de un cojinete entre 2.19 cm y 2.28 cm.

Sucesos complementarios, seguros, imposibles y diagramas de Venn

• Si al extraer un cojinete, su diámetro es 2.20 cm ocurre el suceso A (superior a 2.19 cm e inferior a 2.28 cm), pero si es 2.10 cm, no ocurre.
• A denota el suceso complemento de A.
• En general, el suceso A ocurre si el resultado x está en A, de lo contrario ocurre el suceso complementario.
• El espacio muestral S es un suceso seguro o cierto.
• El complemento de S es un suceso imposible, denotado por Φ.
• El espacio muestral y los sucesos aleatorios se representan con diagramas de Venn.
• Los sucesos se combinan mediante unión (A ∪ B), intersección (A ∩ B) y el concepto de sucesos excluyentes (A ∩ B = Φ).
• AUB representa al menos uno de los sucesos A o B ocurre.
• A ∩ B representa A y B ocurren simultáneamente.

Probabilidad de ocurrencia de un suceso

• No es posible predecir a priori si un suceso A ocurrirá o no en una experiencia aleatoria.
• Interesa asociar a cada suceso un número que mida la posibilidad de su ocurrencia.
• En el caso de tirar un dado, es razonable considerar que la probabilidad de obtener un número par es 0.5.
• Es factible ya que se calcula el porcentaje de resultados en A respecto al espacio muestral S, que es finito, y cada resultado de S tiene igual posibilidad de ocurrir.
• Laplace (1812) definió la probabilidad clásica como el cociente entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles, siempre que todos tengan igual posibilidad de ocurrir.
• Esta definición es circular, restrictiva y solo práctica en ciertas situaciones.
• En un bolillero con 20 bolillas, la probabilidad de sacar una divisible por 3 se calcula como 6/20.

Propuestas de probabilidad y modelo hipergeométrico

• Calcular la probabilidad de elegir al azar un alumno varón o mujer.
• En un bolillero con 10 bolillas, extraer 3 sin reposición y calcular la probabilidad de:
  • Que el número sea menor que 500.
  • Que el número comience con 3 y termine con 9.
  • Que el número comience y termine con 3.
  • Que el número sea menor o igual a 987.
• Calcular la probabilidad de los sucesos A, B, C, D, E, F, B ∪ C, definidos en relación a la experiencia aleatoria presentada en el ejemplo 3.
• La definición de Laplace muestra que:
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • P(S) = 1
  • Si A y B son excluyentes, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Para un curso con 50 alumnos (30 de Rosario), la probabilidad de elegir 5 alumnos al azar, y que 3 sean de Rosario, se calcula usando el modelo hipergeométrico.
• Primero calcular de cuántas maneras se pueden elegir 5 alumnos de 50: (50,5) = 2118760.
• Luego calcular cuántos grupos de 5 alumnos tienen 3 de Rosario (30,3) = 4060 y 2 del interior (20,2) = 190.
• La probabilidad es entonces: (30,3)·(20,2) / (50,5) = 0.364.

Limitaciones de Laplace y la frecuencia relativa

• La definición de Laplace es limitada para espacios muestrales no finitos o donde no todos los resultados son igualmente probables.
• Surge la pregunta de cómo asignar probabilidades en estos casos.
• Para determinar la probabilidad de que el diámetro de un cojinete esté entre 2.10 y 2.20, se extraen n muestras, midiendo sus diámetros.
• La frecuencia relativa (n A /n) puede usarse como una medida de la posibilidad de que A ocurra el suceso.
• La frecuencia relativa varía con cada n, pero tiende a ser insignificante cuando n es grande.
• A la larga, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de un valor constante, que se puede estimar.
• Este valor constante P(A) representa la frecuencia relativa en una "población infinita".
• En la práctica, la frecuencia relativa solo se determina empíricamente con precisión limitada.
• Este método se puede utilizar para estimar la probabilidad de obtener un tres al lanzar un dado.
• La frecuencia relativa del valor tres tiende a estabilizarse alrededor del valor 1/6.
• En el modelo de Laplace, la probabilidad de un suceso se determina a priori, sin necesidad de experimentos.
• A través de las frecuencias relativas es experimental, determinada a posteriori.
• Ambas tienden a coincidir si se cumplen hipótesis y el número de repeticiones de la experiencia es grande.

Datos observados y propuesta de ejercicios

• Se presentan datos de 400 lanzamientos de un dado para analizar frecuencias.
  • Determinar la frecuencia relativa de cada número usando las primeras 200 observaciones, las siguientes 200 y las 400 en total
  • Realizar gráficas representando las distribuciones de frecuencias relativas
• Sobre el espacio muestral, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} comparar la muestra de 400 datos conformados por valores de S para determinar la distribución teórica del dado

Estabilización y probabilidad con dados

• Si el dado es equilibrado, la frecuencia relativa de cada valor se estabiliza en 1/6.
• Este valor representa la probabilidad de obtener cualquier número al tirar un dado equilibrado.

Propuesta de ejercicios y datos de cojinetes

• Se deja caer una bola por la abertura A en un diagrama de árbol.
  • Calcular la probabilidad de que la bola salga por cada orificio D, E y F.
  • Estimar la proporción de bolas que saldrán por cada orificio al arrojar 1000 bolas
• Los datos del diámetro de 100 cojinetes (ordenados de forma creciente, entre paréntesis las veces que el calor se repite) extraídos de un proceso de producción servirán para calcular nuevas probabilidades

Frecuencias relativas de diámetros

• La frecuencia relativa del suceso A (diámetro de un cojinete superior a 2.10 cm e inferior a 2.20 cm) es igual a 0.14.
• Esta estimación se hace basada en una muestra de tamaño 100.
• Una muestra más grande, como 1000, daría una estimación más precisa, en general.
• Se considera que los cojinetes cuyos diámetros superan 2.20 o son inferiores a 1.80 son defectuosos.
• Encontrar la estimación de un cojinete defectuoso, dado la muestra.

Propiedades de la frecuencia relativa

• Si f A es la frecuencia relativa de un suceso A:
  • 0 ≤ fA ≤ 1.
  • fS = 1 (S es el espacio muestral).
  • Si B ∩ C = Φ, entonces f B ∪ C = f B + f C.

Von Mises y la definición axiomática de Kolmogorov

• Richard von Mises introdujo la interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa a largo plazo.
• En 1933, el matemático ruso Kolmogorov establece una definición axiomática de probabilidad, basada en las ideas de Von Mises, profundizando en la incorporación del cálculo de probabilidad en la matemática
• Kolmogorov introduce el concepto a partir de axiomas que enuncian ciertas propiedades de las probabilidades motivados por las propiedades de las frecuencias relativas.

Axiomas de probabilidad

• S es el espacio muestral asociado a una experiencia aleatoria.
• Cada suceso A tiene asociado un número P(A) que verifica los axiomas:
  • A1: P(A) ≥ 0
  • A2: P(S) = 1
  • A3: Si B ∩ C = Φ entonces P(B ∪ C) = P(B) + P(C)
• Los axiomas no indican cómo asignar probabilidades, pero restringen la forma de asignación y formalizan las propiedades de la frecuencia relativa.
• El modelo de Laplace cumple los axiomas, por lo que se considera un caso particular de la definición axiomática.
• Consecuencias de los axiomas:
  • 1. P(Φ) = 0
  • 2. P(A) = 1 – P(A)
  • 3. Si A ⊂ B entonces P(A) ≤ P(B)
  • 4. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Unión de sucesos excluyentes

• A∪B = A ∪(B∩A)
• B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A)
• Dado el axioma A3, P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A)
• P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ A)
• Entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Propuestas y problemas de probabilidad

• Pruebe las restantes consecuencias de los axiomas.
• Pruebe que: P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).
• Problema 1:
  • Se tienen 5 urnas con 10 bolillas numeradas
  • Extraer una bolilla de cada urna
  • Calcular la probabilidad de que el mayor número extraído sea =<7
• Problema 2:
  • Las probabilidades de que un conmutador reciba llamadas 0 a 7 u 8+ son: 0.02, 0.08, 0.15, 0.20, 0.20, 0.16, 0.10, 0.06 y 0.03
  • Calcule la probabilidad de que se reciba en un período de una hora:
    • Menos de 4 llamadas
    • Al menos 3 llamadas
    • A lo sumo 4 llamadas
    • Más de 1 llamada
    • Entre 2 y 6 llamadas inclusive.

Problemas laboratorio y probabilidad de fallas

• Un laboratorio informa sobre fallas de elongación y torsión con probabilidades de 0.06, 0.04 y 0.015 respectivamente.
• Se calcula la probabilidad de que una varilla no presente fallas.

Probabilidad condicional

• Se lanza un dado equilibrado dos veces observando el par de números obtenidos.
• Se busca la probabilidad de que la suma de los dos números sea igual a seis sabiendo que el primer lanzamiento es un dos.
• La probabilidad de que la suma sea igual a seis es de 5/36, ya que hay 5 casos favorables de 36 posibles .
• Si el primer resultado es dos, hay 6 resultados posibles (2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6).
• Sólo (2,4) verifica la probabilidad de que la suma sea 6.
• Al saber que el primer dado es dos, la probabilidad ya no es 5/36, si 1/6.
• El primer número es 2, los casos posibles se reducen de 36 a 6
• Si A es el suceso: la suma de los lanzamientos debe dar como resultado 6 y B: el resultado del primer lanzamiento debe dar como resultado 2
• P(A | B) es la probabilidad condicional de que la suma sea seis cuando se conoce que el resultado del primer lanzamiento es un dos, entonces P(A | B) = 1/6

Fórmula para calcular la probabilidad condicional

• La fórmula para calcular P(A|B) es P(A∩B)/P(B).
• Es la probabilidad del suceso reducido a B
• La función, P( A | B ) = P(B)P(A.∩B) es válida para el ejemplo anterior siendo la forma general de la probabilidad condicional

Probabilidad condicional y Propuesta

• Si A y B son sucesos de un espacio muestral S, la probabilidad condicional (A, dado que B ha ocurrido) es: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
• Pruebe que la definición dada (en terminos de sus axiomas) cumple los siguientes condiciones de probabilidad:
  • P(A | B) ≥ 0
  • P(S | B) = 1
  • Si A ∩ C = Ø entonces P(A ∪ C | B) = P(A | B) + P(C | B)
• Realizada la prueba puede concluir que también se cumplen las siguientes propiedades:
  • P(A | B) = 1 – P(A | B)
  • P(A ∪ C | B) = P(A | B) + P(C | B) - P(A ∩ C | B)

Propuesta de cálculo de probabilidad condicional

• Ejemplo
  • El personal de una compañía se separa en dos secciones: administración (A) y operación de planta (P)
  • La siguiente tabla muestra el numero de empleados en cada sección clasificados por sexo.

• Sean los sucesos:

• A: un empleado trabaja en administración

• P: un empleado trabaja en planta

• M: un empleado de la compañía es mujer

• H: un empleado de la compañía es varón

• Si se elige al azar un empleado de la compañía calcular la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes sucesos:

  • a) es hombre
  • b) trabaja en planta
  • c) es hombre y trabaja en planta
  • d) trabaja en planta sabiendo que es un hombre
  • e) trabaja en planta sabiendo que es una mujer
  • f) trabaja en administración sabiendo que es una mujer

• P(P|H)+P(P|M)≠1, y P(A|B)+P(A|B) ≠1 o equivalentemente P( A | B ) ≠ 1 - P ( A|B)

• P(P)

• Si nos restringimos a los empleados de la compañía que son hombres la proporción de los mismos que trabajan en planta es mayor que la proporción de empleados que trabajan en la compañía, en cambio la relación se invierte cuando nos restringimos a los empleados de la compañía que son mujeres.

• En síntesis, la probabilidad condicional de un suceso puede ser mayor o menor que la probabilidad incondicional del suceso.

Sucesos independientes

• Dos sucesos, A y B, de un espacio muestral S, tienen una P(A | B ) = P(A)
• En lo que sigue estudiaremos e interpretaremos situaciones en que P( A | B ) = P( A )

Propuesta:

• si A y B son excluyentes entonces P ( A | B ) = 0
• si B C A entonces P ( A | B ) = 1
• Si se supone que ocurre el suceso B, se nos da una información precisa acerca de la probabilidad de ocurrencia del suceso A.

Ejemplo

• Relación a la experiencia de lanzar un dado equilibrado
• A: se obtiene un número par
• B: se obtiene un múltiplo de tres
• A={2,4,6} y B={3,6}
• P(A) =1/2
• P(B)=1/3
• P(A∩B)=1/6

Conclusión

• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)
• P(A∩B)= P(A) - P(B)
• En estas tres igualdad se informa, que la información que se obtiene del caso B no modifica la probabilidad del suceso A
• Por eso en general vale la siguiente propiedad: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral S con probabilidades distintas de cero entonces las siguientes condiciones son equivalentes (la validez de una de ellas implica la validez de cualquiera de las restantes).

Resumen de la unidad

• La información que se obtiene del caso B no modifica la probabilidad del suceso A.
• P( A | B ) = P( A )*
• La información que se obtiene del caso A no modifica la probabilidad del suceso B.
• P(B|A) = P( B )*
• La igualdad en la ocurrencia de A y B es igual al producto de las probabilidades
• P(A∩B ) = P( A ) - P ( B )*