Геометрия: Үшбұрыштар

Үшбұрыштың анықтамасы:
- Үшбұрыш – үш қабырғадан және үш бұрыштан тұрады.
- Негізгі түрлері: тең бүйірлі, тең қабырғалы және әр түрлі бүйірлі.
Үшбұрыштың түрлері:
1. Тең бүйірлі үшбұрыш:
  - Екі қабырғасы тең.
  - Қабырғалары тең болғандықтан, қарсы бұрыштары да тең.
2. Тең қабырғалы үшбұрыш:
  - Барлық үш қабырғасы тең.
  - Барлық бұрыштары 60 градус.
3. Әртүрлі бүйірлі үшбұрыш:
  - Барлық қабырғалары әр түрлі.
  - Бұрыштары да әр түрлі.
Бұрыштар бойынша жіктелуі:
1. Тікбұрышты үшбұрыш:
  - Бір бұрышы 90 градус.
  - Пифагор теоремасы: (c^2 = a^2 + b^2), мұнда (c) гипотенуза.
2. Сүйір бұрышты үшбұрыш:
  - Барлық бұрыштары 90 градустан кіші.
3. Тік бұрышты үшбұрыш:
  - Бір бұрышы 90 градустан үлкен.
Үшбұрыштың қасиеттері:
- Қабырғалардың ұзындықтары: (a + b > c) (барлық қабырғалардың қосындысы ең ұзын қабырғадан үлкен).
- Бұрыштардың қосындысы: (α + β + γ = 180°).
- Үшбұрыштың ауданын есептеу:
  - Негізі мен биіктігі бойынша: (S = \frac{1}{2} \times a \times h).
  - Герон формуласы: (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}), мұнда (p = \frac{a+b+c}{2}) – жартылай периметр.
Перифериялық және инциркулалық шеңбер:
- Перифериялық шеңбер: үшбұрыштың барлық төбелерін қосатын шеңбер.
- Инциркулалық шеңбер: үшбұрыштың барлық қабырғаларын дотирететін шеңбер.
Теоремалар:
- Пифагор теоремасы: Тікбұрышты үшбұрышта гипотенуза квадраттарының қосындысы екі катет квадраттарының қосындысына тең.
- Талас теоремасы: Егер бір үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы екінші үшбұрыштың бұрыштарына тең болса, онда үшбұрыштар пропорционал.
Применение:
- Үшбұрыштар геометрияда, тригонометрияда, инженерлік есептеулер мен архитектурада кеңінен қолданылады.

Определение и виды треугольников

Треугольник состоит из трех сторон и трех углов.
Основные виды треугольников: равнобедренный, равносторонний и разносторонний.

Виды треугольников по длине сторон

Равнобедренный треугольник:
- Две стороны равны, следовательно, противолежащие углы также равны.
Равносторонний треугольник:
- Все стороны равны, каждый угол равен 60 градусам.
Разносторонний треугольник:
- Все стороны имеют разные длины, все углы также отличаются.

Виды треугольников по углам

Прямоугольный треугольник:
- Один угол равен 90 градусам. Применяется теорема Пифагора: (c^2 = a^2 + b^2) (где (c) — гипотенуза).
У acute треугольник:
- Все углы меньше 90 градусов.
Obtuse треугольник:
- Один угол больше 90 градусов.

Свойства треугольников

Сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны: (a + b > c).
Сумма углов треугольника равна 180 градусам: (α + β + γ = 180°).

Формулы для вычисления площади

Площадь через основание и высоту: (S = \frac{1}{2} \times a \times h).
Формула Герона: (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}) (где (p = \frac{a+b+c}{2}) — полупериметр).

Окружности, описанные и вписанные в треугольники

Описанная окружность: окружность, проходящая через все вершины треугольника.
Вписанная окружность: окружность, касающаяся всех сторон треугольника.

Теоремы о треугольниках

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема талас: если сумма углов одного треугольника равна углам другого треугольника, то они пропорциональны.