गणित के महत्वपूर्ण सिद्धांत

Key Concepts in Mathematics

1. Number Systems

• Natural Numbers: Positive integers (1, 2, 3, ...).
• Whole Numbers: Natural numbers plus zero (0, 1, 2, ...).
• Integers: Whole numbers and their negatives (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
• Rational Numbers: Numbers that can be expressed as fractions (e.g., 1/2, 3).
• Irrational Numbers: Non-repeating, non-terminating decimals (e.g., √2, π).

2. Basic Operations

• Addition (+): Combining quantities.
• Subtraction (−): Finding the difference between quantities.
• Multiplication (×): Repeated addition of a number.
• Division (÷): Splitting a quantity into equal parts.

3. Algebra

• Variables: Symbols that represent numbers (e.g., x, y).
• Expressions: Combinations of numbers and variables (e.g., 2x + 3).
• Equations: Statements that two expressions are equal (e.g., 2x + 3 = 7).
• Functions: A relation where each input has a single output (e.g., f(x) = x^2).

4. Geometry

• Points, Lines, and Angles: Basic building blocks of geometry.
• Shapes:
  • 2D: Circles, triangles, rectangles, polygons.
  • 3D: Cubes, spheres, cylinders.
• Theorems: Rules regarding shapes (e.g., Pythagorean theorem).

5. Trigonometry

• Sine, Cosine, Tangent: Ratios of sides in right triangles.
• Unit Circle: Circle with a radius of one, used to define trigonometric functions.
• Applications: Used in physics, engineering, and architecture.

6. Calculus

• Limits: The value a function approaches as the input approaches a point.
• Derivatives: Measure of how a function changes as its input changes.
• Integrals: Represents the accumulation of quantities, such as areas under curves.

7. Statistics

• Descriptive Statistics: Summarizes and describes data (mean, median, mode).
• Inferential Statistics: Draws conclusions from sample data (hypothesis testing).
• Probability: Study of randomness and uncertainty (calculating the likelihood of events).

8. Mathematical Reasoning

• Logic: Use of reasoning to solve problems.
• Proofs: Logical arguments demonstrating the truth of mathematical statements.
• Problem Solving Strategies: Approaches to find solutions (e.g., working backwards, looking for patterns).

9. Mathematical Applications

• Finance: Interest calculations, budgeting, and investments.
• Physics: Motion equations, forces, and energy calculations.
• Engineering: Design, analysis, and optimization of structures and systems.

नंबर सिस्टम

• प्राकृतिक संख्याएँ: सकारात्मक पूर्णांक (1, 2, 3,...).
• पूर्ण संख्याएँ: प्राकृतिक संख्याएँ और शून्य (0, 1, 2,...).
• अंक: पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक रूप (..., -2, -1, 0, 1, 2,...).
• अंशात्मक संख्याएँ: वह संख्याएँ जो भिन्न के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं (जैसे, 1/2, 3).
• अव्यक्त संख्याएँ: पुनरावृत्त, अंतहीन दशमलव (जैसे, √2, π).

बुनियादी क्रियाएँ

• जोड़ (+): मात्राओं को जोड़ना.
• घटाव (−): मात्राओं के बीच का अंतर निकालना.
• गुणा (×): संख्या का दोहराया जोड़.
• भाग (÷): किसी मात्रा को समान हिस्सों में विभाजित करना.

बीजगणित

• चर: वे प्रतीक जो संख्याएँ दर्शाते हैं (जैसे, x, y).
• व्यक्तियाँ: संख्याओं और चरों का संयोजन (जैसे, 2x + 3).
• समीकरण: दो व्यक्तियों के बराबर होने का बयान (जैसे, 2x + 3 = 7).
• कार्य: एक संबंध जहाँ प्रत्येक इनपुट के लिए केवल एक आउटपुट है (जैसे, f(x) = x^2).

ज्यामिति

• बिंदु, रेखाएँ, और कोण: ज्यामिति के मूल निर्माण ब्लॉक.
• आकृतियाँ:
  • 2D: वृत्त, त्रिकोण, आयत, बहुभुज.
  • 3D: घन, गोलाकार, सिलेंडर.
• सिद्धांत: आकृतियों से संबंधित नियम (जैसे, पायथागोरस का सिद्धांत).

त्रिकोणमिति

• साइन, कोसाइन, टैन्जेंट: दाएं त्रिकोण में भुजाओं के अनुपात.
• यूनिट सर्कल: एक रुख सर्कल जिसका व्यास एक, जिसका उपयोग त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने में होता है.
• अनुप्रयोग: भौतिकी, अभियांत्रिकी, और वास्तुकला में उपयोग किया जाता है.

कलन

• सीमाएँ: वह मान जिस पर एक कार्य एक बिंदु के निकट पहुँचता है.
• व्युत्पत्तियाँ: यह मापता है कि एक कार्य कैसे बदलता है जब इसका इनपुट बदलता है.
• समाकलन: मात्राओं के संचय का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे कि आकृतियों के नीचे क्षेत्र.

सांख्यिकी

• वर्णनात्मक सांख्यिकी: डेटा को संक्षिप्त और वर्णन करता है (औसत, माध्यिका, बहुलक).
• पूर्वानुमानात्मक सांख्यिकी: नमूना डेटा से निष्कर्ष निकालता है (परिकल्पना परीक्षण).
• संभाव्यता: यादृच्छिकता और अनिश्चितता का अध्ययन (घटनाओं की संभावना की गणना).

गणितीय तर्क

• तर्क: समस्याओं को हल करने के लिए तर्क का उपयोग.
• प्रमाण: गणितीय बयानों की सत्यता प्रदर्शित करने वाले तार्किक तर्क.
• समस्या समाधान रणनीतियाँ: समाधान खोजने के लिए दृष्टिकोण (जैसे, पीछे काम करना, पैटर्न खोजना).

गणितीय अनुप्रयोग

• वित्त: ब्याज की गणना, बजटिंग, और निवेश.
• भौतिकी: गति समीकरण, बल, और ऊर्जा की गणनाएँ.
• अभियांत्रिकी: संरचनाओं और प्रणालियों के डिजाइन, विश्लेषण, और अनुकूलन.