Introdução às Matrizes

• Uma matriz $A$ é um arranjo retangular de números (ou elementos) organizados em linhas e colunas
• Uma matriz $m \times n$ tem $m$ linhas e $n$ colunas.

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

• $a_{ij}$ representa o elemento na $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna.

Exemplos de Matrizes

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ é uma matriz $2 \times 3$.
• $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$ é uma matriz $2 \times 2$ (quadrada).
• $C = \begin{pmatrix} 7 \ 8 \ 9 \end{pmatrix}$ é uma matriz $3 \times 1$ (vetor coluna).

Matrizes Especiais

• Matriz quadrada: o número de linhas é igual ao número de colunas ($m = n$).
• Matriz nula: todos os elementos são zero.
• Matriz identidade ($I_n$): matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros em outros lugares.

$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• Matriz diagonal: matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
• Matriz triangular:
  • Matriz triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
  • Matriz triangular inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são zero.

Transposição de Matrizes

• A transposta $A^T$ de uma matriz $m \times n$ $A$ é obtida trocando as linhas pelas colunas.
• Se $A = (a_{ij})$, então $A^T = (a_{ji})$.

Exemplo de Transposição

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{pmatrix}$, então $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$.

Adição e Subtração de Matrizes

• Duas matrizes $A$ e $B$ podem ser adicionadas (ou subtraídas) se tiverem a mesma dimensão ($m \times n$).
• A adição (ou subtração) é realizada elemento a elemento.

$C = A + B \Rightarrow c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

$D = A - B \Rightarrow d_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$

Exemplo de Adição

• $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{pmatrix}$

Multiplicação Escalar

• Uma matriz $A$ pode ser multiplicada por um escalar $c$ multiplicando cada elemento da matriz por $c$.

$B = c \cdot A \Rightarrow b_{ij} = c \cdot a_{ij}$

Exemplo de Multiplicação Escalar

• $2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{pmatrix}$

Multiplicação de Matrizes

• O produto de duas matrizes $A$ ($m \times n$) e $B$ ($n \times p$) é uma matriz $C$ ($m \times p$), onde cada elemento $c_{ij}$ é o resultado da multiplicação da $i$-ésima linha de $A$ pela $j$-ésima coluna de $B$.

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$

Exemplo de Multiplicação de Matrizes

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$C = A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Regras Aritméticas para Matrizes

• Associatividade:
  • $(A + B) + C = A + (B + C)$
  • $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
• Distributividade:
  • $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
  • $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$
• Elemento neutro:
  • $A + 0 = A$ (0 é a matriz nula)
  • $A \cdot I = A$ ($I$ é a matriz identidade)
• Transposição:
  • $(A + B)^T = A^T + B^T$
  • $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$
  • $(A^T)^T = A$