गणित: अंकगणित और बीजगणित

• गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान और अध्ययन है।

अंकगणित

• अंकगणित संख्याओं पर संक्रियाओं से संबंधित है।
• मूल संक्रियाएँ जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं।
• जोड़ दो या दो से अधिक संख्याओं को मिलाकर उनका योग ज्ञात करने की प्रक्रिया है।
• घटाव दो संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करने की प्रक्रिया है।
• गुणा बार-बार जोड़ करने की प्रक्रिया है।
• भाग किसी संख्या को बराबर भागों में विभाजित करने की प्रक्रिया है।
• पूर्णांकों में धनात्मक पूर्ण संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ और शून्य शामिल हैं।
• परिमेय संख्याओं को भिन्न p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है।
• वास्तविक संख्याओं में सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं।
• अपरिमेय संख्याओं को एक साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, √2, π)।
• सम्मिश्र संख्याओं में एक वास्तविक और काल्पनिक भाग होता है, जिसे a+bi के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ i काल्पनिक इकाई है (√-1)।

बीजगणित

• बीजगणित में संख्याओं और मात्राओं को दर्शाने के लिए प्रतीकों और अक्षरों का उपयोग करना शामिल है।
• चर ऐसे प्रतीक हैं जो अज्ञात या परिवर्तनीय मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• व्यंजक चर, संख्याओं और संक्रियाओं के संयोजन होते हैं।
• समीकरण ऐसे कथन हैं कि दो व्यंजक बराबर हैं।
• रैखिक समीकरणों को ax + b = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x एक चर है और a और b स्थिरांक हैं।
• द्विघात समीकरणों को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x एक चर है और a, b और c स्थिरांक हैं।
• बहुपद ऐसे व्यंजक हैं जिनमें चर और गुणांक होते हैं, जिनमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक की संक्रियाएँ शामिल होती हैं।

ज्यामिति

• ज्यामिति बिंदुओं, रेखाओं, सतहों और ठोसों के गुणों और संबंधों से संबंधित है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा दिए गए स्वयंसिद्धों और अभिधारणाओं पर आधारित है।
• बिंदु अंतरिक्ष में स्थान होते हैं।
• रेखाएँ सीधी पथ होती हैं जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती हैं।
• कोण दो किरणों द्वारा एक उभयनिष्ठ अंतिम बिंदु (शीर्ष) साझा करने से बनते हैं।
• त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोणों वाले बहुभुज होते हैं।
• चतुर्भुज चार भुजाओं और चार कोणों वाले बहुभुज होते हैं।
• वृत्त एक केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समुच्चय होते हैं।।
• क्षेत्रफल एक द्वि-आयामी सतह का माप है।
• आयतन एक त्रि-आयामी स्थान का माप है।
• पाइथागोरस प्रमेय में कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज में, a² + b² = c², जहाँ a और b पादों की लंबाई हैं और c कर्ण की लंबाई है।

त्रिकोणमिति

• त्रिकोणमिति त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन है।
• ज्या (sin), कोज्या (cos) और स्पर्शज्या (tan) बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन हैं।
• sin(θ) = लंब / कर्ण
• cos(θ) = आधार / कर्ण
• tan(θ) = लंब / आधार
• कोणों को अक्सर डिग्री या रेडियन में मापा जाता है।
• रेडियन वृत्त की त्रिज्या पर आधारित कोणीय माप की एक इकाई है।
• इकाई वृत्त 1 की त्रिज्या वाला एक वृत्त है, जिसका उपयोग त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

कलन

• कलन निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है।
• अवकल कलन परिवर्तन की दरों और वक्रों के ढलानों से संबंधित है।
• समाकल कलन मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे और बीच के क्षेत्रफलों से संबंधित है।
• अवकलज किसी फलन की तात्क्षणिक परिवर्तन दर को मापता है।
• समाकल अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है और इसका उपयोग वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
• सीमाएँ किसी फलन के व्यवहार का वर्णन करती हैं क्योंकि इनपुट एक निश्चित मान के निकट आता है।
• अनुक्रम संख्याओं की क्रमित सूची होते हैं।
• श्रेणी एक अनुक्रम में पदों का योग होती है।

सांख्यिकी और प्रायिकता

• सांख्यिकी डेटा को एकत्र करने, विश्लेषण करने और व्याख्या करने का विज्ञान है।
• प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
• माध्य संख्याओं के एक समुच्चय का औसत है।
• माध्यिका संख्याओं के एक समुच्चय में मध्य मान है।
• बहुलक संख्याओं के एक समुच्चय में सबसे अधिक बार दिखाई देने वाला मान है।
• विचरण माध्य के चारों ओर डेटा बिंदुओं के प्रसार को मापता है।
• मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।
• वितरण किसी जनसंख्या में विभिन्न परिणामों की प्रायिकता का वर्णन करते हैं।
• सामान्य वितरण एक सामान्य घंटी के आकार का वितरण होता है।

असतत गणित

• असतत गणित गणितीय संरचनाओं से संबंधित है जो मूल रूप से निरंतर के बजाय असतत हैं।
• तर्क तर्क और वाद-विवाद का अध्ययन है।
• समुच्चय सिद्धांत वस्तुओं के संग्रह से संबंधित है।
• संबंध समुच्चयों के तत्वों के बीच संबंधों का वर्णन करते हैं।
• फलन समुच्चयों के बीच मानचित्रण हैं।
• ग्राफ सिद्धांत ग्राफ का अध्ययन करता है, जो वस्तुओं के बीच युग्मवार संबंधों को मॉडल करने के लिए उपयोग की जाने वाली संरचनाएं हैं।
• कॉम्बिनेटरिक्स वस्तुओं की गिनती और व्यवस्था से संबंधित है।

संख्यात्मक विश्लेषण

• संख्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम का अध्ययन है।
• इसमें उन समस्याओं के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए तरीकों को डिजाइन करना शामिल है जिनके लिए सटीक समाधान प्राप्त करना मुश्किल या असंभव है।
• मूल खोजने वाले एल्गोरिदम का उपयोग समीकरणों के समाधान खोजने के लिए किया जाता है।
• इंटरपोलेशन एक फलन खोजने की प्रक्रिया है जो डेटा बिंदुओं के दिए गए समुच्चय से होकर गुजरता है।
• संख्यात्मक समाकलन एक निश्चित समाकल के मान का अनुमान लगाने की एक तकनीक है।

टोपोलॉजी

• टोपोलॉजी ज्यामितीय वस्तुओं के गुणों से संबंधित है जो निरंतर विरूपण के तहत संरक्षित होते हैं, जैसे कि खिंचाव, घुमाव, सिकुड़न और झुकना, लेकिन चीरना या चिपकाना नहीं।
• यह कनेक्टिविटी, निरंतरता और सीमा जैसे गुणों का अध्ययन करता है।

गणितीय तर्क

• गणितीय तर्क गणित में औपचारिक तर्क के अनुप्रयोगों की पड़ताल करता है।
• प्रमाण सिद्धांत गणितीय तर्क की एक शाखा है जो प्रमाणों को गणितीय वस्तुओं के रूप में दर्शाती है, जिससे गणितीय तकनीकों द्वारा उनका विश्लेषण सुविधाजनक होता है।
• मॉडल सिद्धांत गणितीय तर्क की एक शाखा है जो औपचारिक भाषाओं और उनके व्याख्याओं (या "मॉडल") के बीच संबंध से संबंधित है।
• समुच्चय सिद्धांत गणितीय तर्क की एक शाखा है जो समुच्चयों का अध्ययन करती है, जो वस्तुओं के संग्रह हैं।

संख्या सिद्धांत

• संख्या सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो मुख्य रूप से पूर्णांकों के अध्ययन के लिए समर्पित है।
• अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी वे संख्याएँ हैं जिनका 1 और स्वयं के अलावा कोई धनात्मक भाजक नहीं होता है।
• मॉड्यूलर अंकगणित पूर्णांकों के लिए अंकगणित की एक प्रणाली है, जहाँ संख्याएँ एक निश्चित मान (मॉड्यूलस) तक पहुँचने पर "चारों ओर घूमती" हैं।
• क्रिप्टोग्राफी डेटा ट्रांसमिशन और स्टोरेज के लिए सुरक्षित एन्क्रिप्शन विधियाँ बनाने के लिए संख्या सिद्धांत लागू करती है।

गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान है। अंकगणित संख्याओं पर संचालन से संबंधित है, जबकि बीजगणित संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करता है। इसमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग शामिल हैं।