Gerichteter z-Test und t-Test

Gerichteter/Linksseitiger z-Test

• Hypothesen müssen anders formuliert werden
• Für einen linksseitigen Test ist die Alternativhypothese kleiner als der hypothetische Mittelwert
• H₀: μ ≥ μ₀ vs. H₁: μ < μ₀
• Beispiel: H₀: μ ≥ 7 vs. H₁: μ < 7
• Legen Sie das Signifikanzniveau α fest, z.B. 5 % (vorgegebene Prüfungssituation)
• Berechnen Sie die Prüfgröße mit der Formel: z = √(n) * (x̄ - μ₀) / σ
  • wobei z = √(n) * (x̄ - μ₀) / σ = √5 * (8 - 7) / 2 = 1,118
• Kritischen Wert festlegen, wobei der Ablehnungsbereich nur auf einer Seite liegt
• Entscheidungsfindung: Wenn die Prüfgröße kleiner als der negative kritische Wert ist, wird H₀ abgelehnt
• Symmetrie der Standardnormalverteilung nutzen
• H₀ ablehnen, falls z < -z(1-α)
• H₀ ablehnen, falls |z| > |-z(1-α)|

Der t-Test

• Testet auf einen Erwartungswert bei unbekannter Varianz in der Grundgesamtheit
• Im Vergleich zum z-Test werden die Stichprobenvarianz und Standardabweichung selbstständig berechnet
• Die Prüfgröße wird als t-Statistik berechnet
• Es wird ein kritischer Wert aus der t-Verteilung verwendet
• Beispiel: Überstundenliste: 8, 10, 7, 5, 10
• n = 5, μ₀ = 7, x̄ = 8

Ungerichteter/zweiseitiger t-Test

• Hypothesenbildung: H₀: μ = 7 vs. H₁: μ ≠ 7
• Signifikanzniveau α festlegen: z.B. 5%
• Berechnung der Standardabweichung und Prüfgröße:
  • s² = (8² + 10² + 7² + 5² + 10²) / 5 - (67,6 - 8²) = 4,5
  • s = √4,5 = 2,12
  • t = √(n) * (x̄ - μ₀) / s = √5 * (8 - 7) / 2,12 = 1,05
• Kritischen Wert festlegen
  • Die t-Verteilung ist abhängig vom Signifikanzniveau und den Freiheitsgraden (df = n - 1)
  • Wertebereich ±t(n-1;1-α/2) → ±t(5-1;1-0,05/2) = ±t(4;0,975) = ±2,776
    • Zusätzliche Erläuterung
• Entscheidungsfindung: H₀ wird abgelehnt, wenn der Wert die kritische Grenze überschreitet
• H₀ ablehnen, falls |t| > t(n-1;1-α/2)
• Beidseitig: Betragsstriche

Gerichteter/rechtsseitiger t-Test

• Beispiel: Mehr als 7 Überstunden, Varianz unbekannt
• Hypothesen formulieren: H₀: μ ≤ 7 vs. H₁: μ > 7
• Signifikanzniveau: α = 0,05 = 5%
• Prüfgröße wie beim zweiseitigen t-Test: t = 1,05
• Kritische Grenze (α nur auf der rechten Seite)
• Freiheitsgrade: t(n-1; 1-α) = t(4; 0,95) = 2,132
• Nullhypothese wird abgelehnt, wenn t > t(n-1; 1-α)
  • (t = 1,05 < 2,132 = t(4; 0,95)) → H₀ nicht abgelehnt

Ungerichteter/linksseitiger t-Test

• Beispiel: Weniger als 7 Überstunden, Varianz unbekannt
• Hypothesen formulieren: H₀: μ ≥ 7 vs. H₁: μ < 7
• Signifikanzniveau: α = 0,05 = 5%
• Prüfgröße wie beim zweiseitigen t-Test: t = 1,05
• Kritische Grenze (α nur auf der linken Seite)
• Freiheitsgrade: -t(n-1; 1-α) = -t(4; 0,95) = -2,132
• Nullhypothese wird abgelehnt, wenn t < -t(n-1; 1-α) oder |t| > |-t(n-1; 1-α)|
  • t = 1,05 < -2,132 = -t(4;0,95)
  • Da |t| = |1,05| ≯ |-2,132| = |-t(4;0,95)|, kann H₀ nicht abgelehnt werden

Effektstärke

• Beschreibt, wie stark ein realisierender Effekt ist
• Berechnung der Effektstärke δ:
  • δ = |x̄ - μ₀| / σ (z-Test) oder δ = |x̄ - μ₀| / s (t-Test)
• Interpretation:
  • 0 < δ < 0,2: kein Effekt
  • 0,2 ≤ δ < 0,5: kleiner Effekt
  • 0,5 ≤ δ < 0,8: mittlerer Effekt
  • δ ≥ 0,8: großer Effekt

Konfidenzintervalle

• Vertrauensintervall (Vertrauenswahrscheinlichkeit)
  • Das Konfidenzniveau gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der wahre Parameter im berechneten Intervall liegt
• Gegenteil: Irrtumswahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau)
• Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz σ²
• Standardfehler
• Untergrenze (x̄ - z(1-α/2) * σ / √(n))
• Obergrenze (x̄ + z(1-α/2) * σ / √(n))
• Beispiel: α = 0,05, 1-α = 0,95, z(1-α/2) = z(0,975) = 1,96 (aus Tabelle der Standardnormalverteilung)
• Mit n = 5, x̄ = 8, σ = 2
  • Untergrenze/Obergrenze = 8 ± 1,96 * 2 / √5 = [6,25; 9,75]
• Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% betragen die Überstunden zwischen 6,25 und 9,75
  • H₀ angenommen: 7 ist innerhalb der Grenzen
• Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz σ²
  • Nutzung der t-Verteilung
  • Varianz und Standardabweichung müssen auf Basis der Stichprobe durch s² geschätzt werden
  • Grenzen: x̄ ± t(n-1; 1-α/2) * s /√(n)
• Beispiel:
  • Berechnung der t-Verteilung
  • ±t(n-1; 1-α/2) = ±t(5-1; 1-0,05/2) = ±t(4; 0,975) = ±2,776 (aus Tabelle)
  • Grenzen: 8 ± 2,776 * 2,12 / √5 = [5,37; 10,63]

Grundlagen der Bayesschen Inferenzstatistik

• Grundlagen
• Beispiel: Bewerbung
  • H1: Ich bekomme die Stelle
  • H2: Ich bekomme die Stelle nicht
  • Tabelle: Anfängliche Wahrscheinlichkeiten für Klaus und Maria

    •         Klaus.       Maria
      

    • Ich bekomme die Stelle. 0,8. 0,4
    • Ich bekomme die Stelle nicht 0,2. 0,6
  • Es können beliebig viele Hypothesen aufgestellt werden (sollten sich gegenseitig ausschließen
• Vorüberlegungen der Wahrscheinlichkeiten = Priors
• Priorsverteilung: anfängliche Wahrscheinlichkeitsverteilung der Hypothesen

Bestimmung der Hypothesen

• Abzählbare Menge an Hypothesen: diskret
• Unzählige Menge an Hypothesen: stetig
• Beide Hypothesen für gleich wahrscheinlich Festlegung der Priorwahrscheinlichkeiten
  • P(GA = 0,5) = 0,5 und P(GB = 0,7) = 0,5
• Sammlung von Informationen und Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten für die Informationen, dass entweder Hypothese A oder B zutrifft
  • P(D|A) = 0,117 und P(DI B) = 0,267
  • Bestimmung der Likelihoods (Summe muss nicht 1 ergeben)
• Bewertung der anfänglich aufgestellten Wahrscheinlichkeiten
  • P(GA|D) = 0,305 und P(GB|D) = 0,695
  • Bestimmung von Posteriorwahrscheinlichkeiten (Summe immer 1)

Likelihood

• Empirische Daten, um bestimmen zu können, welche der beiden aufgestellten Hypothesen wahrscheinlicher ist
• Suche nach bedingten Wahrscheinlichkeiten: P(A | D) und P(B | D) gesammelten Daten
• Likelihood = die Wahrscheinlichkeit, dass die Daten unter Vorhandensein einer bestimmten Stichprobe entstehen
• P(D|0₄) = 0,117 und P(D|0B) = 0,267 -Hypothese B ist 2,23-mal so wahrscheinlich wie A
• Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten durch den Satz von Bayes
• Bspw.:
• Hypothese B ist mit 69,5% sehr viel wahrscheinlicher
• Darstellung in Form von Prior und Posteriorverteilung

Prior

• Konstruktion einer Priorverteilung ist subjektiv → Annahmen absichern
• Intersubjektivität erhöhen
• Grad der Übereinstimmung zwischen mehreren Personen gemeint, die denselben Sachverhalt beurteilen
• Diese Gemeinsame Beurteilung muss jedoch nicht objektiv wahr sein
• Je nach Fragestellung ist es schwierig, den ausgewählten Hypothesen eine verlässliche Wahrscheinlichkeit zuzuordnen
  • Grund: keine bzw. wenig Anhaltspunkte
• Idee: Überlegung von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeit sich bestimmen lässt
  • Vergleich mit einer ausgewählten Hypothese
• Zuvor ermittelte Ober- und Untergrenze können genutzt werden, um mehrere Priorverteilungen mit leichten Abweichungen zu erstellen
  • 1. Wahrscheinlichkeit an der Obergrenze
  • 2. Wahrscheinlichkeit in der Mitte
  • 3. Wahrscheinlichkeit an der Untergrenze
• Mehrere Auswertungen → Vergleich→ Wie stark der Einfluss der Priorverteilung auf das Ergebnis
• Mögliches Resultat: widersprüchliche Ergebnisse (bei nicht informativ/sehr Vage Priorverteilungen) Empirische Informationen
• Praktische Überlegung: Annahmen für Gruppen, für die die Ergebnisse bestimmt sind → keine Berücksichtigung = wertlos → Wahrscheinlichkeit = 0 sollte nicht verwendet werden

Arten von Priorverteilungen

• Empfehlungen für die Priorverteilung
• Likelihoods = Mathematischer Umstand, der beschreibt, dass ein Stichprobenergebnis von einem Parameter der Grundgesamtheit abhängt -Diskrete Priorverteilung → Diskrete Wahrscheinlichkeiten
  • Stetige Priorverteilung → Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
  • Bsp.: Münzwurf auch abhängig von Beschaffenheit der Münze
  • Zur Berechnung der eines Stichprobenereignisses wird somit die Likelihood-Funktion der zugrunde liegenden Verteilung benötigt
  • kann Normal-, Binomial- oder anders verteilt sein

Posterior-Verteilung

-Priorverteilung P(e) + Likelihoods P(DIO) = Posteriorverteilung P(OID)

• Gibt die Wahrscheinlichkeiten an, wenn die Stichprobendaten berücksichtigt werden:
• Einffuss der Stichprobendaten
• Am Ende werden alle Daten in der Stichprobe enthalten in der Posteriorverteilung berücksichtigt
• Für die Daten gilt:
• ->jederzeit auswertungen vorgenommen werden

• Reihenfolge spielte keine Rolle -Mehrere Stichproben

• ->Zusammenfassung zu einer auswertung in beliebiger Reihenfolge ausgewertet
• ->Invarianz der Reihenfolge der Daten
• Zunehmende Menge an berücksichtigten Informationen -> Abnahme der Bedeutung der Priorverteilung -Problem: sehr starke Priors führen zu einer Verzerrung der Ergebnisse. -Kleine Stichproben:fundierte Bestimmung wichtig für eine verlässliche schätzung

Kredibilitätsintervall/Highest Density Interval (HDI)

• Wird jeder Bereich angegeben, in dem ein Großteil der wahrscheinlichsten Hypothesen bzw. Werte liegen
• Hypothesen außerhalb des Intervalls haben eine geringere Wahrscheinlichkeit als die Wahrscheinlichkeit innerhalb des HDI