Fundamentos de Aritmética y Enseñanza de Matemáticas

Sesión 1: Fundamentos de la Aritmética y la Enseñanza de las Matemáticas

• Conocer la aritmética elemental es fundamental.
• Es crucial entender cómo y por qué se realizan los procedimientos matemáticos.
• Entender el funcionamiento de los procedimientos ayuda a prepararse para situaciones imprevistas.

Principios Clave en la Enseñanza de las Matemáticas

• Equidad: Adaptar las expectativas y el apoyo a cada estudiante según su nivel y necesidades.
• Currículo: Implementar un currículo coherente y apropiado para el nivel del alumnado.
• Enseñanza: Debe ser efectiva, facilitando el aprendizaje de las matemáticas mediante diversos métodos y estrategias.
• Aprendizaje: Se centra en la comprensión y aplicación, no solo en la memorización.
• Evaluación: Debe apoyar el aprendizaje y determinar la idoneidad del alumno, guiando y reorientando el proceso.
• Tecnología: Utilizar recursos tecnológicos para estimular y fomentar el aprendizaje.

Concepciones Constructivistas de las Matemáticas

• Debe existir una relación estrecha entre las matemáticas y sus aplicaciones.
• Es importante mostrar la necesidad de cada componente matemático.
• Es natural que los estudiantes encuentren dificultades y cometan errores.

Concepciones Idealistas-Platónicas de las Matemáticas

• Inicialmente, se deben adquirir estructuras fundamentales de forma axiomática.
• Se distinguen dos disciplinas: matemática pura y aplicada.
• Las aplicaciones son secundarias y no deben ser la prioridad.

Origen y Evolución de las Matemáticas

• Las matemáticas surgen como un conjunto de conocimientos en evolución continua, impulsado por la necesidad de resolver problemas prácticos.

Evolución de la Estadística

• Se origina en la recolección de datos sobre población, bienes y producción desde el año 1000 a.C. en civilizaciones como China, Egipto y Sumeria.
• Los censos se institucionalizaron en Roma en el siglo IV a.C.
• En el siglo XVII, la aritmética política emerge como ciencia.
• Achenwall enfocó su trabajo en la recolección y análisis de datos para la estimación.

Evolución de Otras Ramas Matemáticas

• La geometría se origina en la necesidad de resolver problemas de agricultura y arquitectura.
• Los sistemas de numeración evolucionan para facilitar los cálculos.
• La teoría de la probabilidad se desarrolla a partir de problemas planteados por juegos de azar.

Evolución de Conceptos Matemáticos

• Incluye el cálculo de probabilidades, logaritmos y funciones circulares.

Rasgos Clave de las Matemáticas

• Modelización y resolución de problemas.
• Razonamiento matemático.
• Lenguaje y comunicación.
• Estructura interna.
• Naturaleza relacional.
• Exactitud y aproximación.

Sesión 2: Números Naturales y Sistemas de Numeración

Los Números Naturales

• Representados por el conjunto N.
• La historia demuestra la importancia de los sistemas de numeración para representar los números.
• Existen tres tipos: aditivos, aditivo-multiplicativos, y multiplicativos.

Sistemas Aditivos

• Presentan problemas con números grandes.
• Mesopotamia: Utilizaba muescas.
• Babilonia: Cada número hasta el 60 tenía un símbolo (sistema sexagesimal), cambiando la representación a partir de ese número.
• Egipto y Grecia también usaron sistemas aditivos.

Sistemas Aditivo-Multiplicativos

• Se usaron para evitar repeticiones excesivas.
• China: El símbolo a la izquierda indica cuántos grupos de cierta cantidad hay.

Sistemas Multiplicativos

• Son una idea revolucionaria.
• Convención: Los números se escriben en el mismo orden, unidades a la derecha.
• Origen: Sistema hindú (multiplicativo y decimal, con grupos de 10 y potencias de base 10).
• Llegó a Europa con los árabes; Al-Jwarizmi y Fibonacci introdujeron esta notación.
• La invención del cero permitió separar cifras y llenar huecos.

Sistemas de Base b

• El sistema decimal (base 10) es común debido a los diez dedos.
• Se utilizan 10 símbolos: 0 al 9.
• Los grupos pueden ser de 8 o cualquier otra base.
• Es importante saber cómo leer y verbalizar los números en diferentes bases.

Importancia Actual de la Aritmética

• No es solo un fin, sino una habilidad importante.
• Ser competente en aritmética básica facilita entender el sentido numérico y lo que se está haciendo.
• La comprensión de procedimientos y el pensamiento computacional se basan en la aritmética.

Didáctica de Suma y Resta: Desarrollo Cognitivo y Progresión en el Aprendizaje

Etapas en el Aprendizaje de Suma y Resta

• Conocimientos previos necesarios.
• Inicios en primaria.
• Errores en la ejecución de algoritmos.

Organización del Conocimiento de Suma y Resta

• Hechos numéricos básicos.
• Técnicas orales y escritas.
• Propiedades importantes.
• Situaciones de uso.
• El conocimiento de los hechos numéricos básicos (propiedades asociativa y otras) posibilita crear técnicas de cálculo formales independientes de las situaciones.

Desarrollo de Técnicas de Recuento Abreviado

• Implica resolver situaciones aditivas.
• Los niños comprenden el significado de la suma y la resta mediante el recuento repetido.
• Se logra sumar o restar sin contar necesariamente.

Ejemplo de Proceso de Recuento

• Al constatar que tres objetos más dos objetos suman cinco, se hace posible decir "tres más dos son cinco" sin necesidad de recuento.

Fases del Recuento a Tablas de Suma

• Recuento de todos los elementos.
• Recuento enfatizando el primer sumando.
• Recuento enfatizando el sumando mayor.
• Recuento a partir del sumando mayor.

Estrategias para la Resta

• Recuento de lo que queda.
• Recuento hacia atrás.
• Recuento de la diferencia.
• Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo.

Errores en la Ejecución de Algoritmos de Suma y Resta

• Colocación incorrecta de los números.
• Orden incorrecto.
• Errores en hechos numéricos básicos.
• Restar la cifra menor de la mayor.
• Colocación incorrecta del cero.
• Olvido de la llevada.
• Escritura incompleta del resultado.

Sesión 4: Desarrollo Cognitivo y Progresión en el Aprendizaje de Sistemas Numéricos

• Sentido numérico y su desarrollo.
• Aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas.
• Aprendizaje del recuento y del significado cardinal y ordinal de los números.
• Aprendizaje del orden numérico.
• Aprendizaje del sistema escrito de numeración.
• Conocimientos previos al valor posicional de las cifras.

Sentido Numérico y su Desarrollo

• El objetivo en infantil y primaria es desarrollar "sentido numérico", es decir, una buena intuición sobre los números y sus relaciones.
• El sentido numérico se desarrolla gradualmente explorando y usando los números en diversos contextos, superando el aprendizaje limitado de algoritmos.
• Requiere un aprendizaje complejo y no automático, que involucra ideas, relaciones y destrezas.
• El sentido numérico incluye el origen en el conteo, ordenamiento de colecciones, uso de instrumentos, operaciones para resolver problemas y la estructura lógica del sistema.

Aprendizaje de la Sucesión de Palabras Numéricas

• Los números naturales responden a “¿cuántos hay?” (cardinales) y “¿qué lugar ocupa?” (ordinales).
• Aprender cardinales y ordinales exige memorizar tramos de la sucesión numérica.

Habilidades Necesarias

• Memorizar tramos de la sucesión.
• Recitar cualquier tramo.
• Identificar números anterior y posterior.
• Desarrollar técnicas orales de suma y resta.

Métodos para Memorizar Sucesión

• Recitado.
• Recuento:
  • Siempre comenzando desde 1, no permite tramos altos.
  • Dificultades en cambios de decena, centena, millar.

Dominios en el Recitado de Palabras Numéricas

• Nivel cuerda: Recitar por evocación sin separar palabras.
• Nivel cadena irrompible: Recitar solo desde el 1, diferenciando palabras.
• Nivel cadena rompible: Comenzar a recitar desde cualquier número.
• Nivel cadena numerable: Contar un número determinado de palabras desde cualquier número.
• Nivel cadena bidireccional: Máximo dominio, recitando hacia adelante o atrás igual de rápido. Importante:
  • Los niveles son una progresión en el aprendizaje.
  • No todos pasan por todos los niveles.
  • Un mismo niño puede tener diferentes niveles para distintos tramos numéricos.

Aprendizaje del Recuento y Significado del Número (Cardinal y Ordinal)

Estados del Conocimiento sobre el Significado del Número

• Percepción temprana de cardinales (2-4 años):
  • Reconocer cardinales hasta 4 sin contar.
  • No nombrar correctamente cardinales mayores, pues requiere contar.
• Percepción prioritaria de ordinales (3-5 años):
  • Asumir principios básicos:
    • Orden estable (palabras numéricas siempre en el mismo orden).
    • Correspondencia uno a uno (cada objeto recibe una palabra numérica).
  • No entender la equivalencia entre ordinal y cardinal ("¿cuántos hay?" implica enumeración).
• Percepción prioritaria de cardinales (4-7 años):
  • Asumir el principio de cardinalidad (última palabra del recuento indica el cardinal del conjunto).
  • Regresión respecto a ordinales, con dificultades para obtenerlos.
• Una buena concepción implica entender cada palabra como ordinal y cardinal a la vez.

Errores en la Técnica de Contar

• Errores de recitado: secuencia numérica incorrecta.
• Errores de coordinación: falta de coordinación entre palabra y señalamiento.
• Errores de partición: dificultad para distinguir lo contado de lo que falta por contar.

Aprendizaje del Orden Numérico

• Construido alrededor de situaciones de comparación.
• Entre ordinales para determinar precedencia.
• Entre cardinales para identificar conjuntos con elementos sobrantes o faltantes al construir parejas.
• Idea de que conjuntos con el mismo cardinal pueden emparejarse sin elementos sobrantes.

El Orden Numérico

• Tanto el ordinal como el cardinal se asumen pronto.
• En ordinales, depende de la memorización de la secuencia numérica.
• Saber las reglas de formación de palabras numéricas y escribir el número es clave.
• Reglas formales del orden numérico:
  • Un número es menor si tiene menos cifras.
  • Si tienen el mismo número de cifras, es menor el que tiene menor la cifra de orden superior.
  • Si coinciden las cifras de orden superior, se examinan las siguientes hasta encontrar una diferencia.
• Muy pronto:
  • Capacidad de percibir cantidades globalmente.
  • Dificultad al ordenar cardinales de conjuntos mediante emparejamiento o recuento.

Experiencia de la Conservación del Número de Jean Piaget

• Algunos niños no saben colocar igual número de fichas que de velas (desconocen emparejamiento/conteo).
• Otros pueden, pero modifican una fila si ven más fichas visualmente (conocen emparejamiento para comparar pero se dejan llevar por lo visual).
• Finalmente, algunos mantienen la igualdad a pesar de la modificación espacial (usan correspondencia uno a uno).

Consideraciones

• Es necesario esperar a los siete años para aceptar la conservación del número.
• Ordenar dos números es diferente de ordenar tres o más.

Aprendizaje del Sistema Escrito de Numeración

• En dos etapas:
  • Lectura y escritura de cifras (0 al 9).
  • Lectura y escritura de números de dos o más cifras (asumiendo base 10).

1ª Etapa: Cifras

• Deben aprender a reconocerlas y escribirlas siguiendo el recorrido oportuno.
• Errores:
  • Inversión de la grafía.
  • Caligráficos (mala caligrafía).
  • De recorrido (anómalos).

2ª Etapa: Varias Cifras

• Comprensión del valor de posición limitada.
• Experiencias importantes:
  • Experiencia de Kamii sobre el reconocimiento de la decena.
  • Experiencia de Ross del agrupamiento en decenas.

Experiencia de Kamii sobre el Reconocimiento de la Decena

• Un niño con 16 fichas debe contarlas, dibujarlas y escribir el número.
• Luego, se le pide señalar en el dibujo qué partes corresponden al 6 y al 1.
• Respuestas:
  • Las cifras son ordinales o etiquetas (6: una ficha; 1: otra ficha) (22%).
  • El 6 representa seis fichas y el 1, una ficha (23%).
  • El 6 representa seis fichas y el 1, las diez fichas restantes (43%).

Experiencia de Ross del Agrupamiento en Decenas

• Un niño con 48 alubias y 9 tazas debe poner diez alubias en cada taza.
• Se pregunta cuántas alubias hay en total.
• Respuestas:
  • No saben decir cuántas hay (5%).
  • Las cuentan todas de una en una (15%).
  • Las cuentan por decenas ("diez, veinte, treinta, cuarenta") y añaden el ocho (80%).

Nociones del Valor Posicional

• Se construyen lentamente.
• Los niños aprenden a escribir números sin entender completamente el valor de cada cifra.

Errores Comunes con Varias Cifras

• Invertir el orden de las cifras.
• Incorporar la potencia de la base incorrectamente.
• Suprimir o añadir ceros.

Conocimientos Previos al Valor de Posición de Cifras

Técnicas Orales y de Escritura

• Técnicas ORALES de suma:
  • Enseñar situaciones aditivas antes de sumar con dos cifras.
  • Contar de uno en uno y de diez en diez.
  • Conocer como cardinales u ordinales las palabras numéricas de números de dos cifras.
  • Saber + 1 el número siguiente.
  • Saber +10 la decena siguiente.
  • Sumar oralmente decenas con unidades.
• Cómo conseguirlo:
  • Situaciones de recitado, de recuento, de orden y aditivas.
• Necesitan saber:
  • Manejar con bastante soltura el lápiz y el papel
  • Leer y escribir las cifras.
  • Saber interpretar como cardinales y ordinales las cifras que aparecen en un mensaje escrito.

Sesión 7: Enseñanza y Aprendizaje de Matemáticas en Primaria I

Enfoque Basado en el NCTM

• National Council of Teachers of Mathematics.
• Visión de las matemáticas desde tres puntos de vista:
  • Como quehacer humano: actividad para resolver situaciones.
  • Como lenguaje simbólico: lenguaje de la ciencia.
  • Como sistema conceptual: red interconectada de conceptos, propiedades y relaciones.

Características de una Enseñanza Eficaz

• Para estudiar esas características:
  • Competencia y comprensión matemática.
  • Comprensión instrumental y relacional.
  • Objetos de comprensión y competencia.
  • Papel de resolución de problemas.
  • Papel del alumno y el profesor.

Competencia y Comprensión Matemática

• La competencia matemática:
  • ¿Qué es la competencia matemática?: ¿En qué se diferencia de la comprensión matemática? ¿Qué es competencia?
  • Es un rasgo cognitivo y disposicional del sujeto.
  • Distinta según el campo profesional, edad o saber (Ser competente en matemáticas pero no serlo en alemán).
  • Es equivalente a tener conocimiento práctico de algo.
  • Referido a destrezas manipulativas o procedimentales.
  • En matemáticas de 2 tipos: -Comp. Generales: aritmética, algebraica, geométrica,... -Comp. Específicas: resolver ecuaciones, calcular operaciones combinadas,...
  • ¿Qué es competencia matemática? - Ser competente en alguna tarea matemática saber cómo hacer la tarea, qué procedimientos usar.

Tipos de Comprensión Matemática

• • Comprensión Instrumental
• Comprensión Relacional:
  • Richard Skemp (psicólogo y matemático) analiza sus diferencias
  • Comprensión Relacional: Saber Qué Ejemplo: Imaginemos que tenemos 245 caramelos y queremos repartirlos en 5 bolsas de manera equitativa. ¿Cuántos caramelos tendrá cada bolsa? En lugar de seguir un procedimiento mecánico, los estudiantes entienden el significado de la división.
  • Comprensión Instrumental: Saber Hacer Ejemplo: Un profesor enseña a sus alumnos a resolver la división 245÷5 utilizando el algoritmo tradicional paso a paso (Siguen las reglas mecánicamente, sin reflexionar sobre el significado de la división)
• Richard Skemp elige la comprensión Relacional. Tiene varias ventajas: -*Mas adaptables a nuevas tareas (saber método y saber por qué) -*Más fáciles de recordar pero más difíciles de aprender (ej. más difícil saber de dónde sale el área de un rectángulo que saber su fórmula)
  • ¿Matemáticas instrumentales? -Si, a corto plazo y contexto limitado Razones de profesores para enseñarlas:
• más fáciles de aprender
• respuesta correcta rápida y fiable sentimiento de éxito

Logro de ambas:

• Que comprender objetos ¿Cómo lograr la comprensión y competencia? Papel de resolución de problemas papel de alumno y profesor.
• • Ligadas a cómo concebimos el conocimiento matemático comprender objetos matemáticos.

Objetos Matemáticos

• Se refieren a los conceptos, principios y estructuras matemáticas que los estudiantes deben comprender para construir conocimiento sólido

Ejemplos de Objetos Matemáticos

• En la suma y la resta, el objeto de comprensión no es solo saber operar, sino entender la relación entre ambas como operaciones inversas.
• Concepto de cantidad y conteo.
• Propiedad conmutativa, asociativa, distributiva.
• Aprender y enseñar matemáticas.
  • Para nosotros Saber matemáticas es ser capaz de usar conceptos y lenguaje matemático para resolver problemas.
  • Para nosotros NO TIENE SENTIDO CONOCER OBJETOS MATEMÁTICOS SI NO LOS RELACIONAMOS CON LOS PROBLEMAS DE LOS QUE SURGEN.
  • Ejemplo Difícil ver utilidad de números negativos si no ven la necesidad de las situaciones en las que aparecen.

Para los Alumnos:

• Saber matemáticas es...
• Saber hacer cálculos y resolver problemas adecuados a la edad.
• Usar métodos y estrategias para resolver ejercicios - aplicar contenidos matemáticos que han aprendido.
• Tener capacidad para explicar cualquier cuestión relacionada con mates.
• Tener conceptos básicos de matemáticas.
• Tener conocimiento sobre esta asignatura dependiendo del nivel en que se encuentre.
• "Según NCTM (National Council of Teachers of Mathematics)Aprendizaje Significativo aquel que se halla al comprender y ser capaz de aplicar conocimiento, procedimientos y procesos matemáticos.Enseñanza y aprendizaje de matemáticas coordinación de HECHOS PROCEDIMIENTOS Y COMPRENSIÓN CONCEPTUALAprenizaje Significalivo Resolución de problemas

Aprendizaje Significativo Resolución de Problemas

• Para lograr Aprendizaje Significativo ESENCIAL RESOLVER PROBLEMAS
• Resolver Problemas no Sólo Como Contenido Sino Como Vehículo Para Aprender Matématicas
• Trabajo de alumnos en clase de matemáticas ~ Como el de un matemático Investiga y trata de resolver problemas.
• Trata de probar si la solución es correcta Usa lenguaje matemático Intercambia ideas con otros.
• Trabajo de profesor en clase de matemáticas \ un matemático.
• No parte de un problema para llegar a conocimiento matemático, lo hace al revés El matemático cuando tiene un conocimiento, lo descontextualiza.
• "El profesor hace lo contrario, para motivar al alumno

Trabajo de Profesor en Clase de Matemáticas

• Trata de ayudar a sus alumnos a encontrar las que son "correctas" matemáticamente.
• Ayuda a sus alumnos a encontrar o construir este "saber cultural" (porque contextualizar tiene dimensión cultural).
• "Enseñanza y Aprendizaje de Matemáticas incorporar a la comunidad científica y cultural de su época Sesión 8, Enseñanza de las matemáticas 2 concepciones
• Concepcion idealista platomica
• Adquirir conocimientos matematicos de manera axionatica
• 2: si se da el primer paso, el alumno puede resolver problemas por si solo

Concepcion Idealista Platonica

• Primero fundamente matematicas puras
• Segundo aplicación matematicas aplicadas concepción mas común hace años
• Concepción constuctivista
  • Estrecha relacion entre las matemáticas y sus aplicaciones -" A lo largo de todo el currículo," - Mostrar a los alumnos a NECESIDAD de cada parte de los matematicas antes de que les sea presentada.

Esencial:

• Actividad de resolver problemas, no única para aprendizaje de conceptos científicos o matemáticos.

Para Aprendizaje de Conceptos Científicos o Matemáticos

• Si solo Visión construvtinsta requiere mucho tiempo

• En avanzar en cnocimiemtos superiores

• Nos basamos en principios enseñanza matemáticas

• Equilibad, altas expectativas y fuertes apoyos, enseñanza efectiva

Concepción Extrema

• Alumnos descubran todo el conocimiento por si mismos en una guia adecuada

Mal Interpretar el COnstructovismo

• Descuidar la planificacion didactica