Hypothesentests: Grundlagen

Hypothesentests – Übersicht

• In einer Entscheidungstabelle werden die möglichen Ergebnisse eines Hypothesentests dargestellt.
• Bei einer wahren Nullhypothese ($H_0$) und deren Akzeptanz liegt eine korrekte Entscheidung vor.
• Die Ablehnung einer wahren $H_0$ führt zu einem Typ-I-Fehler.
• Die Akzeptanz einer falschen $H_0$ resultiert in einem Typ-II-Fehler.
• Die Ablehnung einer falschen $H_0$ ist eine korrekte Entscheidung.

Hypothesentests

• Ein Hypothesentest ist ein Verfahren zur Beurteilung, ob Studienergebnisse eine bestimmte Hypothese über eine Population stützen.
• Ein Hypothesentest besteht aus Nullhypothese ($H_0$), Alternativhypothese ($H_A$), Teststatistik, Ablehnungsbereich und Schlussfolgerung.

Nullhypothese ($H_0$)

• Die Nullhypothese ist eine Aussage über einen Populationsparameter.
• Sie wird vorläufig als wahr angenommen, bis überwältigende Beweise ihre Ablehnung rechtfertigen.
• Beispiele für Nullhypothesen sind: $\mu = 0$, $\mu_1 = \mu_2$, oder $p = 0,5$.

Alternativhypothese ($H_A$)

• Die Alternativhypothese widerspricht der Nullhypothese.
• Mögliche Formulierungen sind: $H_A: \mu \neq 0$ (zweiseitig), $H_A: \mu > 0$ (einseitig, rechts) und $H_A: \mu < 0$ (einseitig, links).
• Sie repräsentiert die Aussage, die man zu beweisen versucht.

Teststatistik

• Die Teststatistik ist ein Wert, der aus den Stichprobendaten berechnet wird, um zu entscheiden, ob die Nullhypothese verworfen werden soll.
• Beispiel: Formel für eine t-Statistik:

$$ t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} $$

Ablehnungsbereich

• Der Ablehnungsbereich ist der Wertebereich der Teststatistik, der zur Ablehnung der Nullhypothese führt.

Schlussfolgerung

• $H_0$ wird abgelehnt, wenn die Teststatistik in den Ablehnungsbereich fällt.
• $H_0$ wird nicht abgelehnt, wenn die Teststatistik außerhalb des Ablehnungsbereichs liegt.
• $H_0$ wird niemals akzeptiert.

Fehlerarten

• Typ-I-Fehler: $H_0$ wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist.
• Typ-II-Fehler: $H_0$ wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist.
• $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Typ-I-Fehler: $P(\text{Typ I Fehler}) = P(\text{Ablehnung von } H_0 \text{, wenn } H_0 \richtig ist})$.
• $\beta$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Typ-II-Fehler: $P(\text{Typ II Fehler}) = P(\text{Nichtablehnung von } H_0 \text{, wenn } H_0 \falsch ist})$.

Analogie: Strafprozess

• $H_0$: Der Angeklagte ist unschuldig.
• $H_A$: Der Angeklagte ist schuldig.
• Typ-I-Fehler: Eine unschuldige Person wird verurteilt.
• Typ-II-Fehler: Eine schuldige Person wird freigelassen.
• Der Angeklagte gilt als unschuldig, solange keine erdrückenden Beweise für seine Schuld vorliegen.
• Man erklärt den Angeklagten nicht für unschuldig, sondern für nicht schuldig, oder man versäumt es, ihn zu verurteilen.

p-Wert

• Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik zu beobachten, die so extrem oder extremer ist als die beobachtete, unter der Annahme, dass H0 wahr ist.
• Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $H_0$ wahr ist.
• Wenn p-Wert < $\alpha$, wird $H_0$ abgelehnt.
• Wenn p-Wert > $\alpha$, wird $H_0$ nicht abgelehnt.
• Je kleiner der p-Wert, desto stärker die Evidenz gegen $H_0$.
• Beispiel: p-Wert = 0,03 bedeutet, dass man, wenn $H_0$ wahr ist, eine Teststatistik von 3 % der Zeit so extrem oder extremer als die beobachtete beobachten würde
• Der p-Wert ist ein Weg, um die Stärke der Evidenz gegen $H_0$ anzugeben

Machine Learning - Andrew NG

Kapitel 9: Dimensionsreduktion

• Datenkomprimierung ist die Reduzierung des Speicher-/Festplattenplatzbedarfs und beschleunigt den Lernalgorithmus.
• Visualisierung ermöglicht es, hochdimensionale Daten zu visualisieren.

Dimensionsreduktion

• Datenkomprimierung von 3D auf 2D.
• Datenkomprimierung von nD auf 2D.

Hauptkomponentenanalyse (PCA)

• PCA Algorithmus:
  1. Datenvorverarbeitung
     • $\mu = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x^{(i)}$
     • Ersetze jedes $x^{(i)}$ durch $x^{(i)}-\mu$
     • $\sigma_j^2 = \frac{1}{m}\sum_{i}^{m}(x_j^{(i)})^2$
     • Ersetze jedes $x_j^{(i)}$ durch $\frac{x_j^{(i)}}{\sigma_j}$
  2. Berechnung der Kovarianzmatrix
     • $\Sigma = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(x^{(i)})(x^{(i)})^T$
     • In Octave: Sigma = (1/m) * X' * X;
  3. Berechnung der Eigenvektoren von $\Sigma$
     • [U,S,V] = svd(Sigma);
     • U = [u(1) u(2)... u(n)]
     • Reduktion von n-Dimension auf k-Dimension
     • Nehme die ersten k Spalten von U
     • Ureduce = U(:, 1:k);
  4. Gegeben ein neues Beispiel $x$:
     • $z = U_{reduce}^T * x$
     • $z \in \mathbb{R}^k$

Anwendung von PCA

• Rekonstruktion aus komprimierter Darstellung:

$$ x \approx x_{approx} = U_{reduce} * z $$

Wahl der Anzahl der Hauptkomponenten

• Durchschnittlicher quadratischer Projektionsfehler: $\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} ||x^{(i)} - x_{approx}^{(i)}||^2$
• Totale Variation in den Originaldaten: $\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} ||x^{(i)}||^2$
• Wahl des kleinsten Wertes von $k$ für den gilt:

$$ \frac{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} ||x^{(i)} - x_{approx}^{(i)}||^2}{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} ||x^{(i)}||^2} \leq 0.01 $$

• Mit anderen Worten, 99% der Varianz werden beibehalten.
• Alternativer Algorithmus:
  • $[U,S,V] = svd(Sigma);`
  • $S = \begin{bmatrix} S_{11} & 0 &... & 0 \ 0 & S_{22} &... & 0 \... &... &... &... \ 0 & 0 &... & S_{nn} \end{bmatrix}$
  • Wähle den kleinsten Wert von $k$ für den gilt: $\frac{\sum_{i=1}^{k}S_{ii}}{\sum_{i=1}^{n}S_{ii}} \geq 0.99$

Ratschläge zur Anwendung von PCA

• Überwachtes Lernen
  • Gegeben $(x^{(1)}, y^{(1)}), (x^{(2)}, y^{(2)}),..., (x^{(m)}, y^{(m)})$
  • $x^{(i)} \in \mathbb{R}^{10000}$
  • Unüberwachtes Lernen, daher nur auf den Trainingssatz anwenden, $x^{(1)},..., x^{(m)}$
  • $x \rightarrow z$
  • Neuer Trainingssatz $(z^{(1)}, y^{(1)}), (z^{(2)}, y^{(2)}),..., (z^{(m)}, y^{(m)})$
  • $z^{(i)} \in \mathbb{R}^{1000}$
• Anwendung von PCA:
  • Kompression: Verringert Speicher-/Festplattenplatz und beschleunigt Lernalgorithmus
  • Visualisierung
• Schlechte Verwendung von PCA: Um Überanpassung zu verhindern
  • Verwende stattdessen Regularisierung. PCA verwirft einige Informationen, und es kann wertvolle Informationen verwerfen.

Beweis des Theorems

• Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann gilt:
• $A \subset X$ ist kompakt $\iff$ $A$ ist vollständig und total beschränkt.

Beweis:

• ($\Rightarrow$) Angenommen, $A$ ist kompakt
• Wir müssen zeigen, dass
  1. A ist vollständig
  2. A ist total beschränkt

Beweis, dass A vollständig ist:

• Sei $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ eine Cauchy-Folge in A.
• Da $A$ kompakt ist $\Rightarrow$ $A$ ist sequentiell kompakt, also $\exists$ eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k}){k=1}^{\infty}$ s.d. $x{n_k} \to x \in A$ für $k \to \infty$
• Da $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ Cauchy ist, gilt $\forall \epsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ s.d. $d(x_n, x_m) < \epsilon$ $\forall n, m \geq N$.
• Da $x_{n_k} \to x$ für $k \to \infty$, $\exists K \in \mathbb{N}$ s.d. $d(x_{n_k}, x) < \epsilon$ $\forall k \geq K$.
• Wähle $M = \max{N, K}$. Dann gilt $n_M \geq M$, also $n_M \geq N$ und $n_M \geq K$.
• Also gilt $\forall n \geq N$:

$d(x_n, x) \leq d(x_n, x_{n_M}) + d(x_{n_M}, x) < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$.

• Also $x_n \to x$ für $n \to \infty$. Da $x \in A$, ist $A$ vollständig.

Beweis, dass $A$ total beschränkt ist:

• Angenommen, $A$ ist nicht total beschränkt.

• Dann gilt $\exists \epsilon > 0$ s.d. $A$ nicht von endlich vielen Kugeln mit Radius $\epsilon$ bedeckt werden kann.

• Wähle ein beliebiges $x_1 \in A$. Dann bedeckt $B_{\epsilon}(x_1)$ nicht $A$, also $\exists x_2 \in A$ s.d. $x_2 \notin B_{\epsilon}(x_1)$. Also gilt $d(x_1, x_2) \geq \epsilon$.

• Dann bedeckt $B_{\epsilon}(x_1) \cup B_{\epsilon}(x_2)$ nicht $A$, also $\exists x_3 \in A$ s.d. $x_3 \notin B_{\epsilon}(x_1) \cup B_{\epsilon}(x_2)$. Also gilt $d(x_1, x_3) \geq \epsilon$ und $d(x_2, x_3) \geq \epsilon$.

• Setze dies fort, um eine Folge $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ in $A$ zu erhalten s.d. $d(x_n, x_m) \geq \epsilon$ $\forall n \neq m$.

• Dann hat $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ keine konvergente Teilfolge (weil sie nicht Cauchy ist).

• Also ist $A$ nicht sequenziell kompakt, was einen Widerspruch dazu darstellt, dass $A$ kompakt ist.

• Also muss $A$ total beschränkt sein.

• ($\Leftarrow$) Angenommen, $A$ ist vollständig und total beschränkt.

• Wir müssen zeigen, dass $A$ kompakt ist.

• Es genügt zu zeigen, dass $A$ sequenziell kompakt ist.

• Sei $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ eine Folge in $A$.

• Da $A$ total beschränkt ist, kann $A$ von endlich vielen Kugeln mit Radius 1 bedeckt werden.

• Also $\exists$ $x_1^1,..., x_{n_1}^1 \in A$ s.d. $A \subset \bigcup_{i=1}^{n_1} B_1(x_i^1)$.

• Dann $\exists$ $x_{k_1} \in (x_n){n=1}^{\infty}$ s.d. $x{k_1} \in B_1(x_i^1)$ für unendlich viele $n$.

• Sei $(x_n^1){n=1}^{\infty}$ die Teilfolge von $(x_n){n=1}^{\infty}$, die in $B_1(x_i^1)$ liegt.

• Da $A$ total beschränkt ist, kann $A$ von endlich vielen Kugeln mit Radius $\frac{1}{2}$ bedeckt werden.

• Also $\exists$ $x_1^2,..., x_{n_2}^2 \in A$ s.d. $A \subset \bigcup_{i=1}^{n_2} B_{\frac{1}{2}}(x_i^2)$.

• Dann $\exists$ $x_{k_2} \in (x_n^1){n=1}^{\infty}$ s.d. $x{k_2} \in B_{\frac{1}{2}}(x_i^2)$ für unendlich viele $n$.

• Sei $(x_n^2){n=1}^{\infty}$ die Teilfolge von $(x_n^1){n=1}^{\infty}$, die in $B_{\frac{1}{2}}(x_i^2)$ liegt.

• Setze dies fort, um eine Folge von Teilfolgen $(x_n^k){n=1}^{\infty}$ von $(x_n){n=1}^{\infty}$ zu erhalten s.d. $(x_n^k){n=1}^{\infty} \subset B{\frac{1}{k}}(x_i^k)$ für ein $x_i^k \in A$.

• Betrachte die Diagonalfolge $(x_n^n)_{n=1}^{\infty}$.

• Dann ist für beliebiges $k$ $(x_n^n){n=k}^{\infty}$ eine Teilfolge von $(x_n^k){n=1}^{\infty}$.

• Also ist $(x_n^n){n=k}^{\infty} \subset B{\frac{1}{k}}(x_i^k)$.

• Also gilt $\forall n, m \geq K$, $d(x_n^n, x_m^m) \leq d(x_n^n, x_i^k) + d(x_m^m, x_i^k) < \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$.

• Also ist $(x_n^n){n=1}^{\infty}$ Cauchy. Da $A$ vollständig ist, konvergiert $(x_n^n){n=1}^{\infty}$ gegen ein $x \in A$.

• Also ist $A$ sequenziell kompakt.

• Also ist $A$ kompakt.

Thermodynamik: Erster Hauptsatz

Definitionen

• System: Der Teil des Universums, der von Interesse ist.
• Umgebung: Alles andere als das System.
• Universum: System + Umgebung.
• Arten von Systemen:
  • Offen: Austausch von Materie und Energie möglich.
  • Geschlossen: Austausch von Energie, aber nicht von Materie möglich.
  • Isoliert: Kein Austausch von Materie oder Energie möglich.

Arbeit und Wärme

• Arbeit (w): Energieübertragung, die genutzt werden kann, um ein Gewicht zu heben.
  • Volumenänderungen: $w = -\int_{V_i}^{V_f} P_{ex} dV$.
    • Konstanter äußerer Druck: $w = -P_{ex} \Delta V$.
  • Reversibel (immer im Gleichgewicht): $w = -nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)$.
• Wärme (q): Energieübertragung aufgrund einer Temperaturdifferenz.
  • $q = C \Delta T$.
    • $C$ = Wärmekapazität.
    • $C_v$: konstantes Volumen.
    • $C_p$: konstanter Druck.
  • Molare Wärmekapazität: $C_m = \frac{C}{n}$.

Innere Energie (U)

• Zustandsfunktion: Hängt nur vom aktuellen Zustand ab, nicht davon, wie dieser Zustand erreicht wurde.
• Erster Hauptsatz der Thermodynamik: $\Delta U = q + w$.
• Konstantes Volumen: $\Delta U = q_v$.
• Ideales Gas, konstante Temperatur: $\Delta U = 0$.
• Enthalpie: $H = U + PV$.
  • Zustandsfunktion.
  • Konstanter Druck: $\Delta H = q_p$.
  • $\Delta H = \Delta U + \Delta (PV) = \Delta U + P \Delta V$ (konstanter Druck).
  • $\Delta H = \Delta U + \Delta n_{gas} RT$ (konstante Temperatur unter der Annahme eines idealen Gases).

Standard-Enthalpieänderungen

• Standardbedingungen:
  • Gase: 1 bar, ideales Verhalten.
  • Lösungen: 1 M.
  • Feststoffe/Flüssigkeiten: rein, stabilste Form bei 1 bar und der angegebenen Temperatur.
• Standardbildungsenthalpie ($\Delta H_f^\ominus$): Enthalpieänderung für die Bildung von 1 mol einer Verbindung aus ihren Elementen in ihren Standardzuständen.
  • $\Delta H^\ominus = \sum n \Delta H_f^\ominus (Produkte) - \sum n \Delta H_f^\ominus (Reaktanten)$.
• Satz von Hess: Da H eine Zustandsfunktion ist, ist die Enthalpieänderung einer Reaktion unabhängig vom Weg zwischen dem Anfangs- und Endzustand.
• Temperaturabhängigkeit: $\Delta H^\ominus (T_2) = \Delta H^\ominus (T_1) + \int_{T_1}^{T_2} \Delta C_p^\ominus dT$.

Thermodynamik: Zweiter Hauptsatz

Entropie (S)

• $dS = \frac{dq_{rev}}{T}$
• $\Delta S = \int \frac{dq_{rev}}{T}$
• Zustandsfunktion
• Isothermer Prozess: $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T}$
• Phasenübergang: $\Delta S = \frac{\Delta H}{T}$
• Temperaturabhängigkeit: $\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{C_v}{T} dT = C_v \ln \frac{T_f}{T_i}$ (konstantes Volumen)
• Dritter Hauptsatz der Thermodynamik: Die Entropie eines perfekten Kristalls bei 0 K ist null.
• Molare Standardentropie ($S_m^\ominus$): Entropie von 1 mol einer Substanz in ihrem Standardzustand.
• $\Delta S^\ominus = \sum nS_m^\ominus(Produkte) - \sum nS_m^\ominus(Reaktanten)$
• Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik: Für einen spontanen Prozess nimmt die Gesamtentropie des Systems und der Umgebung zu.
• $\Delta S_{tot} = \Delta S + \Delta S_{surr} > 0$
• $\Delta S_{surr} = \frac{q_{surr}}{T} = \frac{-\Delta H}{T}$ (konstanter Druck)

Gibbs-Energie (G)

• $G = H - TS$
• Zustandsfunktion
• $\Delta G = \Delta H - T \Delta S$ (konstante Temperatur)
• $\Delta G < 0$: spontan
• $\Delta G = 0$: Gleichgewicht
• $\Delta G > 0$: nicht spontan
• Temperaturabhängigkeit: $\Delta G^\ominus = \Delta H^\ominus - T\Delta S^\ominus$
• Standard Gibbs Bildungsenergie ($\Delta G_f^\ominus$): Gibbs-Energieänderung zur Bildung von 1 mol einer Verbindung aus ihren Elementen in ihren Standardzuständen.
• $\Delta G^\ominus = \sum n \Delta G_f^\ominus(Produkte) - \sum n \Delta G_f^\ominus(Reaktanten)$

Phasengleichgewichte

Chemisches Potenzial ($\mu$)

• Partielle molare Gibbs-Energie
• $\mu = (\frac{\partial G}{\partial n_j}){T,P,n{i \neq j}}$

Phasendiagramm

• Phasengrenze: Linie, die zwei Phasen trennt, wobei die chemischen Potentiale der beiden Phasen gleich sind.
• Clausius-Clapeyron-Gleichung: -$\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta S}{\Delta V}=\frac{\Delta H}{T \Delta V}$
• Verdampfung/Sublimation: $\ln \frac{P_2}{P_1} = -\frac{\Delta H}{R} (\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1})$
• Tripelpunkt: Punkt, an dem drei Phasen im Gleichgewicht stehen.

Wärmeübertragung: Modi der Wärmeübertragung

Wärmeleitung

• Wärmeübertragung in einem Festkörper oder einer ruhenden Flüssigkeit aufgrund eines Temperaturgradienten. $q \propto \bigtriangleup T$
• Wärmeleitungsgleichung:

$q = -kA\frac{\bigtriangleup T}{\bigtriangleup x}$

• q ist die Wärmeübertragungsrate in Watt (W).
• k ist die Wärmeleitfähigkeit in Watt pro Meter und Kelvin (W/m·K).
• A ist die Fläche normal zur Richtung des Wärmeflusses ($m^2$).
• $\frac{\bigtriangleup T}{\bigtriangleup x}$ ist der Temperaturgradient in Kelvin pro Meter (K/m).

Konvektion

• Wärmeübertragung zwischen einer Oberfläche und einem strömenden Fluid aufgrund einer Kombination aus Wärmeleitung und Fluidbewegung. $q \propto \bigtriangleup T$
• Konvektionsgleichung:

$q = hA(T_s - T_{\infty})$

• q ist die Wärmeübertragungsrate in Watt (W).
• h ist der Wärmeübergangskoeffizient in Watt pro Quadratmeter und Kelvin ($W/m^2.K$).
• A ist die Oberfläche ($m^2$).
• $T_s$ ist die Oberflächentemperatur in Kelvin (K).
• $T_{\infty}$ ist die Fluidtemperatur in Kelvin (K).

Strahlung

• Wärmeübertragung aufgrund der Emission elektromagnetischer Wellen. $q \propto T^4$
• Strahlungsgleichung:

$q = \epsilon \sigma A (T_s^4 - T_{surr}^4)$

• q ist die Wärmeübertragungsrate in Watt (W).
• $\epsilon$ ist der Emissionsgrad der Oberfläche (dimensionslos).
• $\sigma$ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante ($5.67 \times 10^{-8} W/m^2.K^4$).
• A ist die Oberfläche ($m^2$).
• $T_s$ ist die Oberflächentemperatur in Kelvin (K).
• $T_{surr}$ ist die Umgebungstemperatur in Kelvin (K).

Kombinierte Wärmeübertragung:

• In vielen realen Szenarien erfolgt die Wärmeübertragung durch eine Kombination aus Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung.
• Die gesamte Wärmeübertragungsrate ist die Summe der einzelnen Wärmeübertragungsraten, was zu komplexeren Gleichungen führt.

Bernoulli-Prinzip

• Für eine reibungsfreie Strömung tritt eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids auf. $$ \frac{V^2}{2} + gy + \frac{P}{\rho} = \text{constant} $$

Dabei ist:

• $V =$ Strömungsgeschwindigkeit des Fluids an einem Punkt auf einer Stromlinie
• $g =$ Erdbeschleunigung
• $y =$ Höhe des Punkts über einer Bezugsebene
• $P =$ Druck am Punkt
• $\rho =$ Dichte des Fluids

Die Summe dieser Terme ist konstant entlang einer Stromlinie für eine stationäre, inkompressible Strömung.

Venturi-Düse

• Die Venturi-Düse ist ein Gerät, das das Bernoulli-Prinzip zur Messung der Durchflussrate eines Fluids in einem Rohr verwendet.
• Durch die Messung der Druckdifferenz zwischen den breiten und schmalen Abschnitten der Venturi-Düse kann die Durchflussrate bestimmt werden.
• Venturi-Düsen werden häufig in Anwendungen wie der Messung der Durchflussrate von Wasser in einer Rohrleitung oder der Durchflussrate von Luft in einem Vergaser eingesetzt.

Gleichung:

$Q = A_1 \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(1-(A_1/A_2)^2)}}$

Dabei ist:

• $Q =$ Durchflussrate
• $A_1 =$ Querschnittsfläche des Rohrs
• $A_2 =$ Querschnittsfläche der Verengung
• $P_1 =$ Druck im Rohr
• $P_2 =$ Druck in der Verengung
• $\rho =$ Dichte des Fluids

Pitotrohr

• Das Pitotrohr ist ein Gerät, das das Bernoulli-Prinzip zur Messung der Geschwindigkeit eines Fluids verwendet.
• Es misst den Stagnationsdruck des Fluids, also den Druck an einem Punkt, an dem das Fluid zur Ruhe gebracht wird.
• Das Pitotrohr wird häufig in Anwendungen wie der Messung der Fluggeschwindigkeit eines Flugzeugs oder der Durchflussrate von Wasser in einem Rohr eingesetzt. Formel: $V = \sqrt{\frac{2(P_t - P_s)}{\rho}}$

Dabei ist:

- $V =$ Strömungsgeschwindigkeit des Fluids
- $P_t =$ Stagnations- oder Gesamtdruck
- $P_s =$ statischer Druck
-  $\rho =$ Dichte des Fluids

Statistische Thermodynamik – Vorlesung 1

Was ist Thermodynamik?

• Thermodynamik ist die Lehre von den Beziehungen zwischen Wärme, Arbeit und Energie.

• Sie befasst sich mit makroskopischen Eigenschaften der Materie wie Temperatur, Druck und Volumen und auch mit der Übertragung von Energie von einer Form in eine andere.

• Die drei Grundgesetze der Thermodynamik sind:

  1. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden, sie kann nur ihre Form ändern.
  2. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik: Die Entropie eines isolierten Systems nimmt immer zu oder bleibt konstant.
  3. Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik: Die Entropie eines Systems nähert sich einem Minimalwert, wenn die Temperatur sich dem absoluten Nullpunkt nähert.

Was ist Statistische Thermodynamik?

• Die Statistische Thermodynamik ist ein Zweig der Thermodynamik, der die makroskopischen Eigenschaften der Materie mit dem mikroskopischen Verhalten ihrer Bestandteilchen (Atome und Moleküle) verbindet.
• Die Statistische Thermodynamik bietet einen Rahmen für das Verständnis des Verhaltens makroskopischer Systeme auf der Grundlage der statistischen Eigenschaften ihrer mikroskopischen Bestandteile.

Boltzmann-Verteilung

Einführung

• Die Boltzmann-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich ein System in einem bestimmten Zustand befindet, als Funktion der Energie dieses Zustands und der Temperatur des Systems.
• Sie ist nach Ludwig Boltzmann benannt, der sie 1868 erstmals ableitete.
• Betrachten wir eine Menge von $N$ Teilchen, die frei Energie miteinander austauschen können. Nehmen wir an, dass die Teilchen nicht miteinander wechselwirken. Diese Teilchen sind auf eine Menge von Energieniveaus, $\epsilon_i$ verteilt, wobei $i = 1, 2, 3, \dots , n$. Die Anzahl der Teilchen in jedem Energieniveau ist $N_i$. Die Gesamtenergie des Systems ist $E$. Die Gesamtzahl der Teilchen ist $N$.

Nebenbedingungen

• Die Werte von $N_i$ werden durch die folgenden Gleichungen eingeschränkt: $\qquad N = \sum_i N_i$ $\qquad E = \sum_i N_i \epsilon_i$

Ableitung

• Die Anzahl der Möglichkeiten, N Teilchen unter den Energieniveaus anzuordnen, wird durch den Multinomialkoeffizienten gegeben: $\qquad \Omega = \frac{N!}{N_1! N_2! \dots N_n!}$
• Wir wollen die Menge der finde $N_i$, die $\Omega$ unter den oben genannten Randbedingungen maximiert. Dazu können wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Wir wollen die folgende Funktion maximieren: $\qquad L = \ln \Omega - \alpha (\sum_i N_i - N) - \beta (\sum_i N_i \epsilon_i - E)$
• wobei $\alpha$ und $\beta$ Lagrange-Multiplikatoren sind. Die Ableitung von $L$ nach $N_i$ zu bilden und sie gleich Null zu setzen, ergibt: $\qquad \frac{\partial L}{\partial N_i} = \frac{\partial \ln \Omega}{\partial N_i} - \alpha - \beta \epsilon_i = 0$
• Unter Verwendung der Stirling-Approximation, $\ln N! \approx N \ln N - N$, haben wir: $\qquad \frac{\partial \ln \Omega}{\partial N_i} = \frac{\partial}{\partial N_i} (N \ln N - N - \sum_i (N_i \ln N_i - N_i)) = - \ln N_i$
• Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so erhalten wir: $\qquad -\ln N_i - \alpha - \beta \epsilon_i = 0$
• Auflösen nach $N_i$ ergibt: $\qquad N_i = e^{-\alpha - \beta \epsilon_i} = e^{-\alpha} e^{-\beta \epsilon_i}$
• Wir können $e^{-\alpha}$ bestimmen, indem wir die Nebenbedingung $\sum_i N_i = N$ verwenden: $\qquad N = \sum_i N_i = \sum_i e^{-\alpha} e^{-\beta \epsilon_i} = e^{-\alpha} \sum_i e^{-\beta \epsilon_i}$
• Auflösen nach $e^{-\alpha}$ ergibt: $\qquad e^{-\alpha} = \frac{N}{\sum_i e^{-\beta \epsilon_i}}$
• Setzen wir dies in die Gleichung für $N_i$ ein, so erhalten wir: $\qquad N_i = \frac{N e^{-\beta \epsilon_i}}{\sum_i e^{-\beta \epsilon_i}}$
• Die Boltzmann-Verteilung wird dann gegeben durch: $\qquad p_i = \frac{N_i}{N} = \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{\sum_i e^{-\beta \epsilon_i}}$
• wobei $p_i$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich ein Teilchen im Zustand $i$ befindet. Der Term $\sum_i e^{-\beta \epsilon_i}$ wird als Partitionsfunktion $q$ bezeichnet: $\qquad q = \sum_i e^{-\beta \epsilon_i}$

Zusammenfassung:

$\qquad p_i = \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{q}$ $\qquad q = \sum_i e^{-\beta \epsilon_i}$

• Hier ist $\beta = \frac{1}{kT}$, wobei $k$ die Boltzmann-Konstante ist und $T$ die Temperatur. Die Boltzmann-Konstante $k \approx 1.38 \times 10^{-23} \frac{J}{K}$. Wir können die Boltzmann-Verteilung also umschreiben als: $\qquad p_i = \frac{e^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}}{q}$ $\qquad q = \sum_i e^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}$