Geometría Vectorial y Analítica

• La geometría vectorial y analítica fusiona conceptos de álgebra lineal y geometría.
• Facilita la solución de problemas geométricos a través de métodos algebraicos, describiendo figuras geométricas usando vectores y sistemas de coordenadas.

Vectores y Operaciones

• Un vector es un segmento de línea dirigido definido por magnitud y dirección.
• Se representan en un sistema de coordenadas cartesiano.

Operaciones con Vectores

• Suma de Vectores: La suma de dos vectores a y b se calcula sumando sus componentes.
  • Dados a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), su suma es a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3).
• Resta de Vectores: Similar a la suma, la resta de a y b se obtiene restando componentes.
  • Dados a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), su resta es a - b = (a1-b1, a2-b2, a3-b3).
• Multiplicación por un Escalar: Multiplicar un vector a por un escalar k resulta en el vector ka, donde cada componente se multiplica por k.
  • Para a = (a1, a2, a3), el resultado es ka = (ka1, ka2, ka3).

Producto Escalar (Producto Punto)

• Se define como a · b = |a| |b| cos(θ), donde θ es el ángulo entre los vectores.
• En términos de componentes, a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3.
• Permite determinar el ángulo entre vectores y verificar ortogonalidad; si a · b = 0, a y b son ortogonales.

Producto Vectorial (Producto Cruz)

• El producto de dos vectores a y b da como resultado un vector c perpendicular a ambos.
• La magnitud de c es |c| = |a| |b| sen(θ), con θ siendo el ángulo entre a y b.
• En componentes, si a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), entonces c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1).
• Se usa para calcular áreas de paralelogramos formados por dos vectores y para hallar un vector normal a un plano.

Producto Mixto

• Está definido para tres vectores a, b, y c como a · (b × c).
• Su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.
• En componentes, a · (b × c) = a1(b2c3 - b3c2) + a2(b3c1 - b1c3) + a3(b1c2 - b2c1).
• Si el producto mixto es cero, los vectores son coplanares.

Rectas y Planos

• Las rectas y los planos son elementos esenciales en la geometría vectorial y analítica.

Ecuación de una Recta

• Forma Vectorial: r = r0 + tv, donde r es un punto en la recta, r0 es un punto conocido, v es el vector dirección, y t es un escalar.
• Forma Paramétrica: Con r = (x, y, z), r0 = (x0, y0, z0), y v = (a, b, c), las ecuaciones son x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.
• Forma Simétrica: (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c, con a, b, y c siendo las componentes del vector dirección.

Ecuación de un Plano

• Forma Vectorial: n · (r - r0) = 0, donde n es un vector normal, r es un punto en el plano, y r0 es un punto conocido en el plano.
• Forma General: Ax + By + Cz + D = 0, donde (A, B, C) es el vector normal al plano.
• Para definir un plano, se requiere un punto en el plano y un vector normal al mismo.

Distancias y Proyecciones

• El cálculo de distancias y proyecciones es fundamental.

Distancia de un Punto a un Plano

• La distancia d de un punto P(x1, y1, z1) a un plano Ax + By + Cz + D = 0 se calcula como:
  • d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A² + B² + C²)

Distancia de un Punto a una Recta

• En 3D, la distancia de un punto P a una recta L se halla con el producto vectorial:
  • d = |(a - p) × v| / |v|, donde a es un punto en la recta, p el vector posición de P, y v es el vector dirección de la recta.

Distancia entre dos Rectas Paralelas

• Dado que las rectas son paralelas, la distancia se calcula desde cualquier punto de una recta a la otra.

Distancia entre dos Rectas Alabeadas

• Para rectas que no son paralelas ni se intersectan, la distancia d se encuentra usando el producto mixto:
  • d = |(a2 - a1) · (v1 × v2)| / |v1 × v2|, donde a1 y a2 son puntos en las rectas, y v1 y v2 son sus vectores dirección.

Proyecciones

• Proyección Escalar (Componente): La proyección escalar de a sobre b es |a| cos(θ) = a · b / |b|.
• Proyección Vectorial: La proyección vectorial de a sobre b es (a · b / |b|²) b.
• La proyección vectorial es la componente de a en la dirección de b.