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Questions and Answers
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Vektorfeld a(x, y) als konservativ betrachtet werden kann?
Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Vektorfeld a(x, y) als konservativ betrachtet werden kann?
- $M(x, y) = N(x, y)$
- Muss konstant sein
- $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$
- $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ (correct)
Welchen Wert hat $\frac{\partial M}{\partial y}$ für das Vektorfeld a(x, y)?
Welchen Wert hat $\frac{\partial M}{\partial y}$ für das Vektorfeld a(x, y)?
- $-5$ (correct)
- $-4$
- $0$
- $5$
Wie lautet die allgemeine Form der Stammfunktion f(x, y) für das Vektorfeld a(x, y)?
Wie lautet die allgemeine Form der Stammfunktion f(x, y) für das Vektorfeld a(x, y)?
- $2x^2 - 5yx + y^2 + C$ (correct)
- $4x^2 - 5xy + 2y + C$
- $x^2 - 5y^2 + C$
- $2xy - 5x + y^2 + C$
Wie wird das Kurvenintegral $\int_C a \cdot dr$ für ein konservatives Vektorfeld berechnet?
Wie wird das Kurvenintegral $\int_C a \cdot dr$ für ein konservatives Vektorfeld berechnet?
Was ist der Wert von $f(A)$, wenn $A = (0, 1)$?
Was ist der Wert von $f(A)$, wenn $A = (0, 1)$?
Wie ist der Wert von $f(B)$, wenn $B = (2, 3)$?
Wie ist der Wert von $f(B)$, wenn $B = (2, 3)$?
Welches Ergebnis ergibt das Kurvenintegral über die Kurven C1 und C2?
Welches Ergebnis ergibt das Kurvenintegral über die Kurven C1 und C2?
Welche Funktion repräsentiert $\phi(y)$ in der Berechnung der Stammfunktion?
Welche Funktion repräsentiert $\phi(y)$ in der Berechnung der Stammfunktion?
Was ist die Bedingung zur Überprüfung der Integrabilität für die Vektorfelder?
Was ist die Bedingung zur Überprüfung der Integrabilität für die Vektorfelder?
Wie lautet die Stammfunktion $f(x, y)$ für das Vektorfeld $b(x, y)$?
Wie lautet die Stammfunktion $f(x, y)$ für das Vektorfeld $b(x, y)$?
Was ist das Ergebnis des Kurvenintegrals über $b(x, y)$ von Punkt $A$ nach Punkt $B$?
Was ist das Ergebnis des Kurvenintegrals über $b(x, y)$ von Punkt $A$ nach Punkt $B$?
Was ist der Wert von $ rac{ ext{d}M}{ ext{d}y} - rac{ ext{d}N}{ ext{d}x}$ für $b(x, y)$?
Was ist der Wert von $ rac{ ext{d}M}{ ext{d}y} - rac{ ext{d}N}{ ext{d}x}$ für $b(x, y)$?
Welche Annahme wird bei der Berechnung von $f(x, y)$ für das Vektorfeld $b(x, y)$ gemacht?
Welche Annahme wird bei der Berechnung von $f(x, y)$ für das Vektorfeld $b(x, y)$ gemacht?
Was wird bei der Ableitung von $f(x, y)$ nach $y$ verwendet?
Was wird bei der Ableitung von $f(x, y)$ nach $y$ verwendet?
Was beschreibt die Konservativität des Vektorfeldes?
Was beschreibt die Konservativität des Vektorfeldes?
Welcher Punkt führt zur selben Berechnung für $f(x, y)$ in $b(x, y)$?
Welcher Punkt führt zur selben Berechnung für $f(x, y)$ in $b(x, y)$?
Flashcards
Integrabilitätsbedingung
Integrabilitätsbedingung
Bedingung, die überprüft, ob ein Vektorfeld konservativ ist.
Konservatives Vektorfeld
Konservatives Vektorfeld
Vektorfeld, bei dem das Kurvenintegral nur von den Endpunkten der Kurve abhängt.
Stammfunktion
Stammfunktion
Eine Funktion, deren Gradient das Vektorfeld ist.
Kurvenintegral
Kurvenintegral
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Partielle Ableitung
Partielle Ableitung
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Vektorfeld
Vektorfeld
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Endpunkte
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Integrabilitätsbedingung bei konservativen Vektorfeldern
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Kurvenintegral (über C)
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Vektorfeld b(x, y)
Vektorfeld b(x, y)
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Wegunabhängigkeit
Wegunabhängigkeit
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Integrabilitätsbedingung Ergebnis 0
Integrabilitätsbedingung Ergebnis 0
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Study Notes
Integrabilitätsbedingung und Kurvenintegrale
- Vektorfelder: Zwei Vektorfelder (a(x, y)) und (b(x, y)) werden betrachtet.
- Integrabilitätsbedingung: Das Kriterium (\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}) prüft, ob ein Vektorfeld konservativ ist und eine Stammfunktion besitzt.
- Konservative Vektorfelder: Konservative Vektorfelder besitzen eine Stammfunktion, und das Kurvenintegral ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig und nicht vom Weg.
- Berechnung der Stammfunktion: Die Stammfunktion (f(x, y)) wird durch Integration ermittelt.
- Kurvenintegral: Das Kurvenintegral wird mit der Stammfunktion berechnet als (f(B) - f(A)), wobei (A) und (B) Anfangs- und Endpunkt der Kurve sind.
- Vektorfeld a(x,y):
- Partielle Ableitungen: (\frac{\partial M}{\partial y} = -5) und (\frac{\partial N}{\partial x} = -5). Also ist die Bedingung erfüllt.
- Stammfunktion: (f(x, y) = 2x^2 – 5xy + y^2 + C).
- Kurvenintegral (A=(0, 1), B=(2, 3)): -14
- Vektorfeld b(x,y):
- Partielle Ableitungen: Nach längeren Rechnungen ergibt sich, dass (\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}) und die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist.
- Stammfunktion: (f(x, y) = -\frac{y}{x - y} + C).
- Kurvenintegral (A=(0, 1), B=(2, 3)): 2
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