حلول متسلسلة للمعادلات التفاضلية

مقدمة

• المشاكل المادية في العديد من المجالات تؤدي إلى معادلات تفاضلية يجب حلها.
• يمكن حل بعض هذه المشاكل بطرق ابتدائية، ولكن عندما لا تنطبق هذه الطرق، يمكننا اللجوء إلى حلول متسلسلة.
• يمكن حل المعادلة التفاضلية البسيطة y` = 2xy بسهولة بواسطة طرق العناصر.

حلول السلسلة

• نفترض أن حل المعادلة التفاضلية هو سلسلة قوى على النحو التالي: y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + aₙxⁿ + ... = Σ aₙxⁿ, حيث يجب إيجاد a.
• عن طريق التفاضل بين (1.2) مصطلح بمصطلح نحصل على y` = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ... + naₙxⁿ⁻¹ + ... = Σ naₙxⁿ⁻¹.
• نعوض (1.2) و (1.3) في المعادلة التفاضلية (1.1); ثم لدينا سلسلتان من القوى متساويتان لبعضهما البعض.
• يجب تحقيق المعادلة التفاضلية الأصلية في جميع قيم x، أي أن y` و 2xy هما نفس الدالة لـ x.
• بما أن للدالة المعطاة توسيع سلسلة واحد فقط في قوى x، يجب أن تكون السلسلتان متطابقتين، أي يجب أن تكون معاملات القوى المقابلة لـ x متساوية.
• نحصل على مجموعة المعادلات التالية لـ a: a₁ = 0, a₂ = a₀, a₃ = a₁ = 0, a₄ = ½a₀, أو بشكل عام: naₙ = 2aₙ₋₂, aₙ = (0, n فردي، 2/n aₙ₋₂, n زوجي).
• بوضع n = 2m (بما أن المصطلحات الزوجية فقط تظهر في هذا التسلسل)، نحصل على a₂ₘ = 2/2m a₂ₘ₋₂ = 1/m a₂ₘ₋₂ = 1/m 1/(m-1) a₂ₘ₋₄ = ... = 1/m! a₀.
• استبدال قيم هذه المعاملات في الحل المفترض (1.2) يعطي الحل y = a₀ + a₀x² + ½ a₀x⁴ + ... + 1/m! a₀x²ₘ + ... = a₀ Σ x²ₘ/m!.

مقارنة مع طريقة أولية

• لنقارن هذا مع الحل بطريقة أولية (وفي هذه الحالة، فصل المتغيرات): (dy)/y = 2x dx, ln y = x² + ln c, y = ceˣ².
• بتوسيع هذا في سلسلة قوى لـ x²، نحصل على: y = c(1 + x²/(1!) + x⁴/(2!) + ...) = c Σ x²ⁿ/n!, والذي، مع c = a₀، هو نفس حل السلسلة (1.7).
• لا يمكنك دائمًا توقع العثور على الشكل المغلق لحل سلسلة القوى (أي دالة ابتدائية لتوسيع سلسلة القوى الخاص بك)، ولكن في الحالات البسيطة قد تتعرف عليه.
• بالطبع، في هذه الحالة، يمكن أيضًا حل المشكلة بدون سلسلة; الحاجة الحقيقية إلى السلسلة هي في المشاكل التي لا يوجد لها شكل مغلق من حيث الدوال الأولية.
• يجب أن تدرك أيضًا أنه لا تحتوي جميع الحلول على توسعات سلسلة في قوى x، على سبيل المثال، ln x أو 1/x².
• كل ما يمكننا قوله هو أنه إذا كان هناك حل يمكن تمثيله بسلسلة قوى متقاربة، فإن هذه الطريقة ستجده.
• سنناقش لاحقًا (القسم 21ب) بعض النظريات التي تخبرنا متى يمكننا توقع العثور على مثل هذا الحل.

معادلة ليجندر

• معادلة ليجندر التفاضلية هي: (1 - x²)y" - 2xy` + l(l + 1)y = 0، حيث l ثابت.
• تنشأ هذه المعادلة في حل المعادلات التفاضلية الجزئية في الإحداثيات الكروية وفي المسائل في الميكانيكا والميكانيكا الكمية والفيزياء والكهرومغناطيسية والحرارة، الخ، مع التناظر الكروي.
• على الرغم من أن الحلول الأكثر فائدة لهذه المعادلة هي كثيرات الحدود (تسمى كثيرات حدود ليجندر)، فإن إحدى طرق العثور عليها هي افتراض حل سلسلة للمعادلة التفاضلية، وإظهار أن السلسلة تنتهي بعد عدد محدود من الحدود.

إيجاد المعادلة

• نفترض حل السلسلة y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + ... + aₙxⁿ + ... و نقوم بتفاضله حدًا بحد مرتين للحصول على y = a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + 4a₄x³ + ... + naₙxⁿ⁻¹ + ..., y" = 2a₂ + 6a₃x + 12a₄x² + 20a₅x³ + ... + n(n - 1)aₙxⁿ⁻² + ....
• ثم نعوض (2.2) في (2.1) ونجمع معاملات القوى المختلفة لـ x; من المناسب جدولة لهم على النحو التالي:
  • y" : 2a₂ ; 6a₃ x ; 12a₄ x² ; 20a₅ x³; (n+2)(n+1)aₙ₊₂ xⁿ
  • -x²y" :; -2a₀ x ; -6a₁ x²; -12a₂ x³; -n(n-1)aₙ xⁿ
  • -2xy` :; -2a₁ x ; -4a₂ x²; -6a₃ x³; -2naₙ xⁿ
  • l(l+1)y : l(l+1)a₀; l(l+1)a₁ x; l(l+1)a₂ x² ; l(l+1)a₃ x³; l(l+1)aₙ xⁿ
  • ثابت :; x; x² ; x³; xⁿ

حلول إضافية

• بعد ذلك، نضع المعامل الإجمالي لكل قوة من x يساوي الصفر.
• بالنسبة للقوى القليلة الأولى من x، نحصل على 2a₂ + l(l + 1)a₀ = 0 أو a₂ = - l(l + 1)/2 a₀; 6a₃ + (l² + l - 2)a₁ = 0 أو a₃ = - (l - 1)(l + 2)/6 a₁; 12a₄ + (l² + l - 6)a₂ = 0 أو a₄ = - (l - 2)(l + 3)/12 a₂ = (l(l + 1)(l - 2)(l + 3))/4! a₀.
• من المعامل xⁿ نحصل على (n + 2)(n + 1)aₙ₊₂ + (l² + l - n² - n)aₙ = 0.
• يمكن تحليل معامل aₙ في (2.4) لإعطاء l² - n² + l - n = (l + n)(l - n) + (l - n) = (l - n)(l + n + 1).
• ثم يمكننا كتابة صيغة عامة لـ aₙ₊₂ بدلالة aₙ.
• تتضمن هذه الصيغة (2.6) الصيغ (2.3) لـ a₂ و a₃ و a₄، وتجعل من الممكن بالنسبة لنا إيجاد أي معامل زوجي كمضاعف لـ a₀، وأي معامل فردي كمضاعف لـ a₁.
• بحل (2.4) لـ aₙ₊₂ وباستخدام (2.5)، لدينا aₙ₊₂ = ((l - n)(l + n + 1))/((n + 2)(n + 1)) aₙ.
• الحل العام لـ (2.1) هو إذن مجموع سلسلتين تحتوي على (كما يجب أن يكون حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية) ثابتين a₀ و a₁ يتم تحديدهما بواسطة الشروط الأولية المعطاة: y = a₀ [1 - (l(l + 1))/2! x² + (l(l + 1)(l - 2)(l + 3))/4! x⁴ ...] + a₁ [x - ((l - 1)(l + 2))/3! x³ + ((l - 1)(l + 2)(l - 3)(l + 4))/5! x⁵ ...].

التقارب

• من المعادلة (2.6) يمكنك أن ترى عن طريق اختبار النسبة أن هذه السلاسل تتقارب لـ x² < 1.
• يمكن أن يظهر أنه، بشكل عام، لا تتقارب لـ x² = 1.
• كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك سلسلة a₁ لـ l = 0. إذا كان x² = 1، فإن هذه السلسلة היא 1 + ⅓ + ⅕ + ...، أي السلسلة التوافقية، وهي متباعدة.
• في العديد من التطبيقات، x הוא تجيب الزاوية θ، و l هو عدد صحيح (غير سالب).
• نريد حلاً يتقارب لجميع θ، أي حلاً يتقارب عند x = ± 1 بالإضافة إلى |x| < 1.
• يمكننا دائمًا العثور على حل واحد (ولكن ليس اثنين) لـ l متكامل; لنر كيف.

كثيرات حدود ليجندر

• بالنسبة لـ l = 0، تتباعد سلسلة a₁ في (2.7). لكن انظر إلى سلسلة a₀; إنها تعطي فقط y = a₀ لـ l = 0 لأن بقية الحدود تحتوي على العامل l.
• إذا كان l = 1، تتباعد سلسلة a₀ عند x² = 1، لكن سلسلة a₁ تتوقف مع y = a₁x لأن بقية الحدود في سلسلة a₁ تحتوي على العامل (l - 1).
• بالنسبة لأي l متكامل، تنتهي إحدى السلاسل وتعطي حلاً متعدد الحدود; السلسلة الأخرى متباعدة عند x² = 1.
• (ستعطي القيم السالبة المتكاملة لـ l ببساطة حلولًا تم الحصول عليها بالفعل لـ l الموجبة; على سبيل المثال، l = -2 يعطي الحل متعدد الحدود y = a₁x وهو نفس الحل لـ l = 1. وبالتالي، من المعتاد حصر l في القيم غير السالبة.)
• وهكذا نحصل على مجموعة من حلول متعددة الحدود لمعادلة ليجندر، واحد لكل عدد صحيح غير سالب l. كل حل يحتوي على عامل ثابت تعسفي (a₀ أو a₁); لـ l = 0, y = a₀; لـ l = 1, y = a₁x, وما إلى ذلك.
• إذا تم تحديد قيمة a₀ أو a₁ في كل متعددة حدود بحيث يكون y = 1 عندما x = 1، تسمى كثيرات الحدود الناتجة كثيرات حدود ليجندر، وهي مكتوبة P₁(x).
• من (2.6) و (2.7) والمتطلبات P₁(1) = 1، نجد التعبيرات التالية لأول عدد قليل من كثيرات حدود ليجندر: , P₀(x) = 1, P₁(x) = x, P₂(x) = ½(3x² - 1).
• سيتم ترك العثور على المزيد من كثيرات حدود ليجندر بهذه الطريقة وطرق أخرى للمشاكل.
• على الرغم من أنه يمكن العثور على P(x) لأي l متكامل بهذه الطريقة، إلا أنه سيتم تحديد طرق أبسط للحصول على كثيرات حدود ليجندر لقيم l الأكبر في الأقسام 4 و 5.

مشاكل القيمة الذاتية

• في إيجاد كثيرات حدود ليجندر كحلول لمعادلة ليجندر (2.1)، قمنا بحل مشكلة قيمة ذاتية.
• تذكر أنه في مشكلة القيمة الذاتية يتم إعطاؤنا معادلة أو مجموعة من المعادلات التي تحتوي على معامل، ونريد حلولًا تحقق شرطًا خاصًا; من أجل الحصول على مثل هذه الحلول، يجب علينا اختيار قيم معينة (تسمى القيم الذاتية) للمعامل في المشكلة.
• في إيجاد كثيرات حدود ليجندر، طلبنا حلول سلسلة لمعادلة ليجندر (2.1) التي تتقارب عند x = ± 1.
• رأينا أنه يمكننا الحصول على مثل هذه الحلول إذا كانت المعاملات l تأخذ أي قيمة متكاملة.
• قيم l، وهي 0, 1, 2, ..., تسمى القيم الذاتية (أو القيم المميزة); تسمى الحلول المقابلة P₁(x) الدوال الذاتية (أو الدوال المميزة).

التوسع في الإمكانات

• الدالة المولدة مفيدة في المشاكل التي تتعامل مع الإمكانات المرتبطة بأي قوة تربيعية معكوسة.
• تذكر أن قوة الجاذبية بين كتلتين نقطيتين تفصل بينهما مسافة d تتناسب مع 1/d² وطاقة الإمكانات المرتبطة بها تتناسب مع 1/d.
• وبالمثل، فإن قوة الجاذبية بين شحنتين كهربائيتين على مسافة d تتناسب مع 1/d² وطاقة الإمكانات الكهربائية المرتبطة بها تتناسب مع 1/d. في كلتا الحالتين يمكننا كتابة الإمكانات على النحو التالي: V = K/d، حيث K هو ثابت مناسب.
• في الشكل 5.1، لنفترض أن الكتلتين (أو الشحنات) تقعان عند رؤوس المتجهين r و R. ثم، وفقًا لقانون جيب التمام، فإن المسافة بينهما هي: d = |R - r| = √(R² - 2Rr cos θ + r²) = R√(1 - 2 r/R cos θ + (r/R)²).