गणित का परिचय

• गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन जैसे विषयों का अध्ययन है।
• गणितज्ञों और दार्शनिकों के बीच गणित के सटीक दायरे और परिभाषा के बारे में अलग-अलग विचार हैं।
• गणित पैटर्न की तलाश करता है और नई अटकलों को तैयार करता है।
• गणितज्ञ गणितीय प्रमाणों द्वारा अटकलों की सच्चाई या असत्यता का समाधान करते हैं, जो अन्य गणितज्ञों को उनकी शुद्धता के बारे में समझाने के लिए पर्याप्त तर्क हैं।
• विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त और सामाजिक विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में गणितीय अनुसंधान की आवश्यकता है।
• अनुप्रयुक्त गणित, गणितीय विधियों का विभिन्न क्षेत्रों जैसे विज्ञान, इंजीनियरिंग, व्यवसाय, कंप्यूटर विज्ञान और उद्योग में अनुप्रयोग है।
• गणितीय खेल और मनोरंजक गणित ऐसे अनुप्रयोग हैं जो कला या मनोरंजन के क्षेत्र में आते हैं।

गणित का इतिहास

• गणित का इतिहास अमूर्तताओं की एक बढ़ती हुई श्रृंखला है।
• अमूर्तता की अवधारणाएं मुख्य रूप से गिनती की आवश्यकता के साथ शुरू हुईं।
• गिनती के प्रमाण 30,000 साल पहले के हैं।
• सबसे पुराने गणितीय ग्रंथ मेसोपोटामिया और मिस्र से 3000 से 2000 ईसा पूर्व के हैं।
• मिस्र के गणित में दशमलव संख्या प्रणाली के साथ-साथ ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों और आयतनों की गणना करने के लिए सूत्रों का ज्ञान शामिल था।
• बेबीलोनियन गणित एक सेक्सजेसिमल (बेस 60) अंक प्रणाली पर आधारित था।
• बेबीलोनियन गणितज्ञ आयतों, त्रिभुजों और ट्रेपेज़ोइड के क्षेत्रफल के साथ-साथ ईंटों और सिलेंडरों जैसे सरल ठोस पदार्थों के आयतन की गणना कर सकते थे।
• बेबीलोनियन एक त्रिभुज के कोणों का योग भी सही ढंग से ज्ञात कर सकते थे।
• एक उल्लेखनीय मेसोपोटामियाई टेबलेट में √2 के लिए पांच दशमलव स्थानों तक सटीक अनुमान है।
• ग्रीक गणित की शुरुआत थेल्स ऑफ़ मिलेटस (सी। 624-546 ईसा पूर्व) और पाइथागोरस (सी। 582-सी। 507 ईसा पूर्व) से हुई थी।
• पाइथागोरस को पाइथागोरस प्रमेय का पहला प्रमाण प्रदान करने का श्रेय दिया जाता है।
• यूडोक्सस (सी। 408-355 ईसा पूर्व) ने थकावट की विधि विकसित की, जो अभिन्न कलन का अग्रदूत है।
• अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) को गणितीय प्रमेयों को साबित करने के लिए निगमनात्मक तर्क का उपयोग करने का श्रेय दिया जाता है।
• यूक्लिड (सी। 300 ईसा पूर्व) ने तत्व का निर्माण किया, जिसे गणित के इतिहास में सबसे प्रभावशाली कार्यों में से एक माना जाता है।
• आर्किमिडीज (सी। 287-212 ईसा पूर्व) को परबोला के नीचे के क्षेत्र की गणना करने और पाई का अनुमान प्राप्त करने के लिए थकावट की विधि का उपयोग करने के लिए जाना जाता है।
• इस्लामी स्वर्ण युग के दौरान, विशेष रूप से 9वीं और 10वीं शताब्दी के दौरान, गणित में महत्वपूर्ण प्रगति हुई।
• अल-ख्वारिज्मी (सी। 780-850) ने एल्गोरिथ्म की अवधारणा को अपना नाम दिया और उन्हें बीजगणित विकसित करने का श्रेय दिया जाता है।
• हिंदू-अरबी अंक और उनके साथ काम करने के नियम भारतीय गणितज्ञों द्वारा विकसित किए गए थे और पश्चिमी दुनिया में प्रसारित किए गए थे।
• फाइबोनैचि (सी। 1170-1250) ने हिंदू-अरबी अंक प्रणाली को यूरोप में पेश किया।
• पुनर्जागरण के दौरान, गणित और विज्ञान पर अधिक जोर दिया गया।
• गेरोलामो कार्डानो (1501-1576) ने घन और चतुर्थक समीकरणों को हल करने के लिए विधियाँ प्रकाशित कीं।
• निकोलस कोपरनिकस (1473-1543) ने ब्रह्मांड के भू-केंद्रित मॉडल को सूर्य-केंद्रित मॉडल से बदल दिया।
• जोहान्स केप्लर (1571-1630) ने ग्रहों की गति के नियमों को प्राप्त किया।
• गैलीलियो गैलीली (1564-1642) ने गति के अध्ययन में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
• रेने डेकार्टेस (1596-1650) ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति विकसित की।
• आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने स्वतंत्र रूप से कलन विकसित किया।
• लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) ने संख्या सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत और विश्लेषण सहित कई क्षेत्रों में खोजें कीं।
• कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) ने संख्या सिद्धांत, बीजगणित, सांख्यिकी और विश्लेषण में अभूतपूर्व योगदान दिया।
• 19वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने समूह सिद्धांत, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और जटिल विश्लेषण जैसे क्षेत्रों को संबोधित करना शुरू किया।
• 20वीं शताब्दी में, डेविड हिल्बर्ट (1862-1943) ने औपचारिकता को बढ़ावा दिया।
• कर्ट गोडेल (1906-1978) ने अपूर्णता प्रमेयों का प्रदर्शन किया, जिससे यह सीमित हो गया कि क्या सिद्ध किया जा सकता है।
• एलन ट्यूरिंग (1912-1954) ने ट्यूरिंग मशीन की अवधारणा विकसित की, एल्गोरिथ्म की धारणा को औपचारिक रूप दिया, और कंप्यूटर विज्ञान के लिए एक नींव प्रदान की।

उपविषय

• अंकगणित संख्याओं और उन पर बुनियादी कार्यों का अध्ययन है।
• बीजगणित गणितीय प्रतीकों और उन्हें हेरफेर करने के नियमों का अध्ययन है।
• ज्यामिति आकृतियों, आकारों और आकृतियों की स्थिति का अध्ययन है।
• त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों के भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों से संबंधित है।
• कलन निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है, जिसमें विभेदन और एकीकरण शामिल है।
• सांख्यिकी डेटा एकत्र करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने और प्रस्तुत करने का अध्ययन है।
• प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
• टोपोलॉजी आकृतियों और स्थानों का अध्ययन है जो निरंतर परिवर्तन के तहत संरक्षित हैं।
• असतत गणित गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जो निरंतर होने के बजाय असतत हैं।
• संख्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम का अध्ययन है।

गणितीय संकेतन, प्रतीक और भाषा

• गणितीय संकेतन गणितीय अवधारणाओं को रिकॉर्ड करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक प्रणाली है।
• यह प्रतीकों या प्रतीकात्मक भावों का उपयोग करता है, जिसका उद्देश्य सटीक शब्दार्थ अर्थ रखना है।
• कुछ आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले गणित प्रतीक: +, -, ×, ÷, =, <, >, ≤, ≥।
• गणितीय अभिव्यक्ति प्रतीकों का एक सीमित संयोजन है जो संदर्भ के आधार पर नियमों के अनुसार अच्छी तरह से बनता है।
• सूत्र एक सिंटैक्टिक इकाई है जिसका उपयोग आमतौर पर प्रतीकों का उपयोग करके किसी वस्तु या संबंध के लिए एक संपत्ति को जोड़ने के लिए किया जाता है।
• प्रमेय और लेम्मा गणितीय कथन हैं जिन्हें स्वयंसिद्धों और पहले सिद्ध प्रमेयों के आधार पर सत्य सिद्ध किया जा सकता है।
• गणितीय प्रमाण किसी कथन की सत्यता को प्रदर्शित करने के लिए तर्क और कटौती का उपयोग करते हैं।
• समुच्चय अलग-अलग वस्तुओं के संग्रह हैं, जिन्हें अपने आप में एक वस्तु माना जाता है।
• फलन ऐसे संबंध हैं जो विशिष्ट रूप से एक समुच्चय के सदस्यों को दूसरे समुच्चय के सदस्यों के साथ जोड़ते हैं।

प्रमाण

• गणितीय प्रमाण एक गणितीय कथन के लिए एक अनुमानित तर्क है।
• किसी प्रमेय को सिद्ध करने में, गणितीय कथनों को स्वयंसिद्धों के रूप में उपयोग किया जा सकता है, परिकल्पनाओं के रूप में माना जा सकता है, या पहले सिद्ध प्रमेयों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
• तर्क यह निर्धारित करने के लिए नियमों का उपयोग करता है कि प्रमाण में विशेष चरण मान्य हैं या नहीं।
• प्रमाण संपूर्ण निगमनात्मक तर्क के उदाहरण हैं, जो निश्चितता स्थापित करते हैं।
• कुछ मतों के अनुसार, एक प्रमाण किसी भी सक्षम गणितज्ञ द्वारा सत्यापन योग्य होना चाहिए।
• प्रमाण तकनीकों में प्रत्यक्ष प्रमाण, अप्रत्यक्ष प्रमाण, खंडन द्वारा प्रमाण और प्रेरण द्वारा प्रमाण शामिल हैं।

स्वयंसिद्ध

• स्वयंसिद्ध ऐसे कथन हैं जिन्हें सत्य माना जाता है, जो अन्य सत्यों की कटौती और अनुमान के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करते हैं।
• वे एक तार्किक प्रणाली के लिए मौलिक सत्य या धारणाएँ हैं।
• स्वयंसिद्ध गणित के एक विशेष क्षेत्र के लिए विशिष्ट हो सकते हैं, जैसे यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्ध।
• स्वयंसिद्धों का चयन अध्ययन के क्षेत्र को परिभाषित कर सकता है।
• यूक्लिडियन स्वयंसिद्धों को स्पष्ट रूप से सत्य माना जाता था, लेकिन आधुनिक गणित में अब ऐसा नहीं है।
• ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत विरोधाभासों से बचने के लिए स्वयंसिद्धों के एक सेट का उपयोग करता है।
• गोडेल के अपूर्णता प्रमेय बताते हैं कि कोई भी स्वयंसिद्ध प्रणाली उस प्रणाली के बारे में सभी तथ्यों को साबित करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं है।

गणित के अनुप्रयोग

• गणित का उपयोग प्राकृतिक विज्ञान में बड़े पैमाने पर किया जाता है: भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान।
• समस्याओं को हल करने के लिए इंजीनियरिंग में गणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: सिविल, मैकेनिकल, इलेक्ट्रिकल, केमिकल, इंडस्ट्रियल।
• गणित का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में बड़े पैमाने पर होता है: एल्गोरिदम, डेटा संरचनाएं, क्रिप्टोग्राफी, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कृत्रिम बुद्धिमत्ता।
• गणित का उपयोग वित्त में बड़े पैमाने पर होता है: विकल्प मूल्य निर्धारण, जोखिम प्रबंधन, पोर्टफोलियो अनुकूलन।
• गणित आर्थिक मॉडल और विश्लेषण को रेखांकित करता है।
• गणित का उपयोग मानचित्रकला और भौगोलिक सूचना प्रणालियों (जीआईएस) में किया जाता है।
• गणित मौसम के पूर्वानुमान और जलवायु मॉडलिंग में उपयोगी है।
• रैखिक बीजगणित क्वांटम यांत्रिकी के लिए मौलिक है।
• गणित का उपयोग जनसंख्या गतिकी को मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।
• गणित चिकित्सा इमेजिंग तकनीकों के लिए आवश्यक है।
• गणित रसद और आपूर्ति श्रृंखला प्रबंधन को अनुकूलित करने में मदद करता है।
• गणित को कलात्मक रूप से लागू किया जा सकता है और यह संगीत से संबंधित है।