হাইড্ৰজেন পৰমাণুৰ ব'ৰৰ আৰ্হি

হাইড্ৰজেন পৰমাণু

• প্ৰকৃতিৰ আটাইতকৈ সৰল পৰমাণু হিচাপে, হাইড্ৰজেন পৰমাণু এটমিক গঠন সম্পৰ্কে ধাৰণা বিকশিত কৰাৰ বাবে এক ভাল আৰম্ভণি বিন্দু।

পৰীক্ষামূলক তথ্য

• হাইড্ৰজেনত এটা ধনাত্মক আধানযুক্ত নিউক্লিয়াছ (প্ৰ'টন) আৰু এটা ইলেক্ট্ৰন থাকে।
• হাইড্ৰজেন পৰমাণুটো গোলাকাৰ।
• হাইড্ৰজেনৰ নিৰ্গমন স্পেকট্ৰামত কেৱল কিছুমান বিশেষ কম্পাংকহে দেখা যায়।

ব'ৰৰ আৰ্হি

• ব'ৰে ৰাডাৰফৰ্ডৰ পৰমাণুৰ আৰ্হিত প্লেংকৰ কোৱাণ্টাম ধাৰণা প্ৰয়োগ কৰি হাইড্ৰজেন নিৰ্গমন স্পেকট্ৰামৰ সৈতে সন্মত হোৱা এটা আৰ্হি প্ৰস্তুত কৰে। তেওঁ নিম্নলিখিত ধাৰণাসমূহ আগবঢ়াইছিল:
  • ইলেক্ট্ৰনবোৰ নিউক্লিয়াছৰ চাৰিওফালে কিছুমান নিৰ্দিষ্ট কক্ষপথত থাকে।
  • এই কক্ষপথসমূহত ইলেক্ট্ৰনে শক্তি বিকিৰণ নকৰে।
  • ইলেক্ট্ৰন এটাই এটা নিৰ্দিষ্ট কক্ষপথৰ পৰা আন এটা কক্ষপথলৈ জপিয়ালেহে শক্তি নিৰ্গত বা শোষণ হয়।
• ব'ৰৰ আৰ্হি অনুসৰি, ইলেক্ট্ৰন নিউক্লিয়াছৰ চাৰিওফালে এটা বৃত্তাকাৰ কক্ষপথত ঘূৰি থাকে। শক্তিশালী নিউক্লিয় বল এটাই নিউক্লিয়াছক একেলগে বান্ধি ৰাখে, কিন্তু বিদ্যুত চুম্বকীয় শক্তিয়ে ইলেক্ট্ৰনক কক্ষপথত ৰখাত সহায় কৰে। ব'ৰৰ কোয়ান্টাইজেশ্বন চৰ্তৰ যোগেদি আমি চিৰাচৰিত বলবিজ্ঞান ব্যৱহাৰ কৰি ইলেক্ট্ৰনৰ শক্তি গণনা কৰিব পাৰোঁ।
  • ইলেক্ট্ৰনৰ সম্ভাৱ্য শক্তি: $U = -\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$
  • ইলেক্ট্ৰনৰ গতিশক্তি: $K = \dfrac{1}{2}mv^2$
  • ইলেক্ট্ৰনৰ মুঠ শক্তি: $E = K + U = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$
• ইলেক্ট্ৰনৰ ওপৰত বল: $F = \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r^2} = \dfrac{mv^2}{r}$
  • ইয়াৰ পৰা পোৱা যায়: $mv^2 = \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r}$
  • মুঠ শক্তিক এনেদৰেও লিখিব পাৰি: $E = \dfrac{e^2}{8\pi\epsilon_0r} - \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r} = -\dfrac{e^2}{8\pi\epsilon_0r}$

কোৱাণ্টাইজেশ্বন চৰ্ত

• ব’ৰে প্ৰস্তাৱ দিছিল যে কৌণিক ভৰবেগ $L = I\omega = mr^2\omega = mvr$ কোৱাণ্টাইজড হয়: $L = mvr = n\hbar$
  • ইয়াত $n = 1, 2, 3,...$ আৰু $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$.
• ইয়াক পুনৰ সজাই লিখিব পাৰি: $v = \dfrac{n\hbar}{mr}$
  • বলৰ বাবে ওপৰৰ সমীকৰণত এইটো প্ৰতিস্থাপন কৰিলে পোৱা যায়: $\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0r^2} = \dfrac{m}{r}\left(\dfrac{n\hbar}{mr}\right)^2 = \dfrac{mn^2\hbar^2}{m^2r^3}$
    • $\implies r = \dfrac{4\pi\epsilon_0\hbar^2n^2}{me^2}$
• কক্ষপথৰ ব্যাসাৰ্ধ কোৱাণ্টাইজড। ইয়াক এনেদৰেও লিখিব পাৰি: $r = n^2a_0$
  • $a_0$ হৈছে ব’ৰৰ ব্যাসাৰ্ধ, যাক এনেদৰে দিয়া হৈছে $a_0 = \dfrac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{me^2} = 0.0529 \text{ nm}$
• এতিয়া প্ৰতিটো কক্ষপথৰ শক্তি গণনা কৰিব পাৰি: $E = -\dfrac{e^2}{8\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{me^2}{4\pi\epsilon_0\hbar^2n^2}\right) = -\dfrac{me^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2n^2}$
  • $E = -\dfrac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$

শক্তি স্তৰ

• ছবিখনত হাইড্ৰজেন পৰমাণুৰ শক্তি স্তৰ দেখুওৱা হৈছে। ভূমি স্তৰ হৈছে $n = 1$, আৰু ইয়াৰ শক্তি -13.6 eV। $n$ বৃদ্ধি হোৱাৰ লগে লগে শক্তি স্তৰবোৰ একেলগে থাকে আৰু $n \to \infty$ হোৱাৰ লগে লগে 0-ৰ কাষ চাপি যায়।

স্থানান্তৰণ

• এটা ইলেক্ট্ৰনে ফটন শোষণ বা নিৰ্গত কৰি এটা শক্তি স্তৰৰ পৰা আন এটা শক্তি স্তৰলৈ জপিয়াব পাৰে। ফটনৰ শক্তি দুটা স্তৰৰ মাজৰ শক্তিৰ পাৰ্থক্যৰ সমান হ’ব লাগিব।
  • $E = hf = \dfrac{hc}{\lambda} = E_i - E_f$
    • $E_i$ হৈছে প্ৰাৰম্ভিক শক্তি আৰু $E_f$ হৈছে অন্তিম শক্তি।
  • নিৰ্গমন - ইলেক্ট্ৰন এটা উচ্চ শক্তি স্তৰৰ পৰা নিম্ন শক্তি স্তৰলৈ জপিয়ালে ফটন নিৰ্গত হয়।
  • শোষণ - ইলেক্ট্ৰন এটা নিম্ন শক্তি স্তৰৰ পৰা উচ্চ শক্তি স্তৰলৈ জপিয়ালে ফটন শোষিত হয়।

ব’ৰ আৰ্হিৰ সীমাবদ্ধতাসমূহ

• কেৱল হাইড্ৰজেনৰ দৰে পৰমাণুৰ বাবেহে কাম কৰে (যিবোৰ পৰমাণুত কেৱল এটা ইলেক্ট্ৰন থাকে)।
• ইলেক্ট্ৰনে নিউক্লিয়াছৰ চাৰিওফালে এটা ভালদৰে সংজ্ঞায়িত পথত অৱস্থান নকৰে।
• স্পেকট্ৰেল লাইনবোৰৰ আপেক্ষিক তীব্ৰতা ব্যাখ্যা নকৰে।

কোৱাণ্টাম বলবিজ্ঞান

• কোৱাণ্টাম বলবিজ্ঞানত, ইলেক্ট্ৰনক এটা ৱেভফাংচনৰ দ্বাৰা বৰ্ণনা কৰা হৈছে, যি মহাকাশৰ এটা বিশেষ বিন্দুত ইলেক্ট্ৰন পোৱাৰ সম্ভাৱিতা প্ৰদান কৰে। ইলেক্ট্ৰনে এটা ভালদৰে সংজ্ঞায়িত পথত নিউক্লিয়াছৰ চাৰিওফালে অৱস্থান নকৰে, বৰঞ্চ সম্ভাৱিতাৰ এটা ডাৱৰতহে থাকে।

ছবিৰ বিৱৰণ

• ছবিখনত হাইড্ৰজেন পৰমাণুৰ শক্তি স্তৰৰ এখন ৰেখাচিত্ৰ দেখুওৱা হৈছে। শক্তি স্তৰবোৰক মুখ্য কোৱাণ্টাম সংখ্যা n ৰে চিহ্নিত কৰা হৈছে। এই সংখ্যা 1 ৰ পৰা অসীম পৰ্যন্ত হয়। প্ৰতিটো স্তৰৰ শক্তি ইলেক্ট্ৰন ভল্ট (eV) ত দিয়া হৈছে। ভূমি স্তৰটো হৈছে n = 1, আৰু ইয়াৰ শক্তি -13.6 eV। n বৃদ্ধি হোৱাৰ লগে লগে শক্তি স্তৰবোৰ একেলগে চাপি আহে, আৰু n → ∞ হোৱাৰ লগে লগে 0 ৰ কাষ চাপে। কেইবাডাল উলম্ব কাঁড়ে শক্তি স্তৰৰ মাজত ইলেক্ট্ৰনৰ স্থানান্তৰণৰ ইংগিত দিছে, যি ফটনৰ নিৰ্গমন বা শোষণক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

আংশিক ডিফাৰেন্সিয়েল সমীকৰণ

ভূমিকা

সংজ্ঞা

• এটা আংশিক ডিফাৰেন্সিয়েল সমীকৰণ (PDE) হ’ল দুটা বা তাতোধিক চলকৰ এটা অজ্ঞাত ফাংচন আৰু ইয়াৰ কিছুমান আংশিক ডেৰিভেটিভ জড়িত থকা এটা ডিফাৰেন্সিয়েল সমীকৰণ।

সাধাৰণ ৰূপ

• এটা PDE ৰ সাধাৰণ ৰূপ এনেদৰে লিখিব পাৰি:
  • $$ F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy},...) = 0 $$
    • যত:
      • $x, y$ হ’ল স্বতন্ত্ৰ চলক
      • $u = u(x, y)$ হ’ল নিৰ্ভৰশীল চলক
      • $u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$ হ’ল $x$ আৰু $y$ ৰ সাপেক্ষে u ৰ আংশিক ডেৰিভেটিভ

ক্ৰম

• এটা PDE ৰ ক্ৰম হ’ল সমীকৰণটোত থকা সৰ্বোচ্চ ক্ৰমৰ ডেৰিভেটিভ।

ৰৈখিক PDE

• এটা PDE ৰৈখিক হ’ব যদি নিৰ্ভৰশীল চলক আৰু ইয়াৰ ডেৰিভেটিভবোৰ ৰৈখিকভাৱে থাকে। উদাহৰণস্বৰূপে:
  • $$ A(x, y)u_{xx} + B(x, y)u_{xy} + C(x, y)u_{yy} + D(x, y)u_x + E(x, y)u_y + F(x, y)u = G(x, y) $$

PDE ৰ উদাহৰণ

1. তাপ সমীকৰণ: সময়ৰ লগে লগে এটা বিশেষ অঞ্চলত তাপ (বা উষ্ণতা)ৰ বিতৰণ বৰ্ণনা কৰে।
   • $$ u_t = \alpha (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) $$
     • ইয়াত $\alpha$ হ’ল তাপীয় ডিফিউজিভিটি।
2. তৰংগ সমীকৰণ: শব্দ তৰংগ, পোহৰ তৰংগ আৰু পানী তৰংগৰ দৰে তৰংগৰ প্ৰচাৰ বৰ্ণনা কৰে।
   • $$ u_{tt} = c^2 (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) $$
     • ইয়াত c হ’ল তৰংগৰ গতি।
3. লাপ্লেচৰ সমীকৰণ: স্থিতিশীল পৰিঘটনা, যেনে ভাৰ নথকা অঞ্চলত সাম্যাবস্থাৰ উষ্ণতাৰ বিতৰণ বা ইলেক্ট্ৰ’ষ্টেটিক সম্ভাৱিতা বৰ্ণনা কৰে।
   • $$ u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0 $$
4. পইচনৰ সমীকৰণ: উৎসৰ পদ অন্তৰ্ভুক্ত কৰা লাপ্লেচৰ সমীকৰণৰ সাধাৰণীকৰণ।
   • $$ u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = f(x, y, z) $$
     • ইয়াত $f(x, y, z)$ এটা বিশেষ ফাংচন।

PDE ৰ সমাধান

• এটা PDE ৰ সমাধান হ’ল এটা ফাংচন যি এটা বিশেষ অঞ্চলত সমীকৰণটো সিদ্ধ কৰে। সমাধান হ’ব পাৰে:
  • সাধাৰণ সমাধান: ইচ্ছাকৃত ফাংচন থাকে।
  • বিশেষ সমাধান: কিছুমান চৰ্ত (সীমা বা প্ৰাৰম্ভিক চৰ্ত) পূৰণ কৰিবলৈ ইচ্ছাকৃত ফাংচন নিৰ্ধাৰণ কৰি সাধাৰণ সমাধানৰ পৰা পোৱা যায়।

সীমা আৰু প্ৰাৰম্ভিক চৰ্তাৱলী

• সীমা চৰ্তাৱলী: অঞ্চলটোৰ সীমাত সমাধানৰ মান নিৰ্ধাৰণ কৰে।
• প্ৰাৰম্ভিক চৰ্তাৱলী: প্ৰাৰম্ভিক সময়ত (সময়-নিৰ্ভৰশীল সমস্যাৰ বাবে) সমাধানৰ মান নিৰ্ধাৰণ কৰে।