गणित और इसकी शाखाएँ

ज़रूर, यहाँ अपडेट की गई अध्ययन नोट्स हैं:

• गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान और अध्ययन है।
• यह नए अनुमानों को तैयार करने के लिए पैटर्न का उपयोग करता है और उपयुक्त रूप से चुने गए स्वयंसिद्धों और परिभाषाओं से कठोर कटौती द्वारा सत्य स्थापित करता है।
• गणित कई क्षेत्रों में आवश्यक है, जिनमें प्राकृतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त और सामाजिक विज्ञान शामिल हैं।

अंकगणित (Arithmetic)

• अंकगणित में संख्याओं पर बुनियादी संचालन शामिल हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
• यह गणित की नींव है और रोजमर्रा की गणनाओं में प्रयोग किया जाता है।
• भिन्न, दशमलव और प्रतिशत मौलिक अवधारणाएँ हैं।
• अभिव्यक्तियों का सही मूल्यांकन करने के लिए संचालन का क्रम (PEMDAS/BODMAS) महत्वपूर्ण है: Parentheses/Brackets, Exponents/Orders, Multiplication and Division, Addition and Subtraction

बीजगणित (Algebra)

• बीजगणित संख्याओं और मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों और अक्षरों का उपयोग करता है।
• यह अंकगणितीय कार्यों के सामान्यीकरण को सक्षम बनाता है।
• समीकरणों और असमानताओं को हल करना एक मुख्य कौशल है।
• रैखिक समीकरणों को रेखांकन के रूप में सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• द्विघात समीकरणों का सामान्य रूप ax^2 + bx + c = 0 होता है और इसे गुणनखंड, वर्ग को पूरा करके या द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
• बहुपद चर और गुणांक से मिलकर बने व्यंजक हैं, जिनमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन शामिल हैं।

ज्यामिति (Geometry)

• ज्यामिति आकृतियों के आकार, आकार, सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष के गुणों से संबंधित है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति बिंदुओं, रेखाओं, कोणों, सतहों और ठोस पदार्थों पर केंद्रित है।
• मुख्य अवधारणाओं में शामिल हैं:
  • त्रिकोण: क्षेत्रफल, परिधि, कोण संबंध
  • वृत्त: परिधि, क्षेत्रफल, जीवा और स्पर्शरेखा के गुण
  • पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुजों के लिए a^2 + b^2 = c^2
• निर्देशांक ज्यामिति ज्यामितीय आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने और बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके उनके गुणों का विश्लेषण करने के लिए समन्वय विमान का उपयोग करती है।

त्रिकोणमिति (Trigonometry)

• त्रिकोणमिति त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
• त्रिकोणमितीय फलनों (साइन, कोसाइन, टैंजेंट) का उपयोग समकोण त्रिभुज में कोणों को भुजाओं के अनुपात से संबंधित करने के लिए किया जाता है।
• इकाई वृत्त त्रिकोणमितीय फलनों को सभी वास्तविक संख्याओं तक विस्तारित करने का एक तरीका प्रदान करता है।
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ऐसे समीकरण हैं जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।

कलन (Calculus)

• कलन निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है।
• अवकल कलन परिवर्तन की दरों और व्युत्पन्न का उपयोग करके वक्रों के ढलानों से संबंधित है।
• समाकलन कलन मात्राओं के संचय और समाकलन का उपयोग करके वक्रों के नीचे के क्षेत्रों से संबंधित है।
• कलन का मौलिक प्रमेय विभेदन और एकीकरण को जोड़ता है।
• सीमाएँ कलन के लिए मूलभूत हैं, जो उन मानों को परिभाषित करती हैं जिन पर फंक्शन तब पहुंचते हैं जब इनपुट कुछ मानों तक पहुंचते हैं।

सांख्यिकी (Statistics)

• सांख्यिकी में डेटा एकत्र करना, विश्लेषण करना, व्याख्या करना और प्रस्तुत करना शामिल है।
• वर्णनात्मक सांख्यिकी माध्य, माध्यिका, बहुलक और मानक विचलन जैसे उपायों का उपयोग करके डेटा का संक्षेप और वर्णन करती है।
• अनुमानित सांख्यिकी जनसंख्या के बारे में अनुमान लगाने के लिए नमूना डेटा का उपयोग करती है।
• प्रायिकता सिद्धांत अनिश्चितता और यादृच्छिकता को मापने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है।
• प्रतिगमन विश्लेषण चरों के बीच संबंधों की जांच करता है।

असतत गणित (Discrete Mathematics)

• असतत गणित गणितीय संरचनाओं का अध्ययन करता है जो निरंतर होने के बजाय मौलिक रूप से असतत हैं।
• तर्क तर्क और प्रमाण से संबंधित है।
• सेट सिद्धांत वस्तुओं के संग्रह का अध्ययन करता है।
• कॉम्बिनेटरिक्स में वस्तुओं को गिनना और व्यवस्थित करना शामिल है।
• ग्राफ सिद्धांत नोड्स और किनारों का उपयोग करके वस्तुओं के बीच संबंधों का अध्ययन करता है।

संख्या सिद्धांत (Number Theory)

• संख्या सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो पूर्णांकों और उनके गुणों का अध्ययन करती है।
• अभाज्य संख्याएँ संख्या सिद्धांत के लिए केंद्रीय हैं।
• अवधारणाओं में विभाज्यता, समानताएँ और डायोफैंटाइन समीकरण शामिल हैं।
• मॉड्यूलर अंकगणित पूर्णांकों के लिए अंकगणित की एक प्रणाली है जहाँ संख्याएँ एक निश्चित मूल्य (मॉड्यूलस) तक पहुँचने के बाद "पूरी हो जाती हैं"।

गणितीय तर्क (Mathematical Logic)

• गणितीय तर्क गणित में औपचारिक तर्क के अनुप्रयोगों की पड़ताल करता है।
• प्रस्तावक तर्क तार्किक प्रस्तावों और उनके संबंधों से तार्किक संयोजकों के माध्यम से संबंधित है।
• विधेय तर्क विधेय और परिमाणकों को प्रस्तुत करके प्रस्तावक तर्क का विस्तार करता है।
• प्रमाण सिद्धांत गणितीय प्रमाणों की संरचना का अध्ययन करता है।

टोपोलॉजी (Topology)

• टोपोलॉजी ऐसे स्थानों के गुणों का अध्ययन करती है जो निरंतर विकृतियों के तहत संरक्षित होते हैं, जैसे कि खिंचाव, मोड़, कुचलना और झुकना, लेकिन फाड़ना या चिपकाना नहीं।
• बिंदु-सेट टोपोलॉजी खुले सेट, बंद सेट, निरंतरता और अभिसरण की बुनियादी अवधारणाओं से संबंधित है।
• बीजगणितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजिकल स्थानों का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय उपकरणों का उपयोग करती है।

गणित के अनुप्रयोग (Applications of Math)

• भौतिकी: गणित का उपयोग भौतिक घटनाओं, जैसे गति, ऊर्जा और बलों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• इंजीनियरिंग: संरचनाओं, सर्किटों और एल्गोरिदम को डिजाइन करने के लिए गणित आवश्यक है।
• कंप्यूटर विज्ञान: गणित का उपयोग एल्गोरिदम डिजाइन, डेटा विश्लेषण और क्रिप्टोग्राफी में किया जाता है।
• अर्थशास्त्र: गणित का उपयोग आर्थिक प्रणालियों को मॉडल करने, बाजार के रुझानों की भविष्यवाणी करने और संसाधन आवंटन को अनुकूलित करने के लिए किया जाता है।
• वित्त: गणित का उपयोग जोखिम का प्रबंधन करने, व्युत्पन्न का मूल्य निर्धारण करने और निवेश का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
• सांख्यिकी लगभग हर क्षेत्र में डेटा के आधार पर सूचित निर्णय लेने और समझने के लिए उपकरण प्रदान करती है।

गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान है। इसमें अंकगणित संख्याओं पर बुनियादी संचालन शामिल हैं जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग। बीजगणित प्रतीकों और अक्षरों का उपयोग करके संख्याओं और मात्राओं का प्रतिनिधित्व करता है।