गणित: अंकगणित और बीजगणित

ज़रूर, यहां अपडेटेड स्टडी नोट्स हैं:

• गणित संख्या, मात्रा और स्थान का अमूर्त विज्ञान है।
• गणित का अध्ययन अपने आप में किया जा सकता है (शुद्ध गणित), या इसे भौतिकी और इंजीनियरिंग (अनुप्रयुक्त गणित) जैसे अन्य विषयों पर लागू किया जा सकता है।

अंकगणित

• अंकगणित में जोड़, घटाव, गुणा और भाग के मूलभूत कार्य शामिल हैं।
• ये ऑपरेशन संख्याओं पर किए जाते हैं, जो पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक, परिमेय संख्याएं या वास्तविक संख्याएं हो सकती हैं।
• संचालन का क्रम, जिसे अक्सर PEMDAS/BODMAS के संक्षिप्त रूप से याद किया जाता है, उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें संचालन किया जाना चाहिए: कोष्ठक/ब्रैकेट, घातांक/क्रम, गुणा और भाग (बाएं से दाएं), जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं)।

बीजगणित

• बीजगणित सूत्रों और समीकरणों में संख्याओं और मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों या प्रतीकों का उपयोग करके अंकगणित का विस्तार करता है।
• मुख्य अवधारणाओं में चर, स्थिरांक, गुणांक, व्यंजक और समीकरण शामिल हैं।
• समीकरणों को हल करने में चर के मान (ओं) को खोजना शामिल है जो समीकरण को सही बनाते हैं।
• रैखिक समीकरणों को समीकरण के एक तरफ चर को अलग करके हल किया जा सकता है।
• द्विघात समीकरणों को गुणनखंडन, वर्ग को पूरा करके या द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
• समीकरणों की प्रणालियों में समान चरों वाले दो या दो से अधिक समीकरण शामिल होते हैं, और समाधान मूल्यों का वह सेट है जो सभी समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है।

ज्यामिति

• ज्यामिति बिंदुओं, रेखाओं, सतहों, ठोस पदार्थों और उच्च आयामी एनालॉग के गुणों और संबंधों से संबंधित है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति स्वयंसिद्धों और अभिधारणाओं पर आधारित है, जिसमें समानांतर अभिधारणा भी शामिल है।
• मुख्य अवधारणाओं में बिंदु, रेखाएँ, कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त और अन्य बहुभुज शामिल हैं।
• पायथागॉरियन प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को संबंधित करता है: a² + b² = c², जहाँ c कर्ण है।
• ज्यामिति में क्षेत्रफल और आयतन की गणना महत्वपूर्ण है।
• त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों से संबंधित है।

कलन

• कलन निरंतर परिवर्तन का अध्ययन है, और इसे दो प्रमुख शाखाओं में विभाजित किया गया है: विभेदक कलन और अभिन्न कलन।
• अवकल कलन परिवर्तन की दरों और वक्रों की ढलानों से संबंधित है।
• मुख्य अवधारणाओं में सीमाएं, व्युत्पन्न और विभेदन शामिल हैं।
• अभिन्न कलन मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे और बीच के क्षेत्रों से संबंधित है।
• मुख्य अवधारणाओं में इंटीग्रल, एंटीडेरिवेटिव और इंटीग्रेशन शामिल हैं।
• कलन की मौलिक प्रमेय विभेदन और एकीकरण को जोड़ती है, यह दर्शाता है कि वे व्युत्क्रम प्रक्रियाएं हैं।

सांख्यिकी और प्रायिकता

• सांख्यिकी डेटा एकत्र करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने और प्रस्तुत करने का विज्ञान है।
• मुख्य अवधारणाओं में वर्णनात्मक सांख्यिकी (माध्य, माध्यिका, बहुलक, मानक विचलन) और अनुमानित सांख्यिकी (परिकल्पना परीक्षण, आत्मविश्वास अंतराल) शामिल हैं।
• प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
• मुख्य अवधारणाओं में प्रायिकता वितरण, यादृच्छिक चर और अपेक्षित मान शामिल हैं।
• कॉम्बिनेटरिक्स में वस्तुओं को व्यवस्थित या चुनने के तरीकों की संख्या की गणना करना शामिल है।

असतत गणित

• असतत गणित गणितीय संरचनाओं से संबंधित है जो मूल रूप से निरंतर के बजाय असतत हैं।
• विषयों में तर्क, सेट सिद्धांत, संबंध, कार्य, ग्राफ सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स शामिल हैं।
• तर्क में तर्क और तर्क का अध्ययन शामिल है, जिसमें प्रस्तावक तर्क और विधेय तर्क शामिल हैं।
• सेट सिद्धांत वस्तुओं और उनके गुणों के संग्रह से संबंधित है।
• ग्राफ सिद्धांत नोड्स और किनारों के नेटवर्क का अध्ययन करता है।

संख्या सिद्धांत

• संख्या सिद्धांत शुद्ध गणित की एक शाखा है जो मुख्य रूप से पूर्णांकों के अध्ययन के लिए समर्पित है।
• मुख्य अवधारणाओं में अभाज्य संख्याएँ, विभाज्यता, सर्वांगसमताएँ और डायोफैंटाइन समीकरण शामिल हैं।
• अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी पूर्णांक होती हैं जिनके केवल दो भाजक होते हैं: 1 और स्वयं।
• अंकगणित की मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अनुप्रयुक्त गणित

• अनुप्रयुक्त गणित में भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और वित्त जैसे विभिन्न क्षेत्रों में वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए गणितीय विधियों का अनुप्रयोग शामिल है।
• संख्यात्मक विश्लेषण में गणितीय समस्याओं के समाधान के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम का विकास और विश्लेषण शामिल है।
• अनुकूलन में कुछ बाधाओं के अधीन, किसी समस्या का सबसे अच्छा समाधान खोजना शामिल है।
• गणितीय मॉडलिंग में वास्तविक दुनिया की प्रणालियों का विश्लेषण करने और उनके व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए गणितीय प्रतिनिधित्व बनाना शामिल है।

महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाएँ

• फलन: इनपुट के एक सेट और अनुमेय आउटपुट के एक सेट के बीच एक संबंध जिसमें प्रत्येक इनपुट ठीक एक आउटपुट से संबंधित होता है।
• सीमाएँ: वह मान जो एक फलन "निकट" होता है क्योंकि इनपुट कुछ मान "निकट" होता है।
• व्युत्पन्न: एक फलन के तात्कालिक परिवर्तन की दर को मापता है।
• इंटीग्रल: वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और विभेदन का विपरीत संचालन है।
• क्रम और श्रृंखला: क्रम संख्याओं की व्यवस्थित सूची है, जबकि श्रृंखला क्रम में पदों का योग है।
• सदिश और मैट्रिक्स: सदिश परिमाण और दिशा दोनों वाली मात्राएँ हैं, जबकि मैट्रिक्स संख्याओं की आयताकार सरणियाँ हैं।

गणितीय संकेतन

• प्रतीक: गणितीय संकेतन संचालन, चर और स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों पर बहुत अधिक निर्भर करता है।
• समीकरण: एक समीकरण एक ऐसा कथन है जो दो व्यंजकों की समानता पर जोर देता है।
• असमानताएँ: असमानताओं का उपयोग उन मानों की तुलना करने के लिए किया जाता है जो आवश्यक रूप से बराबर नहीं होते हैं।
• सूचकांक और सुपरस्क्रिप्ट: सूचकांक और सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग शक्तियों, मूलों और अन्य गणितीय कार्यों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

गणितीय प्रमाण

• प्रत्यक्ष प्रमाण: एक प्रत्यक्ष प्रमाण ज्ञात तथ्यों से शुरू होता है और वांछित निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए तार्किक चरणों का उपयोग करता है।
• अप्रत्यक्ष प्रमाण: एक अप्रत्यक्ष प्रमाण, जिसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण के रूप में भी जाना जाता है, यह मानता है कि जिसे सिद्ध किया जाना है उसका विपरीत और दिखाता है कि यह धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है।
• प्रेरण द्वारा प्रमाण: प्रेरण द्वारा प्रमाण का उपयोग उन कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है जो सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य होते हैं।

गणितीय उपकरण

• कैलकुलेटर: कैलकुलेटर अंकगणितीय संचालन करने, कार्यों का मूल्यांकन करने और समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक उपकरण हैं।
• कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली: कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (CAS) सॉफ्टवेयर प्रोग्राम हैं जो प्रतीकात्मक गणना कर सकते हैं और गणितीय समस्या समाधान में सहायता कर सकते हैं।
• ग्राफ़िंग सॉफ़्टवेयर: ग्राफ़िंग सॉफ़्टवेयर उपयोगकर्ताओं को गणितीय कार्यों और डेटा को देखने की अनुमति देता है।

समस्या-समाधान रणनीतियाँ

• समस्या को समझें: समस्या को ध्यान से पढ़ें और पहचानें कि क्या पूछा जा रहा है।
• एक योजना विकसित करें: समस्या को हल करने के लिए एक उपयुक्त रणनीति चुनें।
• योजना को पूरा करें: योजना के चरणों को ध्यान से निष्पादित करें।
• समाधान की समीक्षा करें: यह सुनिश्चित करने के लिए समाधान की जाँच करें कि यह सही है और समस्या के संदर्भ में समझ में आता है।