Independent but not Identically Distributed Random Variables

Variables indépendantes = Aucune relation entre les variables Variables identiquement distribuées = Mêmes lois de probabilité pour chaque variable Variables à lois discrètes = Probabilité de chaque valeur possible Variables à lois continues = Densité de probabilité continue

Échantillon indépendant = Variables non identiquement distribuées Échantillon i.i.d. = Variables identiquement distribuées et indépendantes Échantillon non i.i.d. = Variables non identiquement distribuées et non indépendantes Échantillon normal = Variables suivant une loi normale

Fonction de masse = Probabilité de chaque valeur possible pour des variables discrètes Densité de probabilité = Probabilité continue pour des variables continues Fonction de vraisemblance = Mesure de la probabilité d'un échantillon donné Loi de probabilité = Répartition de la probabilité pour une variable aléatoire

PX1 ;θ = Loi de la variable X1 sous le paramètre θ Pn;θ = Loi de l'échantillon X1,..., Xn sous le paramètre θ Ln (θ ; (x1,..., xn )) = Fonction de vraisemblance de l'échantillon x1,..., xn pour le paramètre θ pXi ;θ (xi ) = Probabilité de la valeur xi pour la variable Xi sous le paramètre θ

Variables à lois discrètes = Fonction de masse pXi ;θ (xi ) Variables à lois continues = Densité de probabilité fXi ;θ (xi ) Variables identiquement distribuées = Loi de probabilité PX1 ;θ Variables indépendantes = Fonction de vraisemblance Ln (θ ; (x1,..., xn ))

Échantillon i.i.d. = Échantillon indépendant et identiquement distribué Variable aléatoire = Valeur numérique affectée à un résultat aléatoire Loi de probabilité = Répartition de la probabilité pour une variable aléatoire Fonction de vraisemblance = Mesure de la probabilité d'un échantillon donné

N (µ, σ²) = La courbe représentative est symétrique par rapport à µ N (0, 1) = Loi normale centrée-réduite N (0, σ²) = X = -X, la courbe représentative est symétrique par rapport à 0 N (µ, 1) = La médiane théorique est µ

E[X] = 0, E[X²] = 1, E[X⁴] = 3 = N (0, 1) X = 2µ - X, la médiane théorique est µ = N (µ, σ²) F(x) = 1 - F(-x) = N (0, 1) q₁₋α = -qα = N (0, σ²)

Règle du 68-95-99.7 = P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) ≃ 68.27% Three-sigma rule of thumb = P(µ - 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ≃ 99.73% Interval of 2σ = P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≃ 95.45% Interval of 1σ = P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) ≃ 95.45%

N (µ, σ²) = µ N (0, 1) = 0 N (0, σ²) = 0 N (µ, 1) = µ

F(x) = 1 - F(-x) = FN (0,1) f(x) = f(-x) = fN (0,1) f(x) = √1 e^(-x²/2) = fN (0,1)

Règle du 68-95-99.7 = La règle qui décrit les pourcentages de valeurs dans des intervalles de taille σ, 2σ, 3σ Three-sigma rule of thumb = La convention heuristique qui stipule que presque toutes les valeurs sont situées à une distance inférieure ou égale à 3σ de la moyenne Loi normale centrée-réduite = La loi normale N (0, 1) Loi normale standard = La loi normale N (0, 1)

0.9744 = 1.95 0.9 = 1.28 0.025 = -1.96 0.95 = 1.6449

FN(0,1) = Fonction de répartition de la loi N(0,1) qγN(0,1) = Quantile de la loi N(0,1) X = Variable aléatoire suivant la loi N(0,1) γ = Niveau de confiance

0.05 = 1.6449 0.975 = 1.96 0.025 = -1.96 0.1 = 1.28

n = Nombre de degrés de liberté R+ = Support de la loi χ2(n) X = Variable aléatoire suivant la loi χ2(n) Ω = Espace des événements

0.9 = 1.28 0.95 = 1.6449 0.025 = -1.96 0.975 = 1.96

φ0.05 = Ecart significatif entre la valeur observée et la valeur théorique FN(0,1) = Fonction de répartition de la loi N(0,1) qγN(0,1) = Quantile de la loi N(0,1) α = Niveau de signification

Loi Normale = R loi discrète = N loi continues = R+* loi gaussienne = R

Fonction de masse = PX1 ;θ (xi ) Fonction de répartition = FN (µ,σ2 ) (x) = ∫−∞ fN (µ,σ2 ) (t)dt Densité = fx (x) = √ 1 2πσ 2 e− (x −µ)2 2σ 2 Fonction quantile = q N (µ,σ ) (α) = FN (µ,σ 2 ) (α)

Espérance = µ Variance = σ 2 Symétrie = par rapport à µ Densité = √ 1 2πσ 2 e− (x −µ)2 2σ 2

αX + β = N (αµ + β, α2 σ 2 ) X1 + X2 = N (µ1 + µ2, σ12 + σ22 ) X - µ = N (0, σ 2 ) X / σ = N (µ, 1)

X - µ = Centre réduit X / σ = Échelonnée réduite αX + β = Linéaire X1 + X2 = Somme de deux lois normales

E[X] = µ E[X 2] = σ 2 + µ2 E[X 3] = 0 E[X 4] = 3σ 4

Lemme de Slutsky = Théorème qui établit la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires. Théorème Central Limite = Théorème qui décrit la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Suite de variables aléatoires = Séquence de variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité. Convergence en loi = Convergence d'une suite de variables aléatoires vers une loi de probabilité.

Dimension = $d$ Matrice aléatoire = $(C_n)$ Vecteur réel = $c$ Variable aléatoire = $Z$

Cas unidimensionnel = Les variables aléatoires sont de dimension 1. Cas multidimensionnel = Les variables aléatoires sont de dimension supérieure à 1. Suite de variables aléatoires indépendantes = Les variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées. Théorème de l'Application continue = Les fonctions sont continues et bornées.

Convergence en loi = $\xrightarrow{\mathcal{L}}$ Convergence en probabilité = $\xrightarrow{\mathbb{P}}$ Suite de variables aléatoires = $(Y_n)$ Espérance mathématique = $\mathbb{E}$

Lemme de Slutsky = Étude de la convergence en loi de suites de variables aléatoires. Théorème Central Limite = Étude de la convergence en loi de suites de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Convergence en loi = Étude de la stabilité de la loi de probabilité d'une suite de variables aléatoires. Suite de variables aléatoires = Étude de la variation d'une suite de variables aléatoires.

Fonction continue = La fonction est continue et bornée. Variable aléatoire = La variable aléatoire est définie sur un espace de probabilité. Matrice aléatoire = La matrice est de dimension $d' \times d$. Vecteur réel = Le vecteur est défini dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}^d$.