Giải tích: Đạo hàm và các quy tắc cơ bản

Derivatives

Definition: A derivative represents the rate of change of a function with respect to a variable. It measures how a function value changes as its input changes.
Notation:
- ( f'(x) ): derivative of function ( f ) at point ( x )
- ( \frac{dy}{dx} ): represents the derivative of ( y ) with respect to ( x )
- ( Df ): derivative operator applied to ( f )
Geometric Interpretation:
- The derivative at a point is the slope of the tangent line to the curve of the function at that point.
Basic Rules of Differentiation:
1. Power Rule: If ( f(x) = x^n ), then ( f'(x) = nx^{n-1} )
2. Constant Rule: If ( f(x) = c ) (constant), then ( f'(x) = 0 )
3. Sum Rule: If ( f(x) = g(x) + h(x) ), then ( f'(x) = g'(x) + h'(x) )
4. Difference Rule: If ( f(x) = g(x) - h(x) ), then ( f'(x) = g'(x) - h'(x) )
5. Product Rule: If ( f(x) = g(x)h(x) ), then ( f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) )
6. Quotient Rule: If ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ), then ( f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} )
Chain Rule: Used for composite functions. If ( y = f(g(x)) ), then ( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) )
Higher Order Derivatives:
- The second derivative ( f''(x) ) is the derivative of the derivative, indicating the rate of change of the slope.
- Higher-order derivatives can be found similarly (third derivative ( f'''(x) ), etc.)
Applications:
- Finding Tangents: Derivatives are used to find the equation of tangent lines to curves.
- Optimization: Derivatives help identify local maxima and minima using critical points (where ( f'(x) = 0 ) or undefined).
- Motion Analysis: In physics, derivatives represent velocity (first derivative of position) and acceleration (second derivative).
Implicit Differentiation: Technique to find derivatives of functions defined implicitly, where ( y ) is not isolated.
Differentiability: A function is differentiable at a point if it has a derivative there. It must be continuous at that point.
Key Theorems:
- Mean Value Theorem: If ( f ) is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), there exists at least one ( c \in (a, b) ) such that ( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ).
Common Derivatives:
- ( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
- ( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x )
- ( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x )
- ( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} )

These notes summarize key concepts and rules regarding derivatives in calculus, providing a foundation for further study and application.

Đạo hàm

Định nghĩa: Đạo hàm thể hiện tỷ lệ thay đổi của hàm số theo một biến, đo lường cách giá trị hàm số thay đổi khi đầu vào thay đổi.
Ký hiệu:
- ( f'(x) ): đạo hàm của hàm ( f ) tại điểm ( x )
- ( \frac{dy}{dx} ): biểu thị đạo hàm của ( y ) theo ( x )
- ( Df ): toán tử đạo hàm áp dụng cho ( f )
Diễn giải hình học: Đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm đó.
Quy tắc cơ bản trong đạo hàm:
- Quy tắc lũy thừa: Nếu ( f(x) = x^n ), thì ( f'(x) = nx^{n-1} )
- Quy tắc hằng số: Nếu ( f(x) = c ) (hằng số), thì ( f'(x) = 0 )
- Quy tắc tổng: Nếu ( f(x) = g(x) + h(x) ), thì ( f'(x) = g'(x) + h'(x) )
- Quy tắc hiệu: Nếu ( f(x) = g(x) - h(x) ), thì ( f'(x) = g'(x) - h'(x) )
- Quy tắc tích: Nếu ( f(x) = g(x)h(x) ), thì ( f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) )
- Quy tắc thương: Nếu ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ), thì ( f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} )
Quy tắc chuỗi: Dùng cho các hàm hợp. Nếu ( y = f(g(x)) ), thì ( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) )
Đạo hàm bậc cao:
- Đạo hàm bậc hai ( f''(x) ) là đạo hàm của đạo hàm đầu tiên, chỉ ra tỷ lệ thay đổi của độ dốc.
- Các đạo hàm bậc cao hơn có thể được tìm thấy tương tự (đạo hàm bậc ba ( f'''(x) ), v.v.)
Ứng dụng:
- Tìm tiếp tuyến: Đạo hàm được dùng để tìm phương trình của các đường tiếp tuyến với các đường cong.
- Tối ưu hóa: Đạo hàm giúp xác định cực trị địa phương sử dụng các điểm quan trọng (khi ( f'(x) = 0 ) hoặc không xác định).
- Phân tích chuyển động: Trong vật lý, đạo hàm thể hiện vận tốc (đạo hàm bậc nhất của vị trí) và gia tốc (đạo hàm bậc hai).
- Phân biệt ngầm: Kỹ thuật để tìm đạo hàm của các hàm số được định nghĩa ngầm, nơi mà ( y ) không được tách biệt.
- Đạo hàm: Một hàm số là khả vi tại một điểm nếu nó có đạo hàm tại đó và phải liên tục tại điểm đó.
Định lý quan trọng:
- Định lý giá trị trung bình: Nếu ( f ) liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b), thì tồn tại ít nhất một ( c \in (a, b) ) sao cho ( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ).
Đạo hàm thường gặp:
- ( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
- ( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x )
- ( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x )
- ( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} )

Những điểm chính này tóm tắt các khái niệm và quy tắc liên quan đến đạo hàm trong giải tích, cung cấp nền tảng cho việc học tập và ứng dụng tiếp theo.

Thông tin cá nhân

Thái là sinh viên năm 3 ngành Công nghệ thông tin tại Đại học Công nghệ (ĐHQGHN).
Đang nghiên cứu lĩnh vực Tin Sinh Học tại một phòng lab trong trường.
Học thêm về Dữ liệu (DS) và Machine Learning (ML).

Đam mê và mục tiêu

Thái yêu thích công nghệ và mong muốn ứng dụng công nghệ vào cuộc sống hàng ngày.
Mong muốn phát triển các ứng dụng như sắp xếp thời khóa biểu, kiểm tra sức khỏe, trợ lý ảo cá nhân.
Đang nỗ lực hàng ngày để biến ước mơ này thành hiện thực.

Tính cách và hoạt động xã hội

Là người khá hướng nội nhưng cũng tham gia các hoạt động xã hội và câu lạc bộ ở đại học.
Tham gia vào các dự án mã nguồn mở để tạo ra giá trị cho cộng đồng.

Dự án cá nhân

Blog là một dự án ấp ủ của Thái, nơi chia sẻ về cuộc sống, công nghệ, trải nghiệm và tình cảm.
Mở cửa cho mọi người liên lạc và chia sẻ ý kiến qua các đường link trong blog.