गणित: अंकगणित और बीजगणित

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• गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान और अध्ययन है।
• गणितज्ञ पैटर्न की तलाश करते हैं, नए अनुमान बनाते हैं, और उचित रूप से चुने गए स्वयंसिद्धों और परिभाषाओं से कठोर कटौती द्वारा सच्चाई स्थापित करते हैं।

अंकगणित

• अंकगणित में संख्याओं का अध्ययन शामिल है, विशेष रूप से उनके बीच पारंपरिक कार्यों के गुण—जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
• वस्तुओं का कोई भी समूह जिस पर ये सभी अंकगणितीय संचालन किए जा सकते हैं, एक क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।

बीजगणित

• बीजगणित गणित की एक शाखा है जो अंकगणित को सामान्यीकृत करती है, सूत्रों और समीकरणों में संख्याओं या अन्य गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों या अन्य प्रतीकों का उपयोग करती है।
• प्रारंभिक बीजगणित प्रतीकात्मक चर का उपयोग करके बीजगणितीय समीकरणों को हल करने से संबंधित है।
• सार बीजगणित में, समूहों, वलयों और क्षेत्रों जैसी बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन किया जाता है।

ज्यामिति

• ज्यामिति बिंदुओं, रेखाओं, सतहों, ठोसों और उच्च आयामी एनालॉग के गुणों और संबंधों से संबंधित है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा नियोजित स्वयंसिद्धों और प्रमेयों के आधार पर समतल और ठोस आंकड़ों का अध्ययन है।
• विश्लेषणात्मक ज्यामिति ज्यामितीय प्रश्नों पर बीजगणितीय विधियों को लागू करती है, आमतौर पर ज्यामितीय वस्तुओं को समीकरणों के रूप में दर्शाती है।
• अंतर ज्यामिति वक्रों और सतहों के गुणों का अध्ययन करने के लिए कलन का उपयोग करती है।
• टोपोलॉजी आंकड़ों के उन गुणों से संबंधित है जो निरंतर विरूपण (जैसे खींचना या झुकना) के तहत अपरिवर्तित रहते हैं।

कलन

• कलन गणित की एक शाखा है जो निरंतर परिवर्तन से संबंधित है।
• इसकी दो प्रमुख शाखाएँ हैं, अवकल कलन और समाकल कलन
• अवकल कलन तात्कालिक परिवर्तन की दरों और वक्रों के ढलानों से संबंधित है।
• समाकल कलन मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे या बीच के क्षेत्रों से संबंधित है।

त्रिकोणमिति

• त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों के किनारों और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है
• त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, टैंजेंट, कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट) का उपयोग इन संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
• त्रिकोणमिति गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों के लिए मौलिक है।

सांख्यिकी और संभाव्यता

• सांख्यिकी डेटा के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुति और संगठन का अध्ययन है।
• संभाव्यता एक घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
• सांख्यिकी और संभाव्यता का उपयोग यादृच्छिक घटनाओं को मॉडल करने और डेटा से अनुमान निकालने के लिए किया जाता है।

असतत गणित

• असतत गणित गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जो निरंतर के बजाय असतत हैं।
• इसमें तर्क, समुच्चय सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत, क्रमपरिवर्तन और संख्या सिद्धांत जैसे विषय शामिल हैं।
• असतत गणित कंप्यूटर विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों के लिए आवश्यक है।

संख्यात्मक विश्लेषण

• संख्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम का अध्ययन है।
• इसमें उन समस्याओं के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए विधियों को डिजाइन करना शामिल है जहां सटीक समाधान प्राप्त करना मुश्किल या असंभव है।
• अनुप्रयोगों में वैज्ञानिक कंप्यूटिंग, इंजीनियरिंग और वित्त शामिल हैं।

गणितीय तर्क

• गणितीय तर्क गणित में औपचारिक तर्क के अनुप्रयोगों की पड़ताल करता है।
• यह मेटागणित से निकटता से संबंधित है, गणितीय विधियों का उपयोग करके स्वयं गणित की जांच।
• प्रमुख उपक्षेत्रों में मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, समुच्चय सिद्धांत और पुनरावर्तन सिद्धांत शामिल हैं।

समुच्चय सिद्धांत

• समुच्चय सिद्धांत गणितीय तर्क की एक शाखा है जो समुच्चयों का अध्ययन करती है, जो वस्तुओं के संग्रह हैं।
• यह लगभग सभी गणित के लिए एक आधार प्रदान करता है।
• कार्डिनैलिटी, संबंधों और कार्यों जैसी अवधारणाओं को समुच्चय सिद्धांत के भीतर औपचारिक रूप दिया गया है।

संख्या सिद्धांत

• संख्या सिद्धांत शुद्ध गणित की एक शाखा है जो मुख्य रूप से पूर्णांकों और पूर्णांक-मूल्यवान कार्यों के अध्ययन के लिए समर्पित है।
• विषयों में अभाज्य संख्याएँ, विभाज्यता, मॉड्यूलर अंकगणित और डायोफैंटाइन समीकरण शामिल हैं।
• संख्या सिद्धांत के अनुप्रयोगों में क्रिप्टोग्राफी, कंप्यूटर विज्ञान और भौतिकी शामिल हैं।

क्रमपरिवर्तन

• क्रमपरिवर्तन गणित की एक शाखा है जो परिमित या गणनीय असतत संरचनाओं के अध्ययन से संबंधित है।
• यह वस्तुओं की गिनती, व्यवस्था और संयोजन से संबंधित है।
• क्रमपरिवर्तन विधियों का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान, संभाव्यता और अनुकूलन में किया जाता है।

ग्राफ सिद्धांत

• ग्राफ सिद्धांत ग्राफ का अध्ययन है, जो गणितीय संरचनाएं हैं जिनका उपयोग वस्तुओं के बीच युग्मवार संबंधों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
• एक ग्राफ में शीर्ष (नोड) और किनारे होते हैं जो इन शीर्षों को जोड़ते हैं।
• ग्राफ सिद्धांत के अनुप्रयोगों में नेटवर्क विश्लेषण, कंप्यूटर विज्ञान, संचालन अनुसंधान और सामाजिक विज्ञान शामिल हैं।

खेल सिद्धांत

• खेल सिद्धांत तर्कसंगत निर्णय लेने वालों के बीच रणनीतिक संपर्क का विश्लेषण करने के लिए एक गणितीय ढांचा है।
• यह उन स्थितियों का अध्ययन करता है जहां खिलाड़ी की पसंद का परिणाम अन्य खिलाड़ियों की पसंद पर निर्भर करता है।
• खेल सिद्धांत के अनुप्रयोगों में अर्थशास्त्र, राजनीति विज्ञान, मनोविज्ञान और कंप्यूटर विज्ञान शामिल हैं।

रैखिक बीजगणित

• रैखिक बीजगणित गणित की एक शाखा है जो रैखिक समीकरणों और रैखिक परिवर्तनों से संबंधित है।
• यह सदिश स्थानों, मैट्रिक्स और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन करता है।
• रैखिक बीजगणित गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर विज्ञान के कई क्षेत्रों के लिए मौलिक है।

सूचना सिद्धांत

• सूचना सिद्धांत अनुप्रयुक्त गणित की एक शाखा है जो सूचना को परिमाणित करती है।
• यह एन्ट्रॉपी, डेटा संपीड़न और चैनल क्षमता जैसी अवधारणाओं से संबंधित है।
• सूचना सिद्धांत के अनुप्रयोगों में संचार प्रणाली, क्रिप्टोग्राफी और मशीन लर्निंग शामिल हैं।

अराजकता सिद्धांत

• अराजकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो गतिशील प्रणालियों से संबंधित है जो प्रारंभिक स्थितियों के प्रति अत्यधिक संवेदनशील हैं।
• ये सिस्टम अप्रत्याशित व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, भले ही वे नियतात्मक हों।
• अराजकता सिद्धांत के अनुप्रयोगों में भौतिकी, मौसम विज्ञान, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र शामिल हैं।