Inecuaciones en Matemáticas

I. Tipos de Inecuaciones

1. Inecuaciones Lineales

   • Formato: ( ax + b < c ) o ( ax + b > c )
   • Solución: Se resuelve como una ecuación lineal, considerando la dirección de la desigualdad.
   • Ejemplo: ( 2x + 3 < 7 ) se simplifica a ( x < 2 ).

2. Inecuaciones Cuadráticas

   • Formato: ( ax^2 + bx + c < 0 ) o ( ax^2 + bx + c > 0 )
   • Solución: Se encuentra usando la factorización o la fórmula cuadrática.
   • Ejemplo: Para ( x^2 - 5x + 6 > 0 ), se factoriza a ( (x-2)(x-3) > 0 ).

3. Inecuaciones Racionales

   • Formato: ( \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 ) o ( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 )
   • Solución: Se determina el signo del cociente analizando los ceros de ( P(x) ) y ( Q(x) ).
   • Ejemplo: ( \frac{x-1}{x+2} < 0 ) requiere identificar intervalos.

4. Inecuaciones Exponenciales

   • Formato: ( a^x < b ) o ( a^x > b ), donde ( a > 0 ) y ( b > 0 )
   • Solución: Se resuelve tomando logaritmos de ambos lados.
   • Ejemplo: ( 2^x < 8 ) se convierte en ( x < 3 ).

5. Inecuaciones Logarítmicas

   • Formato: ( \log_a(f(x)) < g(x) ) o ( \log_a(f(x)) > g(x) )
   • Solución: Se necesitan condiciones de existencia para ( f(x) ) y se resuelve a partir de propiedades logarítmicas.
   • Ejemplo: ( \log(x-2) > 1 ) implica ( x - 2 > 10 ) y ( x > 12 ).

6. Inecuaciones Absolutas

   • Formato: ( |f(x)| < c ) o ( |f(x)| > c )
   • Solución: Se separa en dos casos para cada desigualdad.
   • Ejemplo: ( |x - 3| < 4 ) se descompone en ( -4 < x - 3 < 4 ).

II. Consideraciones Generales

• Cambiar la dirección de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo.
• Representación de soluciones en la recta numérica.
• Uso de intervalos para expresar soluciones de una manera concisa.

Tipos de Inecuaciones

• Inecuaciones Lineales

  • Formato: ( ax + b < c ) o ( ax + b > c )
  • Se resuelven como ecuaciones lineales, observando la dirección de la desigualdad.
  • Ejemplo: ( 2x + 3 < 7 ) simplifica a ( x < 2 ).

• Inecuaciones Cuadráticas

  • Formato: ( ax^2 + bx + c < 0 ) o ( ax^2 + bx + c > 0 )
  • Resueltas usando la factorización o la fórmula cuadrática.
  • Ejemplo: Para ( x^2 - 5x + 6 > 0 ), se factoriza a ( (x-2)(x-3) > 0 ).

• Inecuaciones Racionales

  • Formato: ( \frac{P(x)}{Q(x)} < 0 ) o ( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 )
  • Se analiza el signo del cociente mediante los ceros de ( P(x) ) y ( Q(x) ).
  • Ejemplo: ( \frac{x-1}{x+2} < 0 ) requiere identificar intervalos.

• Inecuaciones Exponenciales

  • Formato: ( a^x < b ) o ( a^x > b ) con ( a > 0 ) y ( b > 0 )
  • Se resuelven tomando logaritmos en ambos lados.
  • Ejemplo: ( 2^x < 8 ) se convierte en ( x < 3 ).

• Inecuaciones Logarítmicas

  • Formato: ( \log_a(f(x)) < g(x) ) o ( \log_a(f(x)) > g(x) )
  • Requieren condiciones de existencia para ( f(x) ) y se resuelven usando propiedades logarítmicas.
  • Ejemplo: ( \log(x-2) > 1 ) implica que ( x - 2 > 10 ) y, por lo tanto, ( x > 12 ).

• Inecuaciones Absolutas

  • Formato: ( |f(x)| < c ) o ( |f(x)| > c )
  • Se separan en dos casos para resolver cada desigualdad.
  • Ejemplo: ( |x - 3| < 4 ) se descompone en ( -4 < x - 3 < 4 ).

Consideraciones Generales

• Al multiplicar o dividir por un número negativo, se invierte la dirección de la desigualdad.
• Las soluciones se representan visualmente en la recta numérica.
• El uso de intervalos ayuda a expresar soluciones de una manera clara y concisa.