Functions and Their Graphs

Định Nghĩa Hàm Số

• Hàm số là quy tắc ánh xạ mỗi phần tử x trong tập xác định A (miền định) vào một phần tử y trong tập giá trị B.
• Ký hiệu: y = f(x), với f là hàm số, x là biến độc lập, y là biến phụ thuộc.

Đồ Thị Hàm Số

• Đồ thị của hàm số là tập hợp các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ.
• Đồ thị giúp hình dung mối quan hệ giữa x và y.
• Các loại đồ thị phổ biến:
  • Đồ thị thẳng: Hàm số bậc nhất
  • Đồ thị parabol: Hàm số bậc hai
  • Đồ thị hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác.

Các Loại Hàm Số

1. Hàm số bậc nhất: có dạng y = ax + b
2. Hàm số bậc hai: có dạng y = ax^2 + bx + c
3. Hàm số bậc ba: có dạng y = ax^3 + bx^2 + cx + d
4. Hàm số mũ: y = a * b^x
5. Hàm số logarit: y = log_b(x)
6. Hàm lượng giác: sin(x), cos(x), tan(x), v.v.

Tính Chất Hàm Số

• Tính đồng biến và nghịch biến:
  • Hàm đồng biến: f'(x) > 0
  • Hàm nghịch biến: f'(x) < 0
• Tính chẵn, lẻ:
  • Hàm chẵn: f(-x) = f(x)
  • Hàm lẻ: f(-x) = -f(x)
• Giới hạn và liên tục: Xem xét hành vi của hàm tại điểm và tại vô cùng.

Ứng Dụng Hàm Số

• Giải toán: Sử dụng hàm để giải các bài toán thực tế.
• Tính toán: Trong kinh tế, vật lý, sinh học để mô hình hóa các hiện tượng.
• Dự đoán: Dự đoán xu hướng dựa vào các mô hình hàm số.
• Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số để ra quyết định.

Definition of a Function

• A function maps each element x from the domain A (input set) to an element y in the value set B (output set).
• Notation: y = f(x), where f represents the function, x is the independent variable, and y is the dependent variable.

Graph of a Function

• The graph of a function is a set of points (x, y) on a coordinate plane.
• It visually represents the relationship between x and y.
• Common graph types include:
  • Linear graph: Represents first-degree functions.
  • Parabolic graph: Represents second-degree functions.
  • Exponential, logarithmic, and trigonometric graphs.

Types of Functions

• First-degree function: Expressed as y = ax + b.
• Second-degree function: Expressed as y = ax² + bx + c.
• Third-degree function: Expressed as y = ax³ + bx² + cx + d.
• Exponential function: Expressed as y = a * b^x.
• Logarithmic function: Expressed as y = log_b(x).
• Trigonometric functions: Including sin(x), cos(x), tan(x), etc.

Properties of Functions

• Monotonicity:
  • Increasing function: f'(x) > 0 indicates the function is increasing.
  • Decreasing function: f'(x) < 0 indicates the function is decreasing.
• Even and Odd Functions:
  • Even function: f(-x) = f(x) reflects symmetric properties.
  • Odd function: f(-x) = -f(x) reflects anti-symmetric properties.
• Limits and Continuity: Analyze the behavior of functions at specific points and at infinity.

Applications of Functions

• Problem Solving: Utilized in practical math problems.
• Modeling: Applied in economics, physics, and biology to represent phenomena.
• Prediction: Forecast trends using function models.
• Optimization: Determine maximum and minimum values of functions for decision-making.