गणित के मौलिक सिद्धांत

Fundamental Concepts

• गणित मात्राओं, संरचनाओं, स्थान और परिवर्तन से संबंधित ज्ञान का एक व्यवस्थित निकाय है।
• मुख्य शाखाओं में अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, कलन और सांख्यिकी शामिल हैं।
• संख्याएँ, समीकरण, आकृतियाँ, फलन और डेटा विश्लेषण जैसे अवधारणाएँ आधुनिक जीवन के कई पहलुओं के लिए मौलिक हैं।

अंकगणित

• अंकगणित संख्याओं पर मूलभूत संक्रियाओं (जोड़, घटाना, गुणा, भाग) पर केंद्रित है।
• गिनती के लिए प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3...) का उपयोग किया जाता है।
• पूर्ण संख्याओं में शून्य और प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं।
• पूर्णांक धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ, साथ ही शून्य होते हैं।
• परिमेय संख्याओं को दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (बशर्ते हर शून्य न हो)।
• अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरणों में पाई (π) और वर्गमूल 2 शामिल हैं।
• वास्तविक संख्याएँ सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को शामिल करती हैं।
• अंकगणितीय संक्रियाओं में कम्यूटेटिव, एसोसिएटिव और डिस्ट्रीब्यूटिव नियम जैसे संख्याओं के गुण महत्वपूर्ण हैं।

बीजगणित

• बीजगणित अज्ञात मात्राओं को निरूपित करने के लिए प्रतीकों (चल) का उपयोग करता है।
• इसमें समीकरणों और असमानताओं को हल करना शामिल है।
• संक्रियाओं के गुण और वे कैसे चर के साथ परस्पर क्रिया करते हैं, आवश्यक हैं।
• समीकरण दो व्यंजकों के बीच समानता का कथन हैं।
• रैखिक समीकरणों में चर घातांक एक होता है।
• द्विघात समीकरणों में चर घातांक दो होता है।
• बहुपद समीकरणों में विभिन्न क्रमों के घातांक वाले एक से अधिक पद होते हैं।
• समीकरणों की प्रणालियाँ दो या दो से अधिक समीकरणों का संग्रह होती हैं। हल के सामान्य तरीकों में प्रतिस्थापन और उन्मूलन शामिल हैं।

ज्यामिति

• ज्यामिति आकृतियों के आकार, आकृति और स्थिति से संबंधित है।
• बिंदु, रेखाएँ, कोण और बहुभुज जैसी मूलभूत आकृतियाँ मौलिक हैं।
• तल ज्यामिति द्वि-आयामी आकृतियों की खोज करती है।
• ठोस ज्यामिति त्रि-आयामी आकृतियों (आयतन, सतहों) की जांच करती है।
• ज्यामितीय प्रमेय (जैसे पाइथागोरस प्रमेय) आकृतियों के बीच संबंधों का वर्णन करते हैं।
• घुमाव, अनुवाद और प्रतिबिंब जैसी रूपान्तरण आकृतियों की स्थिति को बदलते हैं।
• निर्देशांक ज्यामिति निर्देशांक तल पर आकृतियों को रखने के लिए निर्देशांक (संख्या युग्म) का उपयोग करती है।

कलन

• कलन सीमाओं, अवकलजों और समाकलों का उपयोग करके निरंतर परिवर्तन से संबंधित है।
• अवकलज तात्कालिक परिवर्तन दरों को मापते हैं।
• समाकल संचित परिवर्तन की मात्राएँ ज्ञात करते हैं।
• इसमें वेग और त्वरण, क्षेत्र, आयतन, अनुकूलन और प्राकृतिक घटनाओं के मॉडलिंग जैसे अनुप्रयोग शामिल हैं।

सांख्यिकी

• सांख्यिकी में डेटा का संग्रह, संगठन, विश्लेषण, व्याख्या और प्रस्तुति शामिल है।
• डेटा संख्यात्मक या वर्गीकृत हो सकता है।
• केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (माध्य, माध्यिका, बहुलक) विशिष्ट मूल्यों का वर्णन करते हैं।
• फैलाव के माप (विचरण, मानक विचलन) डेटा के फैलाव का वर्णन करते हैं।
• संभावना, एक घटना की संभावना, सांख्यिकीय विश्लेषण में मौलिक है।

समुच्चय सिद्धांत

• समुच्चय सिद्धांत, एक मूलभूत क्षेत्र, वस्तुओं (समुच्चयों) के संग्रह की जांच करता है।
• समुच्चयों का वर्णन सदस्यता और संघ, प्रतिच्छेदन और पूरक जैसी संक्रियाओं का उपयोग करके किया जाता है।
• वेन आरेख समुच्चयों के बीच संबंधों के दृश्य निरूपण हैं।
• यह कई गणितीय अवधारणाओं, विशेष रूप से बीजगणित और संभाव्यता में आधारशिला है।

तर्कशास्त्र

• गणित में तर्कशास्त्र वैध तर्क और तर्क के साथ संबंधित है।
• कथन, निहितार्थ और परिमाणक (सभी, कुछ, कोई भी) मूलभूत घटक हैं।
• औपचारिक प्रमाण गणितीय कथनों की सच्चाई को प्रदर्शित करते हैं।

असतत गणित

• असतत गणित उन वस्तुओं से संबंधित है जिन्हें गिना जा सकता है और अलग-अलग, विशिष्ट वस्तुएँ होती हैं।
• इसमें ग्राफ सिद्धांत, संयोजन गणित और संख्या सिद्धांत जैसे विषय शामिल हैं।
• ग्राफ सिद्धांत वस्तुओं के बीच संबंधों को कनेक्शन के माध्यम से जांचता है।
• संयोजन गणित वस्तुओं की संभावित व्यवस्थाओं की जांच करता है।