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Questions and Answers
以下哪个步骤是欧几里得算法的核心？
以下哪个步骤是欧几里得算法的核心？
对于计算 GCD(120, 45)，欧几里得算法需要多少次递归调用？
对于计算 GCD(120, 45)，欧几里得算法需要多少次递归调用？
以下哪种情况，质因数分解法在计算最大公约数时效率最低？
以下哪种情况，质因数分解法在计算最大公约数时效率最低？
如果两个整数的最大公约数为1，那么它们被称为？
如果两个整数的最大公约数为1，那么它们被称为？
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以下哪个应用场景不直接依赖于最大公约数的计算？
以下哪个应用场景不直接依赖于最大公约数的计算？
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欧几里得算法的时间复杂度是什么？
欧几里得算法的时间复杂度是什么？
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考虑以下 Python 代码：
def gcd(a, b):
if a == 0:
return b
else:
return gcd(b % a, a)
如果调用 gcd(18, 48)，返回值是什么？
考虑以下 Python 代码：
def gcd(a, b):
if a == 0:
return b
else:
return gcd(b % a, a)
如果调用 gcd(18, 48)，返回值是什么？
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以下哪种说法错误地描述了最大公约数（GCD）的概念？
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Flashcards
最大公约数 (GCD)
最大公约数 (GCD)
两个或多个整数共有约数中最大的一个。
欧几里得算法
欧几里得算法
一种高效计算 GCD 的方法，基于 GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)。
辗转相除法
辗转相除法
欧几里得算法的另一种表达方式，通过连续除法得到 GCD。
质因数分解法
质因数分解法
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互质数
互质数
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最小公倍数 (LCM)
最小公倍数 (LCM)
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时间复杂度 O(log min(a, b))
时间复杂度 O(log min(a, b))
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应用场景
应用场景
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Study Notes
最大公约数 (GCD)
- 最大公约数 (GCD) 指的是两个或多个整数共有约数中最大的一个。
- 对于两个整数 a 和 b，GCD(a, b) 表示 a 和 b 的最大公约数。
- GCD 的计算对于许多应用，例如简化分数和在密码学中的应用，至关重要。
算法一：欧几里得算法
- 欧几里得算法是一种高效的计算 GCD 的方法，其基于以下原理：
GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)，其中a mod b是 a 除以 b 的余数。
- 算法步骤：
- 如果 b = 0，则 GCD(a, b) = a。
- 否则，GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)。
- 优点：
- 效率高，时间复杂度相对较低。
- 适用于较大的整数。
- 例子：
- 计算 GCD(48, 18)：
- GCD(48, 18) = GCD(18, 48 mod 18) = GCD(18, 12)
- GCD(18, 12) = GCD(12, 18 mod 12) = GCD(12, 6)
- GCD(12, 6) = GCD(6, 12 mod 6) = GCD(6, 0) = 6
- 计算 GCD(48, 18)：
算法二：辗转相除法
- 辗转相除法是欧几里得算法的另一种表达方式。
- 该方法通过连续的除法运算，最终求得最大公约数。
算法三：质因数分解法
- 质因数分解法：
- 将每个数分解成质因子的乘积。
- 找到这两个数的公共质因子。
- 将公共质因子相乘，结果即为最大公约数。
- 优点：
- 直观易懂。
- 缺点：
- 效率低，对于大数不适用。
- 计算分解质因数的过程可能相当耗时。
时间复杂度分析
- 欧几里得算法：时间复杂度通常为 O(log min(a, b))。 这是因为在每次迭代中，较小的数至少减半。
- 质因数分解法：时间复杂度取决于分解质因数的算法，在最坏情况下可能为 O(√n)。
编程实现 (Python 例子) - 欧几里得算法
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return gcd(b, a % b)
- 代码清晰地体现了欧几里得算法的逻辑。
相关概念
- 互质数：两个数的最大公约数为 1。
- 最小公倍数 (LCM)：两个或多个整数公倍数中最小的一个。
应用场景
- 简化分数
- 求解同余方程
- 密码学
- 计算组合数学中的问题
总结
- 欧几里得算法是计算最大公约数的高效算法，时间复杂度为 O(log min(a, b))。
- 质因数分解法尽管直观，但在处理大数时效率较低。
- 选择合适的算法取决于具体的应用和数据规模。
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Description
本课程介绍了计算最大公约数（GCD）的几种常用方法，包括欧几里得算法、辗转相除法和质因数分解法。重点讲解欧几里得算法的原理和步骤，并通过实例演示如何使用这些算法计算 GCD。
