गणित की नींव और संख्या प्रणाली

Fundamental Concepts

• गणित दुनिया में पैटर्न, मात्राओं और संबंधों को मॉडल और समझने के लिए तर्क और तार्किक प्रणाली है।
• इसमें बुनियादी अंकगणित से लेकर उन्नत कलन, बीजगणित, ज्यामिति और सांख्यिकी तक अध्ययन का एक विशाल क्षेत्र शामिल है।
• प्रमुख अवधारणाओं में संख्याएँ, संक्रियाएँ, समीकरण, फलन और प्रमाण शामिल हैं।

संख्या प्रणाली

• प्राकृतिक संख्याएँ (N): धनात्मक पूर्ण संख्याएँ (1, 2, 3,...)।
• पूर्ण संख्याएँ (W): शून्य और प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं (0, 1, 2, 3,...).
• पूर्णांक (Z): धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ शामिल हैं (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...).
• परिमेय संख्याएँ (Q): संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है।
• अपरिमेय संख्याएँ: संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरणों में पाई (π) और वर्गमूल 2 (√2) शामिल हैं।
• वास्तविक संख्याएँ (R): सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय।
• काल्पनिक संख्याएँ (i): -1 का वर्गमूल।
• सम्मिश्र संख्याएँ: वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं को a + bi के रूप में जोड़ती हैं, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं।

बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ

• जोड़ (+): मात्राओं को जोड़ना।
• घटाव (-): मात्राओं के बीच अंतर ज्ञात करना।
• गुणा (× या *): बार-बार जोड़।
• भाग (/ या ÷): बार-बार घटाव।
• संक्रियाओं का क्रम (PEMDAS/BODMAS): कोष्ठक / ब्रैकेट, घातांक / आदेश, गुणा और भाग (बायें से दायें), जोड़ और घटाव (बायें से दायें)।

बीजगणित

• चर: अज्ञात मानों का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक (जैसे x, y, z)।
• समीकरण: कथन जो दो व्यंजकों की समानता दर्शाते हैं।
• असमानताएँ: कथन जो दो व्यंजकों के बीच संबंध दर्शाते हैं (जैसे >, <, ≥, ≤)।
• रेखीय समीकरण: समीकरण जो ग्राफ़ किए जाने पर एक सीधी रेखा उत्पन्न करते हैं।
• द्विघात समीकरण: समीकरण जिनमें एक वर्ग चर होता है (जैसे, ax² + bx + c = 0)।

ज्यामिति

• आकार: द्वि-आयामी (जैसे, वर्ग, वृत्त) और त्रि-आयामी (जैसे, घन, गोले)।
• कोण: दो किरणों द्वारा बनते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ अंत बिंदु होता है।
• रेखाएँ: सीधी पथ जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई हैं।
• बहुभुज: सीधी भुजाओं वाले बंद आकृतियाँ।
• क्षेत्रफल: द्वि-आयामी आकृति द्वारा घिरे हुए सतह का माप।
• परिमाप: द्वि-आयामी आकृति के चारों ओर की दूरी का माप।
• आयतन: त्रि-आयामी आकृति द्वारा घेरे गए स्थान का माप।
• पाइथागोरस प्रमेय (समकोण त्रिभुज में): a² + b² = c²।

कलन

• सीमाएँ: किसी फलन का व्यवहार जैसे-जैसे इनपुट किसी निश्चित मान के निकट पहुँचता है।
• अवकलज: किसी फलन के परिवर्तन की दर।
• समाकल: किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल।
• विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग: भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, और बहुत कुछ।

सांख्यिकी

• डेटा संग्रह और विश्लेषण।
• केंद्रीय प्रवृत्ति (माध्य, माध्यिका, बहुलक) और फैलाव (प्रसरण, मानक विचलन) के माप।
• प्रायिकता: किसी घटना के होने की संभावना।