Intégration numérique: Formules de quadrature

• Le chapitre aborde l'intégration numérique, en particulier l'intégration d'une fonction sur un intervalle fermé et borné $[a, b]$.

Formules de quadrature

• Une formule de quadrature est une approximation de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle $[a, b]$ de la forme: $I_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_i f(x_i)$
• $x_i \in [a, b]$ sont les nœuds de quadrature.
• $w_i \in \mathbb{R}$ sont les poids de quadrature.
• L'erreur de quadrature est définie par: $E_n(f) = \int_a^b f(x) dx - I_n(f)$

Degré de précision

• Le degré de précision d'une formule de quadrature est le plus grand entier $r$ tel que la formule est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à $r$, c'est-à-dire: $E_n(P_r) = 0, \quad \forall P_r \in \mathbb{P}_r$
• $\mathbb{P}_r$ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $r$.
• Pour trouver le degré de précision d'une formule de quadrature, il suffit de vérifier que la formule est exacte pour les monômes $1, x, x^2,..., x^r$.

Exemples de formules de quadrature

• Formule du rectangle à gauche: $I_n(f) = (b-a)f(a)$
• Formule du rectangle à droite: $I_n(f) = (b-a)f(b)$
• Formule du point milieu: $I_n(f) = (b-a)f(\frac{a+b}{2})$
• Formule du trapèze: $I_n(f) = \frac{b-a}{2}(f(a) + f(b))$
• Formule de Simpson: $I_n(f) = \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b))$

Formules de Newton-Cotes

• Dans les formules de Newton-Cotes, les nœuds de quadrature sont équirépartis sur l'intervalle $[a, b]$: $x_i = a + i h, \quad i = 0,..., n$
• $h = \frac{b-a}{n}$ est le pas de la quadrature.
• Formule du trapèze (Newton-Cotes à 2 points): $I_n(f) = \frac{h}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (f(x_i) + f(x_{i+1}))$
• Formule de Simpson (Newton-Cotes à 3 points): $I_n(f) = \frac{h}{3} \sum_{i=0}^{n-1} (f(x_{2i}) + 4f(x_{2i+1}) + f(x_{2i+2}))$

Ordre de convergence

• L'ordre de convergence est la puissance de $h$ dans l'expression de l'erreur de quadrature.
• Si l'erreur de quadrature est de la forme: $E_n(f) = C h^p + O(h^{p+1})$ où $C$ est une constante indépendante de $h$, alors l'ordre de convergence de la méthode est $p$.
• Formule du trapèze: $E_n(f) = O(h^2)$
• Formule de Simpson: $E_n(f) = O(h^4)$