गणित: अंकगणित और बीजगणित

ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। यहाँ दिए गए पाठ के अनुसार अपडेट किए गए अध्ययन नोट्स हैं:

• गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान और अध्ययन है।
• यह नए अनुमानों को तैयार करने और गणितीय प्रमाण द्वारा सत्य या असत्य को हल करने के लिए पैटर्न का उपयोग करता है।
• गणित का उपयोग दुनिया भर में कई क्षेत्रों में एक आवश्यक उपकरण के रूप में किया जाता है, जिसमें प्राकृतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त और सामाजिक विज्ञान शामिल हैं।

अंकगणित

• अंकगणित में संख्याओं का अध्ययन शामिल है, विशेष रूप से उनके बीच पारंपरिक संक्रियाओं के गुण-धर्म—जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
• वस्तुओं का कोई भी समूह जिस पर इन सभी संक्रियाओं को मानक अंकगणितीय नियमों के अनुसार किया जा सकता है, उसे क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।
• अंकगणितीय संक्रियाओं का उपयोग लगभग सभी लोग करते हैं, जो चेकबुक को संतुलित करने से लेकर व्यावसायिक लेखांकन करने तक के कार्यों के लिए होता है।

बीजगणित

• बीजगणित गणित की एक शाखा है जो प्रतीकों और उन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों से संबंधित है।
• यह लगभग पूरे गणित का एक एकीकृत सूत्र है।
• प्राथमिक बीजगणित स्पष्ट रूप से परिभाषित चरों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने से संबंधित है।
• अमूर्त बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूह, वलय और क्षेत्र का अध्ययन है।

ज्यामिति

• ज्यामिति आकार, आकार, आकृतियों की सापेक्ष स्थिति और अंतरिक्ष के गुणों से संबंधित है।
• यह कई शुरुआती संस्कृतियों में लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन से निपटने के लिए एक व्यावहारिक तरीके के रूप में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई।
• ज्यामिति को यूक्लिडियन ज्यामिति (बिंदु, रेखा, कोण, सतह और ठोस जैसी अवधारणाओं का उपयोग करके) और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में विभाजित किया जा सकता है।

त्रिकोणमिति

• त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों की भुजा की लंबाई और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
• त्रिकोणमिति त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करती है, जो उन संबंधों का वर्णन करते हैं और चक्रीय घटनाओं पर लागू होते हैं।
• त्रिकोणमिति विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों और उनकी भुजाओं के बीच संबंधों से संबंधित है।

कलन

• कलन एक गणितीय अनुशासन है जो निरंतर परिवर्तन के अध्ययन से संबंधित है।
• इसकी दो प्रमुख शाखाएँ हैं, अवकल कलन (परिवर्तन की दर और वक्रों के ढलान से संबंधित) और समाकल कलन (मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे और बीच के क्षेत्रों से संबंधित)।
• कलन का उपयोग स्पर्श रेखाओं और चरम मूल्यों के समीकरणों को खोजने के लिए किया जाता है, इसके अतिरिक्त क्षेत्रों, आयतनों और चाप की लंबाई की गणना की जाती है।
• बहुभिन्न कलन एकल चर कलन की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों तक विस्तारित करता है।

तर्क

• गणितीय तर्क गणित में औपचारिक तर्क के अनुप्रयोगों की पड़ताल करता है।
• यह मेटा-गणित से निकटता से जुड़ा हुआ है, गणितीय विधियों का उपयोग करके स्वयं गणित की जांच।
• इसे अक्सर समुच्चय सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत, पुनरावर्तन सिद्धांत और प्रमाण सिद्धांत के क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है।

सांख्यिकी और संभाव्यता

• सांख्यिकी डेटा के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुति और संगठन का अध्ययन है।
• यह डेटा के सभी पहलुओं से संबंधित है, जिसमें सर्वेक्षणों और प्रयोगों के डिजाइन के संदर्भ में इसके संग्रह की योजना भी शामिल है।
• प्रायिकता इस बात की संभावना का माप है कि कोई घटना घटित होगी।
• प्रायिकता 0 और 1 के बीच एक संख्या के रूप में मान देती है, जहां, मोटे तौर पर, 0 असंभवता और 1 निश्चितता को इंगित करता है।

असतत गणित

• असतत गणित गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जो मौलिक रूप से असतत हैं, निरंतर नहीं।
• असतत गणित में अध्ययन की जाने वाली वस्तुओं में पूर्णांक, ग्राफ और तर्क में कथन शामिल हैं।
• यह कंप्यूटर विज्ञान के साथ ओवरलैप होता है जिसमें असतत गणित में कंप्यूटर और सूचना विज्ञान की सैद्धांतिक नींव शामिल है।

संख्यात्मक विश्लेषण

• संख्यात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के लिए संख्यात्मक सन्निकटन का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम का अध्ययन है।
• संख्यात्मक विश्लेषण स्वाभाविक रूप से इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में अनुप्रयोग पाता है।
• संख्यात्मक विश्लेषण में एल्गोरिदम का विकास और विश्लेषण, अभिसरण प्रमाण और त्रुटि विश्लेषण जैसे कई पहलू शामिल हैं।

टोपोलॉजी

• टोपोलॉजी एक ज्यामितीय वस्तु के गुणों से संबंधित है जो निरंतर विकृतियों, जैसे कि खींचना, घुमाना, कुचलना और मोड़ना के तहत संरक्षित होते हैं।
• यह उन गुणों से संबंधित है जो वस्तुओं के जुड़ने के तरीके पर निर्भर करते हैं।
• टोपोलॉजी में कई उप-क्षेत्र शामिल हैं जैसे कि पॉइंट सेट टोपोलॉजी, बीजगणितीय टोपोलॉजी और विभेदक टोपोलॉजी।

गणित मात्रा, संरचना, स्थान और परिवर्तन का विज्ञान है। अंकगणित संख्याओं और उनकी संक्रियाओं का अध्ययन करता है। बीजगणित प्रतीकों और उनके हेरफेर से संबंधित है, जो गणित को एकीकृत करता है।