Heat Transfer Equations

Heat Transfer Rate Equation

• The heat transfer rate equation is given by $Q = UA\Delta T$.
• $Q$ represents the heat transfer rate.
• $U$ signifies the overall heat transfer coefficient.
• $A$ denotes the area.
• $\Delta T$ describes the temperature difference.

Conduction

• The equation for heat transfer by conduction is $Q = \frac{kA\Delta T}{L}$.
• $k$ is the thermal conductivity of the material.
• $A$ is the area through which heat is transferred.
• $\Delta T$ is the temperature difference across the material.
• $L$ is the thickness or length of the material.

Convection

• The equation for heat transfer by convection is $Q = hA\Delta T$.
• $h$ represents the convective heat transfer coefficient.
• $A$ is the surface area for heat transfer.
• $\Delta T$ is the temperature difference between the surface and the fluid.

Radiation

• The equation for heat transfer by radiation is $Q = \epsilon \sigma A (T^4_H - T^4_C)$.
• $\epsilon$ is the emissivity of the radiating surface.
• $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant.
• $A$ is the surface area of the radiating body.
• $T_H$ signifies the absolute temperature of the hot body.
• $T_C$ signifies the absolute temperature of the cold body.

Relational Model Introduction

• The relational model serves as the main data model for commercial data processing today.
• The popularity of the relational model is due to its simplicity and mathematical foundation.

Instructor Relation Example

• A simple relation named instructor is used to store information about instructors.
• The relation contains a set of attributes displayed as columns.
• Every row, or tuple, represents data for a single instructor.

Basic Structure of Relational Model

• Databases are represented as a collection of relations in the relational model.
• A relation is a subset of the Cartesian product of a list of domains.
• Domains possess a logical type, such as integer or string.

Attribute Types with Examples

• Each relation attribute has a name and domain associated with it.
• Example: instructor = (ID, name, dept_name, salary) with each attribute defined.
• ID identifier, integer
• name instructor name, string
• dept_name deparment name, string
• salary integer

Relation Schema Definition

• A relation schema is represented as R = (A1, A2,..., An).
• Where R is the name of the relation.
• A1, A2,..., An is the list of attributes.
• Each attribute Ai owns a domain dom(Ai).

Relation Instance Description

• A relation instance consists of a set of tuples (records).
• Tuples contain attribute values.
• Each tuple has n values, corresponding to the relation's attributes.

Example Relation Instance Explanation

• A relation instance of the instructor relation includes instructor IDs, names, department names, and salaries.

Keys Definition

• A superkey is a set of attributes that uniquely identifies tuples in a relation.
• A candidate key stands as a minimal superkey.
• Primary keys are chosen candidate keys for identifying tuples in a relation.

Schema Diagram Purpose

• A visual presentation known as a schema diagram shows relations, keys, and attributes.

Relational Query Languages Overview

• Data from relation are manipulated and retrieved using query languages.
• Query languages are distinct from conventional programming languages.
• Complex calculations are not their focus.
• Designed for quick, effective access to sizable datasets.

Derivatives: Basic Formulas

• If $f$ and $g$ are differentiable functions, and $c$ and $n$ are constants, then:
• Constant Rule: $\frac{d}{dx}(c) = 0$
• Constant Multiple Rule: $\frac{d}{dx}(cf(x)) = cf'(x)$
• Sum/Difference Rule: $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$
• Power Rule: $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
• Product Rule: $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
• Quotient Rule: $\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
• Chain Rule: $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$

Derivatives: Common Derivatives

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}(cosx) = -sinx$
• $\frac{d}{dx}(tanx) = sec^2x$
• $\frac{d}{dx}(secx) = secxtanx$
• $\frac{d}{dx}(cscx) = -cscxcotx$
• $\frac{d}{dx}(cotx) = -csc^2x$
• $\frac{d}{dx}(sinx) = cosx$
• $\frac{d}{dx}(a^x) = a^xln(a)$
• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(ln(x)) = \frac{1}{x}, x>0$
• $\frac{d}{dx}(log_a(x)) = \frac{1}{xlna}$
• $\frac{d}{dx}(sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$

Integrals: Basic Formulas

• If $f$ and $g$ are differentiable functions, and $c$ is a constant, then:
• Constant Multiple Rule: $\int cf(x)dx = c\int f(x)dx$
• Sum/Difference Rule: $\int f(x) \pm g(x)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
• Definite Integral: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$

Integrals: Common Integrals

• $\int k dx = kx+c$
• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1$
• $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + c$
• $\int e^x dx = e^x + c$
• $\int a^x dx = \frac{a^x}{lna} + c$
• $\int sin(x) dx = -cos(x) + c$
• $\int cos(x) dx = sin(x) + c$
• $\int sec^2(x) dx = tan(x) + c$
• $\int sec(x)tan(x) dx = sec(x) + c$
• $\int csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + c$
• $\int csc^2(x) dx = -cot(x) + c$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$
• $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$
• $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \frac{1}{a}sec^{-1}(\frac{x}{a}) + c$

Trigonometry: Basic Identities

• $sin^2x + cos^2x = 1$
• $tan^2x + 1 = sec^2x$
• $1 + cot^2x = csc^2x$
• $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$
• $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)$
• $sin(A \pm B) = sin(A)cos(B) \pm cos(A)sin(B)$
• $cos(A \pm B) = cos(A)cos(B) \mp sin(A)sin(B)$
• $tan(A \pm B) = \frac{tan(A) \pm tan(B)}{1 \mp tan(A)tan(B)}$

The Unit Circle

• It is a circle with a radius of 1 centered at the origin (0, 0) in the Cartesian coordinate system.

Key Points on the Unit Circle

• (1, 0) corresponds to 0 radians or 0°.
• (0, 1) corresponds to $\frac{\pi}{2}$ radians or 90°.
• (-1, 0) corresponds to $\pi$ radians or 180°.
• (0, -1) corresponds to $\frac{3\pi}{2}$ radians or 270°.

Coordinates on the Unit Circle

• For any angle $\theta$, the coordinates of the point on the unit circle are given by $(cos(\theta), sin(\theta))$.

Common Angles

• The unit circle is often used to find the values of trigonometric functions for common angles such as 0, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, etc.

Reference Angles

• Reference angles are used to find the values of trigonometric functions for angles in all four quadrants. The reference angle is the acute angle formed by the terminal side of the angle and the x-axis.

Trigonometry: Half-Angle Formulas

• $sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - cos(2x))$
• $cos^2(x) = \frac{1}{2}(1 + cos(2x))$

Table of Derivatives and Integrals

Hyperbolic Functions: Definitions

• $sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• $cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• $tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)}$
• $coth(x) = \frac{cosh(x)}{sinh(x)}$
• $sech(x) = \frac{1}{cosh(x)}$
• $csch(x) = \frac{1}{sinh(x)}$

Hyperbolic Functions: Identities

• $cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1$
• $1 - tanh^2(x) = sech^2(x)$
• $coth^2(x) - 1 = csch^2(x)$

Échantillonnage: Définitions

Population

• La population est l'ensemble de tous les individus ou objets d'intérêt dans une étude statistique.
• La taille de la population est notée $N$.

Échantillon

• L'échantillon est un sous-ensemble de la population.
• La taille de l'échantillon est notée $n$.
• Un échantillon est dit représentatif si ses caractéristiques sont similaires à celles de la population entière.

Paramètres

• Les paramètres sont des valeurs qui décrivent une caractéristique de la population.
• Ils sont souvent inconnus et doivent être estimés à partir des données de l'échantillon. -Moyenne de la population : $\mu$ -Écart-type de la population : $\sigma$ -Proportion de la population : $p$

Statistiques (ou estimateurs)

• Les statistiques sont des valeurs calculées à partir des données de l'échantillon, utilisées pour estimer les paramètres de la population. -Moyenne de l'échantillon : $\bar{x}$ -Écart-type de l'échantillon : $s$ -Proportion de l'échantillon : $\hat{p}$

Échantillonnage: Pourquoi l'échantillonnage?

• Contraintes de ressources: Étudier toute la population peut être coûteux en temps et en argent.
• Destruction: Dans certains cas, le test détruit l'objet.
• Accessibilité: La population entière peut être inaccessible.
• Rapidité: L'échantillonnage permet d'obtenir des résultats plus rapidement.

Échantillonnage: Biais d'échantillonnage

• Un biais d'échantillonnage se produit lorsque l'échantillon n'est pas représentatif de la population, conduisant à des estimations inexactes des paramètres de la population.
• Biais de sélection: L'échantillon est sélectionné de manière non aléatoire.
• Biais de non-réponse: Certains individus sélectionnés ne répondent pas à l'enquête.
• Biais de mesure: Les données sont recueillies de manière inexacte.

II. Méthodes d'échantillonnage

Échantillonnage aléatoire simple (EAS)

• Chaque membre de la population a une chance égale d'être sélectionné. -Avantages: Simple à comprendre et à mettre en œuvre. -Inconvénients: Peut ne pas être représentatif si la population est hétérogène. -Sans remise: Un individu sélectionné n'est pas remis dans la population. -Avec remise: Un individu sélectionné est remis dans la population.

Échantillonnage stratifié

• La population est divisée en sous-groupes homogènes (strates). -Un EAS est effectué dans chaque strate. -Avantages: Assure une représentation de chaque sous-groupe. -Inconvénients: Nécessite une connaissance préalable de la structure de la population.

Allocation proportionnelle

• La taille de l'échantillon dans chaque strate est proportionnelle à la taille de la strate dans la population. $$n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$$
• $n_i$ est la taille de l'échantillon dans la strate $i$.
• $n$ est la taille totale de l'échantillon.
• $N_i$ est la taille de la strate $i$ dans la population.
• $N$ est la taille totale de la population.

Allocation optimale

• Prend en compte la variabilité au sein de chaque strate et les coûts d'échantillonnage.

Échantillonnage systématique

• Sélectionne les individus à intervalles réguliers à partir d'une liste ordonnée. -Avantages: Simple à mettre en œuvre. -Inconvénients: Peut être biaisé si la liste a une structure périodique.
• Calculer l'intervalle d'échantillonnage $k = \frac{N}{n}$.
• Sélectionner un point de départ aléatoire entre 1 et $k$.
• Sélectionner chaque $k$-ième individu à partir du point de départ.

Échantillonnage en grappes

• La population est divisée en groupes (grappes). -Un échantillon aléatoire de grappes est sélectionné.
• Tous les individus dans les grappes sélectionnées sont inclus dans l'échantillon. -Avantages: Utile lorsque la population est naturellement regroupée. -Inconvénients: Peut être moins précis que l'EAS si les grappes sont similaires.
• Exemple: Sondage auprès des élèves d'écoles choisies au hasard.

III. Distribution d'échantillonnage

Distribution d'échantillonnage

• La distribution d'échantillonnage d'une statistique est la distribution de toutes les valeurs possibles de cette statistique, calculées à partir de tous les échantillons possibles de même taille, tirés de la même population.

Erreur standard

• L'erreur standard est l'écart-type de la distribution d'échantillonnage d'une statistique.
• Elle mesure la variabilité de la statistique d'échantillon à échantillon.

Théorème central limite (TCL)

• Le théorème central limite stipule que, quelle que soit la distribution de la population, la distribution d'échantillonnage de la moyenne de l'échantillon tend vers une distribution normale lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande (généralement $n \geq 30$).

$$\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$$

• $\bar{X}$ est la moyenne de l'échantillon.
• $\mu$ est la moyenne de la population.
• $\sigma$ est l'écart-type de la population.
• $n$ est la taille de l'échantillon.

TCL

• Le TCL est crucial pour l'inférence statistique car il permet d'utiliser la distribution normale pour faire des estimations et des tests d'hypothèses, même si la distribution de la population est inconnue.

IV. Estimation

Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle est une seule valeur utilisée pour estimer un paramètre de la population.
• la moyenne de l'échantillon $\bar{x}$ est une estimation ponctuelle de la moyenne de la population $\mu$.

Estimation par intervalle

• Un intervalle de confiance est un intervalle de valeurs dans lequel on estime que le paramètre de la population se situe avec un certain niveau de confiance.
• Niveau de confiance: La probabilité que l'intervalle contienne le vrai paramètre de la population (ex: 95%).

IV.3. Construction d'un intervalle de confiance

• Variance $\sigma^2$ connue

$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

• $\bar{x}$ est la moyenne de l'échantillon.

• $\sigma$ est l'écart-type de la population.

• $n$ est la taille de l'échantillon.

• $z_{\alpha/2}$ est la valeur critique de la distribution normale standard correspondant à un niveau de confiance de $(1 - \alpha) \cdot 100%$.

• Variance $\sigma^2$ inconnue

$$\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

• $\bar{x}$ est la moyenne de l'échantillon.

• $s$ est l'écart-type de l'échantillon.

• $n$ est la taille de l'échantillon.

• $t_{n-1, \alpha/2}$ est la valeur critique de la distribution t de Student avec $n-1$ degrés de liberté correspondant à un niveau de confiance de $(1 - \alpha) \cdot 100%$.

  -Proportion $p$ $$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$$

• $\hat{p}$ est la proportion de l'échantillon.

• $n$ est la taille de l'échantillon.

• $z_{\alpha/2}$ est la valeur critique de la distribution normale standard correspondant à un niveau de confiance de $(1 - \alpha) \cdot 100%$.

V. Détermination de la taille de l'échantillon

Pour estimer la moyenne $\mu$

$$n = (\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E})^2$$

• $n$ est la taille de l'échantillon.
• $z_{\alpha/2}$ est la valeur critique de la distribution normale standard.
• $\sigma$ est l'écart-type de la population.
• $E$ est la marge d'erreur souhaitée.

Pour estimer une proportion $p$

$$n = (\frac{z_{\alpha/2}}{E})^2 \cdot p(1 - p)$$

• $n$ est la taille de l'échantillon.
• $z_{\alpha/2}$ est la valeur critique de la distribution normale standard.
• $p$ est une estimation préalable de la proportion.
• $E$ est la marge d'erreur souhaitée.

Chemical Kinetics: Key Concepts

• Chemical kinetics/reaction kinetics is the study of reaction rates and how they change under various conditions.
• It also looks at molecular events in the overall reaction.

Collision Theroy: Key Facts and Information

• Collisions between molecules, atoms, or ions is essential for a reaction to occur.
• Only a fraction of collisions leads to a chemical reaction becaus colliding particles must possess sufficient energy, $E_a$, and collide with the correct orientation.

Factors Affecting Reaction Rate

• Concentration of Reactants: Higher concentrations increase collisions and reaction rate.
• Temperature: Increasing temperature boosts energy for collisions and the rate of reaction.
• Physical State: Physical state and surface area of reactants can affect the reaction rate. Homogeneous systems (same phase) and larger surface areas often yield faster rxn.
• Solvent: Solvents influence rates by affecting reactants' stability and reactivity.
• Catalyst: Speeds a reaction without being consumed by lowering activation energy needed for the reaction.

Reaction Rate: Key Points

• The reaction rate is the change in the concentration of reactants or products per unit of time.

Rate Expression: Formula

• For a general reaction: $aA + bB \rightarrow cC + dD$
• The rate can be expressed as: $Rate = -\frac{1}{a}\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b}\frac{\Delta[B]}{\Delta t} = \frac{1}{c}\frac{\Delta[C]}{\Delta t} = \frac{1}{d}\frac{\Delta[D]}{\Delta t}$

Rate Law: General Equation

• The relationship between reaction rate and concentrations is called the rate law. It's determined experimentally.
• For $aA + bB \rightarrow cC + dD$ the rate law is expressed as $Rate = k[A]^m[B]^n$.
• $k$ is the rate constant.
• $[A]$ and $[B]$ are the reactant concentrations.
• $m$ and $n$ are reaction orders with respect to A and B, respectively which are determined experimentally.
• The overall reaction order is the sum of the individual orders: ($m + n$).

Common Reaction Orders

• Zero-Order: Rate is independent of reactant concentration. ($Rate = k$).
• First-Order: Rate is directly proportional to the reactant concentration. ($Rate = k[A]$).
• Second-Order: Rate is proportional to the square of reactant concentration ($Rate = k[A]^2$) or product of two reactants ($Rate = k[A][B]$).

Integrated Rate Laws Overview

• Relate the concentration of reactants to time.

Zero-Order Kinetics

• $Rate = -\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = k$
• Integrated Rate Law: $[A]_t = -kt + [A]_0$
• Half-Life: $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$

First-Order Kinetics

• $Rate = -\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = k[A]$
• Integrated Rate Law: $ln[A]_t = -kt + ln[A]_0$ or $ln\frac{[A]_t}{[A]_0} = -kt$
• Half-Life: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$

Second-Order

• $Rate = -\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = k[A]^2$
• Integrated Rate Law: $\frac{1}{[A]_t} = kt + \frac{1}{[A]_0}$
• Half-Life: $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$

Activation Energy ($E_a$) Info

• Minimum energy for a reaction to occur.
• $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$ is the Arrhenius equation relating rate constant to activation energy.
• A is pre-exponential factor
• R = 8.314 J/(mol·K)
• T temperature in Kelvin
• $ln(k) = -\frac{E_a}{R}\frac{1}{T} + ln(A)$ to ascertain $E_a$ from the slope with $ln(k)$ versus $\frac{1}{T}$ graph.

Reaction Mechanisms Definition

• Step-by-step sequence of elementary reactions for an overall process.

Elementary Reactions facts

• Single-step reaction in mechanism.
• Molecularity is number of reactant molecules (unimolecular, bimolecular, termolecular).

Rate-Determining Step Facts

• Slowest step in a process and dictates overall reaction rate.

Intermediates Overview

• Species produced and consumed in subsequent steps of a mechanism
• It does not appear in overall balanced equation.

Catalysis Overview

• Speeds up reaction without being consumed overall.
• Provides a lower activation energy (Ea) path.
• Can be homogeneous same phase or heterogeneous a different phase.

Funciones Vectoriales de Variable Real: Curvas Paramétricas

• Una curva paramétrica en $\mathbb{R}^n$ es una función $\overrightarrow{r}: I \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n$ donde la variable independiente $t$ pertenece a un intervalo $I$ de números reales.
• Los valores que toma la función, $\overrightarrow{r}(t)$, son vectores de $\mathbb{R}^n$.
• $\overrightarrow{r}(t) = (x_1(t), x_2(t),..., x_n(t))$ donde las funciones componentes $x_i: I \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ son funciones de variable real.

Curvas Paramétricas: Ejemplo

• $\overrightarrow{r}(t) = (\cos(t), \sin(t)), t \in [0, 2\pi]$ es una curva paramétrica en $\mathbb{R}^2$.
• $x_1(t) = \cos(t)$ y $x_2(t) = \sin(t)$.

Funciones Vectoriales de Variable Real: Representación Gráfica

• Se obtiene graficando el conjunto de puntos $(\overrightarrow{r}(t))$ para cada valor de $t$ en el intervalo $I$.

Funciones Vectoriales de Variable Real: Vector Tangente

• El vector tangente a la curva $\overrightarrow{r}(t)$ en el punto $\overrightarrow{r}(t_0)$ se define como: $\qquad \overrightarrow{r}'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\overrightarrow{r}(t_0 + h) - \overrightarrow{r}(t_0)}{h}$
• Para calcular el vector tangente, se deriva cada una de las funciones componentes: $\qquad \overrightarrow{r}'(t) = (x_1'(t), x_2'(t),..., x_n'(t))$

Funciones Vectoriales de Variable Real: Vector Normal

• El vector normal a la curva $\overrightarrow{r}(t)$ en el punto $\overrightarrow{r}(t_0)$ se define como: $\qquad \overrightarrow{N}(t_0) = \frac{\overrightarrow{T}'(t_0)}{||\overrightarrow{T}'(t_0)||}$
• Donde $\overrightarrow{T}(t)$ es el vector tangente unitario, es decir, $\overrightarrow{T}(t) = \frac{\overrightarrow{r}'(t)}{||\overrightarrow{r}'(t)||}$.

Funciones Vectoriales de Variable Real: Longitud de Arco

• La longitud de arco de una curva paramétrica $\overrightarrow{r}(t)$ desde $t = a$ hasta $t = b$ se define como: $\qquad L = \int_a^b ||\overrightarrow{r}'(t)|| dt$

Chapter 5. The definite integral

• Estimating with Finite Sums

Sigma Notation

• Is a tool for writing sum $\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 +... + a_n$
• Can be used to write a sum $\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$
• Can be worked the other way around $1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = \sum_{k=1}^{5} k^3$

Useful Formulas for Sigma Notation

Riemann Sums

• Let f be a fucntion on a closed interval. Partition the interval into $n$ subintervals. Riemann sums = $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x_k$
• If the limit exists, its integrable

Suites numériques: Définitions

Suite numérique

• Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou sur une partie de $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
• Elle notée $(U_n){n \in \mathbb{N}}$ ou $(U_n){n \geq n_0}$
• $U_n$ est le terme général de la suite, $n$ est l'indice.

Modes de génération d'une suite

Suite explicite

• $U_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. -Exemple: $U_n = n^2 - 3n + 1$ Pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Suite définie par récurrence

• $U_{n+1} = f(U_n)$ -$U_0$ est donné -.Exemple: $\begin{cases} U_{n+1} = 3U_n + 1 \ U_0 = 2\end{cases}$

Suite implicite

• $U_n$ est le $n^{ième}$ nombre premier. -$U_0 = 2$, $U_1 = 3$, $U_2 = 5$, $U_3 = 7$,...

Représentation graphique d'une suite

• Représenter les points de coordonnées $(n; U_n)$.
• Exemple: $U_n = n^2 - 3n + 1$
• Image d'un graphique représentant une parabole discrète avec des points marqués à différentes valeurs de n.*

Suites majorées, minorées, bornées

• $(U_n)$ est majorée si il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \leq M$.
• $(U_n)$ est minorée si il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \geq m$.
• $(U_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Suites croissantes, décroissantes, monotones

• $(U_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \geq U_n$.
• $(U_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \leq U_n$.
• $(U_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Suites arithmétiques

• Une suite $(U_n)$ est arithmétique si il existe un réel $r$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n + r$.
• $r$ est la raison de la suite: -Si $r > 0$, la suite est croissante. -Si $r < 0$, la suite est décroissante. -Si $r = 0$, la suite est constante.
  • $U_n = U_0 + nr$
  • $U_n = U_p + (n-p)r$
• $S = U_0 + U_1 +... + U_n = (n+1) \frac{U_0 + U_n}{2}$

Suites géométriques

• Une suite $(U_n)$ est géométrique si il existe un réel $q$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} = U_n \times q$.
• $q$ est la raison de la suite: -Si $U_0 > 0$ et $q > 1$, la suite est croissante. -Si $U_0 > 0$ et $0 < q < 1$, la suite est décroissante.
  • $U_n = U_0 \times q^n$
  • $U_n = U_p \times q^{n-p}$
• $S = U_0 + U_1 +... + U_n = U_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ si $q \neq 1$

Latihan Soal Vektor: Resultan Gaya

• Jika sebuah benda ditarik dengan gaya $\vec{F_1} = 15\ N$ ke arah kanan dan gaya $\vec{F_2} = 8\ N$ ke arah kiri, resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = 15\ N + (-8\ N) = 7\ N$ (ke kanan).

Latihan Soal Vektor: Resultan 2 Gaya dengan Sudut

• Jika dua buah vektor gaya, $\vec{F_1} = 20\ N$ dan $\vec{F_2} = 30\ N$, saling membentuk sudut $60^\circ$, besar resultan kedua vektor tersebut adalah sekitar $43.59\ N$, dihitung menggunakan rumus cosinus.

Latihan Soal Vektor: Vektor Posisi, Kecepatan, dan Percepatan

• Jika vektor posisi sebuah partikel dinyatakan sebagai $\vec{r} = (3t^2 - 6t)\hat{i} + (4t^2 + 2t)\hat{j}$:
  • Vektor kecepatan partikel saat $t = 2$ detik adalah $\vec{v} = 6\hat{i} + 18\hat{j}\ m/s$.
  • Vektor percepatan partikel saat $t = 3$ detik adalah $\vec{a} = 6\hat{i} + 8\hat{j}\ m/s^2$.

Latihan Soal Vektor: Kecepatan Perahu Menyeberangi Sungai

• Jika sebuah perahu menyeberangi sungai dengan kecepatan $4\ m/s$ tegak lurus terhadap arus sungai dan kecepatan arus sungai adalah $3\ m/s$, resultan kecepatan perahu tersebut adalah $5\ m/s$.

Latihan Soal Vektor: Penjumlahan dan Pengurangan Vektor serta Vektor Satuan

• Diberikan dua buah vektor $\vec{A} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$ dan $\vec{B} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$:
  • $\vec{A} + \vec{B} = \hat{i} + 3\hat{j}$.
  • $\vec{A} - \vec{B} = 7\hat{i} - 7\hat{j}$.
  • Besar