गणित की नींव और संख्या प्रणाली

Fundamental Concepts

गणित दुनिया में पैटर्न, मात्राओं और संबंधों को मॉडल और समझने के लिए तर्क और तार्किक प्रणाली है।
इसमें बुनियादी अंकगणित से लेकर उन्नत कलन, बीजगणित, ज्यामिति और सांख्यिकी तक अध्ययन का एक विशाल क्षेत्र शामिल है।
प्रमुख अवधारणाओं में संख्याएँ, संक्रियाएँ, समीकरण, फलन और प्रमाण शामिल हैं।

संख्या प्रणाली

प्राकृतिक संख्याएँ (N): धनात्मक पूर्ण संख्याएँ (1, 2, 3,...)।
पूर्ण संख्याएँ (W): शून्य और प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं (0, 1, 2, 3,...).
पूर्णांक (Z): धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ शामिल हैं (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...).
परिमेय संख्याएँ (Q): संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है।
अपरिमेय संख्याएँ: संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरणों में पाई (π) और वर्गमूल 2 (√2) शामिल हैं।
वास्तविक संख्याएँ (R): सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय।
काल्पनिक संख्याएँ (i): -1 का वर्गमूल।
सम्मिश्र संख्याएँ: वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं को a + bi के रूप में जोड़ती हैं, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं।

बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ

जोड़ (+): मात्राओं को जोड़ना।
घटाव (-): मात्राओं के बीच अंतर ज्ञात करना।
गुणा (× या *): बार-बार जोड़।
भाग (/ या ÷): बार-बार घटाव।
संक्रियाओं का क्रम (PEMDAS/BODMAS): कोष्ठक / ब्रैकेट, घातांक / आदेश, गुणा और भाग (बायें से दायें), जोड़ और घटाव (बायें से दायें)।

बीजगणित

चर: अज्ञात मानों का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक (जैसे x, y, z)।
समीकरण: कथन जो दो व्यंजकों की समानता दर्शाते हैं।
असमानताएँ: कथन जो दो व्यंजकों के बीच संबंध दर्शाते हैं (जैसे >, <, ≥, ≤)।
रेखीय समीकरण: समीकरण जो ग्राफ़ किए जाने पर एक सीधी रेखा उत्पन्न करते हैं।
द्विघात समीकरण: समीकरण जिनमें एक वर्ग चर होता है (जैसे, ax² + bx + c = 0)।

ज्यामिति

आकार: द्वि-आयामी (जैसे, वर्ग, वृत्त) और त्रि-आयामी (जैसे, घन, गोले)।
कोण: दो किरणों द्वारा बनते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ अंत बिंदु होता है।
रेखाएँ: सीधी पथ जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली हुई हैं।
बहुभुज: सीधी भुजाओं वाले बंद आकृतियाँ।
क्षेत्रफल: द्वि-आयामी आकृति द्वारा घिरे हुए सतह का माप।
परिमाप: द्वि-आयामी आकृति के चारों ओर की दूरी का माप।
आयतन: त्रि-आयामी आकृति द्वारा घेरे गए स्थान का माप।
पाइथागोरस प्रमेय (समकोण त्रिभुज में): a² + b² = c²।

कलन

सीमाएँ: किसी फलन का व्यवहार जैसे-जैसे इनपुट किसी निश्चित मान के निकट पहुँचता है।
अवकलज: किसी फलन के परिवर्तन की दर।
समाकल: किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल।
विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग: भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, और बहुत कुछ।