Geometry Basics

Geometry

Definition

• Branch of mathematics that deals with the study of shapes, sizes, and positions of objects
• Involves the use of points, lines, angles, and planes to describe and analyze geometric figures

Key Concepts

• Points: Locations in space, represented by a set of coordinates (x, y, z)
• Lines: Sets of points extending infinitely in two directions
• Rays: Lines extending from a single point to infinity in one direction
• Angles: Formed by two rays sharing a common endpoint (vertex)
• Planes: Flat surfaces with no thickness or curvature

Geometric Figures

• Triangles: Three-sided polygons with three vertices and three sides
  • Types:
    • Equilateral: all sides equal
    • Isosceles: two sides equal
    • Scalene: all sides unequal
• Quadrilaterals: Four-sided polygons
  • Types:
    • Rectangle: all angles are right angles
    • Square: all sides equal, all angles are right angles
    • Trapezoid: two pairs of opposite sides
• Polygons: Multi-sided figures (5 or more sides)
• Circles: Sets of points equidistant from a central point (center)

Theorems and Postulates

• Euclid's Postulates: Fundamental principles of geometry
  • Two points can be joined by a straight line
  • Any straight line segment can be extended indefinitely
  • A circle can be drawn with any center and radius
  • All right angles are equal to one another
• Theorems:
  • Pythagorean Theorem: a^2 + b^2 = c^2 (right-angled triangles)
  • Angle Sum Theorem: sum of interior angles in a polygon = (n-2) × 180°

Applications

• Architecture: Designing buildings, bridges, and other structures
• Engineering: Calculating stresses, strains, and shapes of materials
• Art: Creating perspectives, proportions, and compositions
• Science: Modeling natural phenomena, such as crystal structures and molecular geometry

几何学

• 几何学是研究形状、大小和位置的数学分支
• 使用点、线、角和平面来描述和分析几何图形

基本概念

• 点: 空间中的位置，表示为一组坐标（x, y, z）
• 线: 两个方向延伸到无穷的点的集合
• 射线: 从单个点延伸到无穷的一条线
• 角: 两个射线共享一个公共端点（顶点）形成的角
• 平面: 无厚度或曲率的平面表面

几何图形

• 三角形: 三个顶点和三条边的多边形
  • 等边三角形：所有边长相等
  • 等腰三角形：两个边长相等
  • 不等边三角形：所有边长不相等
• 四边形: 四个顶点和四条边的多边形
  • 矩形：所有角都是直角
  • 正方形：所有边长相等，所有角都是直角
  • 梯形：两个对边相等
• 多边形: 五个或更多边的图形
• 圆: 中心点到圆上所有点的距离相等的集合

定理和公设

• 欧几里德公设：几何学的基本原则
  • 两个点可以被一条直线连接
  • 任何直线段可以无限延长
  • 任何中心和半径可以画出圆
  • 所有直角相等
• 定理：
  • 勾股定理：a^2 + b^2 = c^2（右角三角形）
  • 角和定理：多边形的内部角度之和 = (n-2) × 180°

应用

• 建筑：设计建筑、桥梁和其他结构
• 工程：计算材料的应力、应变和形状
• 艺术：创作视角、比例和构图
• 科学：模拟自然现象，如晶体结构和分子几何

数学基础

• 整数：包括自然数（0、1、2、3,...）和负数（..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...）
• 有理数：可以表达为分数（例如 3/4, 22/7）
• 无理数：不能表达为分数（例如 π, e）

运算

• 加法：将两个或多个数组合起来获取总和或和
• 减法：找到两个数之间的差
• 乘法：重复加法的操作
• 除法：将一个数分成相等的部分或组

运算性质

• 交换律：数字的顺序不影响结果（例如 2 + 3 = 3 + 2）
• 结合律：数字的分组顺序不影响结果（例如（2 + 3）+ 4 = 2 +（3 + 4））
• 分配律：一个数字可以分配到多个数字中（例如 2（3 + 4）= 2（3）+ 2（4））

运算顺序

• PEMDAS 法则：先计算括号中的表达式，再计算指数运算，接着计算乘除运算，然后计算加减运算

1. 计算括号中的表达式
2. 计算指数运算
3. 从左到右计算乘除运算
4. 从左到右计算加减运算

基本运算

• 模运算：找到除法运算的余数（例如 17 mod 5 = 2）
• 最大公因数（GCD）：两个或多个数的最大公因数
• 最小公倍数（LCM）：两个或多个数的最小公倍数