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Questions and Answers
¿Cuál de las siguientes técnicas de integración es más adecuada para resolver la integral $\int 3x^2 \cdot e^{(x^3 + 2)} dx$?
¿Cuál de las siguientes técnicas de integración es más adecuada para resolver la integral $\int 3x^2 \cdot e^{(x^3 + 2)} dx$?
- Sustitución trigonométrica
- Integración por partes
- Fracciones parciales
- Sustitución simple (cambio de variable) (correct)
¿Qué sustitución trigonométrica sería más efectiva para simplificar la integral $\int x^3 \sqrt{4 - x^2} dx$?
¿Qué sustitución trigonométrica sería más efectiva para simplificar la integral $\int x^3 \sqrt{4 - x^2} dx$?
- $x = 2 \sin(\theta)$ (correct)
- $x = 2 \sec(\theta)$
- $x = 4 \sin(\theta)$
- $x = 2 \tan(\theta)$
¿Cuál es el primer paso más lógico al intentar resolver la integral $\int (x^2 - 5x) \cdot e^x dx$?
¿Cuál es el primer paso más lógico al intentar resolver la integral $\int (x^2 - 5x) \cdot e^x dx$?
- Usar una sustitución trigonométrica.
- Completar el cuadrado en el término $(x^2 - 5x)$.
- Aplicar directamente la integración por partes. (correct)
- Expandir $e^x$ en una serie de Taylor.
¿Por qué la integral $\int \frac{dy}{\sqrt{9 + y^2}}$ se resuelve comúnmente utilizando una sustitución trigonométrica en lugar de una sustitución simple?
¿Por qué la integral $\int \frac{dy}{\sqrt{9 + y^2}}$ se resuelve comúnmente utilizando una sustitución trigonométrica en lugar de una sustitución simple?
¿Qué técnica de integración sería menos efectiva para evaluar $\int \tan(x) \sec^2(x) dx$?
¿Qué técnica de integración sería menos efectiva para evaluar $\int \tan(x) \sec^2(x) dx$?
En la integral $\int \sec^3(x) dx$, ¿cuál es la razón principal por la que se utiliza la integración por partes en lugar de una sustitución directa?
En la integral $\int \sec^3(x) dx$, ¿cuál es la razón principal por la que se utiliza la integración por partes en lugar de una sustitución directa?
Para resolver $\int \cos^5(x) \sin(x) dx$, ¿qué sustitución es la más directa y eficiente?
Para resolver $\int \cos^5(x) \sin(x) dx$, ¿qué sustitución es la más directa y eficiente?
¿Qué enfoque es menos probable que sea útil para resolver $\int \frac{\csc^2(x) \tan^3(x)}{\sin(x)} dx$?
¿Qué enfoque es menos probable que sea útil para resolver $\int \frac{\csc^2(x) \tan^3(x)}{\sin(x)} dx$?
¿Qué técnica es apropiada para resolver $\int x^5 \ln(x) dx$?
¿Qué técnica es apropiada para resolver $\int x^5 \ln(x) dx$?
Para resolver $\int \frac{3 \ln(3x - 4)}{(3x - 4)} dx$, ¿qué sustitución sería más adecuada?
Para resolver $\int \frac{3 \ln(3x - 4)}{(3x - 4)} dx$, ¿qué sustitución sería más adecuada?
¿Cuál es la principal dificultad al integrar $\int 3x^2 \cos(\frac{x}{2}) dx$ y cómo se aborda?
¿Cuál es la principal dificultad al integrar $\int 3x^2 \cos(\frac{x}{2}) dx$ y cómo se aborda?
Al resolver $\int \frac{3}{(x^2 + 4)^{\frac{3}{2}}} dx$, ¿qué sustitución trigonométrica es más apropiada y por qué?
Al resolver $\int \frac{3}{(x^2 + 4)^{\frac{3}{2}}} dx$, ¿qué sustitución trigonométrica es más apropiada y por qué?
Para integrar $\int \frac{2x + 5}{(x + 2)(x - 3)} dx$, ¿cuál es el método más directo?
Para integrar $\int \frac{2x + 5}{(x + 2)(x - 3)} dx$, ¿cuál es el método más directo?
¿Qué paso inicial es crucial para simplificar la integral $\int \frac{x}{x^2 + 4x - 21} dx$ antes de aplicar cualquier técnica de integración?
¿Qué paso inicial es crucial para simplificar la integral $\int \frac{x}{x^2 + 4x - 21} dx$ antes de aplicar cualquier técnica de integración?
Para la integral $\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} dx$, ¿qué técnica de integración se aplica de manera más inmediata?
Para la integral $\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} dx$, ¿qué técnica de integración se aplica de manera más inmediata?
En la integral $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 - 49}}$, ¿qué forma debería tomarse la sustitución trigonométrica para simplificar la expresión?
En la integral $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 - 49}}$, ¿qué forma debería tomarse la sustitución trigonométrica para simplificar la expresión?
Al evaluar $\int \sin^2(2x) \cos^2(2x) dx$, ¿qué identidad trigonométrica podría simplificar mejor la integral antes de integrarla?
Al evaluar $\int \sin^2(2x) \cos^2(2x) dx$, ¿qué identidad trigonométrica podría simplificar mejor la integral antes de integrarla?
¿Cuál de las siguientes integrales requiere un enfoque diferente a la simple aplicación directa de fórmulas básicas?
¿Cuál de las siguientes integrales requiere un enfoque diferente a la simple aplicación directa de fórmulas básicas?
Para la integral $\int \frac{x^3 + 2}{(x + 1)(x + 3)} dx$, ¿qué paso es necesario realizar antes de aplicar la descomposición en fracciones parciales?
Para la integral $\int \frac{x^3 + 2}{(x + 1)(x + 3)} dx$, ¿qué paso es necesario realizar antes de aplicar la descomposición en fracciones parciales?
¿Cuál es la principal razón para usar una sustitución trigonométrica en integrales que contienen la forma $\sqrt{a^2 - x^2}$?
¿Cuál es la principal razón para usar una sustitución trigonométrica en integrales que contienen la forma $\sqrt{a^2 - x^2}$?
Flashcards
¿Qué es una integral?
¿Qué es una integral?
Operación matemática que encuentra la función cuya derivada es una función dada.
∫ 3x² * e^(x²+2) dx
∫ 3x² * e^(x²+2) dx
La integral de 3x² * e^(x²+2) dx es e^(x²+2) + C.
∫ 3x² * csc²(x³ + 11) dx
∫ 3x² * csc²(x³ + 11) dx
La integral de 3x² * csc²(x³ + 11) dx es -cot(x³ + 11) + C.
∫ sin⁴(x) * cos³(x) dx
∫ sin⁴(x) * cos³(x) dx
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∫ (x² - 5x) * e^x dx
∫ (x² - 5x) * e^x dx
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∫ sin²(2x) dx
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∫ dy/√(9 + y²)
∫ dy/√(9 + y²)
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∫ tan(x) * sec²(x) dx
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∫ csc²(x) * tan³(x) / sin(x) dx
∫ csc²(x) * tan³(x) / sin(x) dx
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∫ x⁵ ln(x) dx
∫ x⁵ ln(x) dx
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∫ sin²(2x)cos²(2x) dx
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∫ x cos (x) dx
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∫ tan⁴(x) dx
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∫ 2cos(2x) dx
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∫ x² · sen(2x) dx
∫ x² · sen(2x) dx
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Study Notes
- Estos apuntes proporcionan una guía para resolver integrales utilizando métodos adecuados.
- Se debe identificar el tipo de integral antes de proceder con su resolución.
Métodos de Integración
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∫ 3𝑥² ⋅ 𝑒^(𝑥²+2) 𝑑𝑥 = 𝑒^(𝑥²+2) + 𝐶
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∫ 3𝑥² ⋅ 𝑐𝑠𝑐²(𝑥³ + 11) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡(𝑥³ + 11) + 𝐶
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∫ sin⁴(𝑥) ⋅ cos³(𝑥) 𝑑𝑥 = (sin⁵(𝑥) / 5) − (sin⁷(𝑥) / 7) + 𝐶
-
∫ (𝑥² − 5𝑥) ⋅ 𝑒ˣ 𝑑𝑥 = 𝑒ˣ(𝑥² − 7𝑥 + 7) + 𝐶
-
∫ sin²(2𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 / 2) − (sin(4𝑥) / 8) + 𝐶
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∫ 𝑑𝑦 / √(9 + 𝑦²) = ln|(𝑦 + √(𝑦² + 9)) / 3| + 𝐶
-
∫ tan(𝑥) sec²(𝑥) 𝑑𝑥 = (tan²(𝑥) / 2) + 𝐶
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∫ sec³(𝑥) 𝑑𝑥 = (1 / 2)[sec(𝑥)tan(𝑥) + ln|sec(𝑥) + tan(𝑥)|] + 𝐶
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∫ cos⁵(𝑥) ⋅ sin(𝑥) 𝑑𝑥 = −(cos⁶(𝑥) / 6) + 𝐶
-
∫ (csc²(𝑥) / sin(𝑥)) ⋅ tan³(𝑥) ⋅ cos⁴(𝑥) 𝑑𝑥 = sin(𝑥) + 𝐶
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∫ 𝑥⁵ ⋅ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = (𝑥⁶ / 6) ln(𝑥) − (𝑥⁶ / 36) + 𝐶
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∫ 𝑥³ ⋅ √(4 − 𝑥²) 𝑑𝑥 = −(4(√(4 − 𝑥²))³) / 3 + ((√(4 − 𝑥²))⁵) / 5 + 𝐶
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∫ (3ln(3𝑥−4) / (3𝑥−4)) 𝑑𝑥 = (ln²(3𝑥 − 4) / 2) + 𝐶
-
∫ 3𝑥² ⋅ cos(𝑥 / 2) 𝑑𝑥 = 6𝑥² ⋅ sin(𝑥 / 2) + 24𝑥 ⋅ cos(𝑥 / 2) − 48sin(𝑥 / 2) + 𝐶
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∫ (𝑥³ / √(𝑥² + 4)) 𝑑𝑥 = ((√(𝑥² + 4))³) / 3 − 4 ⋅ √(𝑥² + 4) + 𝐶
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∫ (2𝑥+5) / ((𝑥+2)(𝑥−3)) 𝑑𝑥 = (11 / 5) ln|𝑥 − 3| − (1 / 5) ln|𝑥 + 2| + 𝐶
-
∫ (𝑥 / (𝑥²+4𝑥−21)) 𝑑𝑥 = (7 / 10) ln|𝑥 + 7| + (3 / 10) ln|𝑥 − 3| + 𝐶
-
∫ (2𝑥+2) / (𝑥²+2𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑥² + 2𝑥| + 𝐶
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∫ 𝑑𝑥 / √(4𝑥² −49) = (1 / 2) ln|(2𝑥 + √(4𝑥² − 49)) / 7| + 𝐶
-
∫ sin²(2𝑥)cos²(2𝑥) 𝑑𝑥 = (𝑥 / 8) − (sin(8𝑥) / 64) + 𝐶
-
∫ 𝑥 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sin(𝑥) + cos(𝑥) + 𝐶
-
∫ (𝑥³+2) / ((𝑥+1)(𝑥+3)) 𝑑𝑥 = (25 / 2) ln|𝑥 + 3| + (1 / 2) ln|𝑥 + 1| + (𝑥² / 2) − 8𝑥 + 𝐶
-
∫ 𝑥 ⋅ sec²(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ tan(𝑥) + ln|cos(𝑥)| + 𝐶
-
∫ (sec(𝑥)tan(𝑥) / (1−3sec(𝑥))) 𝑑𝑥 = −(1 / 3) ln|1 − 3sec(𝑥)| + 𝐶
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∫ tan⁴(𝑥) 𝑑𝑥 = (tan³(𝑥) / 3) − tan(𝑥) + 𝑥 + 𝐶
-
∫ 2cos(2𝑥) 𝑑𝑥 = sin(2𝑥) + 𝐶
-
∫ (𝑥+1) / √(𝑥²+2𝑥) 𝑑𝑥 = √(𝑥² + 2𝑥) + 𝐶
-
∫ tan(𝑥)sec⁴(𝑥) 𝑑𝑥 = (tan⁴(𝑥) / 4) + (tan²(𝑥) / 2) + 𝐶
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∫ 𝑥² ⋅ sin(2𝑥) 𝑑𝑥 = −(1 / 2) 𝑥² ⋅ cos(2𝑥) + (1 / 2) 𝑥 ⋅ sin(2𝑥) + (1 / 4) cos(2𝑥) + 𝐶
-
∫ cos²(𝑥 / 4) 𝑑𝑥 = (1 / 2) 𝑥 + sin(𝑥 / 2) + 𝐶
-
∫ 8 / (𝑤² ⋅√(4−𝑤²)) 𝑑𝑤 = −(2√(4 − 𝑤²)) / 𝑤 + 𝐶
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∫ (𝑥² / (16−𝑥²)) 𝑑𝑥 = −𝑥 + 2ln|16 − 𝑥²| + 𝐶
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∫ (√(25−𝑥²) / 𝑥²) 𝑑𝑥 = −(√(25 − 𝑥²)) / 𝑥 − arcsin(𝑥 / 5) + 𝐶
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∫ 𝑑𝑥 / (𝑥²+3𝑥) = (1 / 3) ln|𝑥 / (𝑥+3)| + 𝐶
-
∫ tan³(𝑥)sec²(𝑥) 𝑑𝑥 = (tan⁴(𝑥) / 4) + 𝐶
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∫ (e^x / x²) 𝑑𝑥 = -(e^x / x) + C
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∫ (cos(√𝑥) / √𝑥) 𝑑𝑥 = 2sin(√𝑥) + 𝐶
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∫ 𝑥³ ⋅ 𝑒^(2𝑥) 𝑑𝑥 = (e^(2𝑥) / 8) (4𝑥³ − 6𝑥² + 6𝑥 − 3) + 𝐶
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∫ (tan³(𝑥) / sec²(𝑥)) ⋅ csc(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|sec(𝑥) + tan(𝑥)| − sin(𝑥) + 𝐶
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∫ √(𝑥² + 9) 𝑑𝑥 = (𝑥 ⋅ √(𝑥² + 9) / 2) + (9 / 2) ln|(𝑥 + √(𝑥² + 9)) / 3| + 𝐶
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∫ 𝑥² ⋅ 𝑒^(𝑥/2) 𝑑𝑥 = 2√𝑒ˣ (𝑥² − 4𝑥 + 8) + 𝐶
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∫ 𝑒^(4𝑥) ⋅ cos(𝑥 / 4) 𝑑𝑥 = 𝑒^(4𝑥) ((64 / 257) cos(𝑥 / 4) + (4 / 257) sin(𝑥 / 4)) + 𝐶
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∫ (2𝑥+4) / (𝑥²+4𝑥−21) 𝑑𝑥 = ln|𝑥² + 4𝑥 − 21| + 𝐶
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∫ 𝑑𝑥 / (4−𝑥²) = (1 / 4) ln|(2 + 𝑥) / (2 − 𝑥)| + 𝐶
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∫ 𝑥³ ⋅ √(𝑥² − 25) 𝑑𝑥 = (25 ⋅ √(𝑥² − 25)³) / 3 + (√(𝑥² − 25)⁵) / 5 + 𝐶
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∫ 5𝑥 ⋅ √(𝑥² − 1) 𝑑𝑥 = (5 / 3) √(𝑥² − 1)³ + 𝐶
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∫ sin³(𝑥) ⋅ cos⁴(𝑥) 𝑑𝑥 = -(cos⁵(𝑥) / 5) + (cos⁷(𝑥) / 7) + 𝐶
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∫ (𝑟² + 𝑟 + 1) ⋅ 𝑒^(−𝑟) 𝑑𝑟 = −(𝑟² + 3𝑟 + 4) / 𝑒ʳ + 𝐶
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∫ (𝑥⁴ −4𝑥³ +5𝑥+2) / (𝑥² −5𝑥+6) 𝑑𝑥 = (𝑥³ / 3) + (𝑥² / 2) − 𝑥 + 4ln|𝑥 − 2| − 10ln|𝑥 − 3| + 𝐶
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∫ 𝑥^(3/2) ⋅ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = (2 / 5) 𝑥^(5/2) ⋅ ln(𝑥) − (4 / 25) √𝑥⁵ + 𝐶
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