Gram-Schmidt Method Quiz

Gram-Schmidt Method

Orthogonalization

• Process of converting a set of linearly independent vectors into a set of orthogonal vectors
• Used to find an orthogonal basis for a vector space
• Also known as orthogonalization or orthogonal decomposition

Vector Projections

• Projection of a vector b onto a vector a: proj_a(b) = (a^T b / ||a||^2) * a
• Orthogonal projection: proj_a(b) = b - proj_a(b)
• Used in the Gram-Schmidt method to orthogonalize vectors

QR Decomposition

• Factorization of a matrix A into the product of an orthogonal matrix Q and an upper triangular matrix R
• Q is an orthogonal matrix ( columns are orthogonal unit vectors)
• R is an upper triangular matrix (diagonal and upper triangular elements)
• Used in the Gram-Schmidt method to perform orthogonalization

Vector Spaces

• A set of vectors that can be added together and scaled (multiplied by a number)
• Must satisfy certain properties: closure, commutativity, associativity, distributivity, existence of additive identity and inverse
• Examples: Euclidean space, polynomial space, function space

Linear Independence

• A set of vectors is said to be linearly independent if none of the vectors can be written as a linear combination of the others
• If a set of vectors is linearly independent, then the only solution to the equation a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 is a1 = a2 = ... = an = 0
• Used in the Gram-Schmidt method to ensure that the resulting orthogonal vectors are non-zero

Gram-Schmidt Yöntemi

Ortogonalizasyon

• Lineer bağımsız vektör kümesinin ortogonal vektör kümesine dönüştürülmesi süreci
• Vektör uzayına ortogonal baz bulmak için kullanılır
• Ortogonalizasyon veya ortogonal ayrıştırma olarak da bilinir

Vektör Projeeksiyonları

• Vektör b'nin vektör a üzerine projeeksiyonu: proj_a(b) = (a^T b / ||a||^2) * a
• Ortogonal projeeksiyon: proj_a(b) = b - proj_a(b)
• Gram-Schmidt yönteminde vektörlerin ortogonalizasyonu için kullanılır

QR Ayrıştırma

• Matris A'nın ortogonal matris Q ve üst üçgen matris R'nin çarpımına ayrıştırılması
• Q ortogonal matrisidir (sütunları ortogonal birim vektörlerdir)
• R üst üçgen matrisidir (diyagonal ve üst üçgen elementler)
• Gram-Schmidt yönteminde ortogonalizasyon için kullanılır

Vektör Uzayları

• Vektörlerin toplama ve ölçeklendirme (sayı ile çarpma) operasyonlarını gerçekleştiren bir küme
• Kapanma, komütatiflik, asociatiflik, dağıtma, ekleyicinin varlığı ve yineleme özellikleri sağlanır
• Örnekler: Öklid uzayı, polinom uzayı, fonksiyon uzayı

Lineer Bağımsızlık

• Vektör kümesinin lineer bağımsız olduğu, hiçbir vektörün diğerlerinin lineer kombinasyonu olarak yazılamadığı anlamına gelir
• Lineer bağımsız bir vektör kümesi için a1v1 + a2v2 +...+ anvn = 0 eşitliğinin tek çözümü a1 = a2 =...= an = 0'dır
• Gram-Schmidt yönteminde sonucu ortogonal vektörlerin sıfır olmamasını garantilemek için kullanılır