Funções Exponenciais e Equações

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Questions and Answers

Qual é a forma geral de uma equação exponencial?

$ x^a = b $

$ b^x = a $

$ a^b = x $

$ a^x = b $ (correct)

Qual propriedade se aplica quando $ a^x = a^y $?

$ x + y = a $

$ x = y $ (correct)

$ x eq y $

$ a = x + y $

Como resolver a equação $ 3^x = 9 $?

Usar logaritmos para resolver com $ x = rac{9}{3} $

Reescrever 9 como $ 3^1 $ e resolver $ x = 1 $

Reescrever 9 como $ 3^3 $ e resolver $ x = 3 $

Reescrever 9 como $ 3^2 $ e resolver $ x = 2 $ (correct)

Se $ 5^{2x} = 25 $, qual é o valor de $ x $?

$ 1 $ Signup and view all the answers

Ao resolver a equação $ 10^{x+1} = 100 $, qual é o próximo passo após igualar as bases?

Igualar as potências como $ x + 1 = 2 $ Signup and view all the answers

Qual é a solução da equação $ 2^x = 3 $?

$ x = ext{log}_2(3) $ Signup and view all the answers

Ao resolver a equação $ 2^{x-1} = 3^{x+1} $, qual é o primeiro passo?

Aplicar logaritmos e isolar $ x $ Signup and view all the answers

Quando uma base $ a $ de uma equação exponencial é negativa, qual é o cuidado a ser tomado?

Não existem soluções reais Signup and view all the answers

Qual é a solução correta para a equação exponencial $ 2 imes 3^x = 54 $?

$ x = 3 $ Signup and view all the answers

Como se pode reescrever a equação $ 8^x = 4^{2x} $ para facilitar a resolução?

$ (2^3)^x = (2^2)^{2x} $ Signup and view all the answers

Qual método deve ser utilizado para resolver a equação $ 7^{2x} = 49 $?

Simplificar para $ 7^{2x} = 7^2 $ Signup and view all the answers

Ao resolver a equação $ x imes 2^x = 16 $ por tentativa e erro, qual o primeiro valor que você deve testar?

4 Signup and view all the answers

Na equação $ 5^x = 625 $, qual é a base correta para simplificar esta equação inicialmente?

$ 5^4 $ Signup and view all the answers

Quando a equação $ 2^{3x+1} = 32 $ é simplificada, o que deve ser feito primeiro?

Simplificar para $ 32 = 2^5 $ Signup and view all the answers

Qual é a abordagem correta para a equação $ 8^x = 2^{6x} $?

Reescrever como $ (2^3)^x = 2^{6x} $ e igualar Signup and view all the answers

Se você tem a equação $ x = rac{ ext{ln}(k)}{ ext{ln}(b)} $, qual é a característica da base $ b $?

$ b $ pode ser qualquer valor positivo Signup and view all the answers

Study Notes

Funções Exponenciais

Exercícios de Resolução de Equações Exponenciais

Definição de Equação Exponencial: Equações onde a variável está no expoente, geralmente na forma ( a^x = b ), onde ( a > 0 ) e ( a \neq 1 ).
Propriedades Importantes:
- Se ( a^x = a^y ), então ( x = y ).
- Para resolver ( a^x = b ), pode-se utilizar logaritmos: ( x = \log_a(b) ).
Passos para Resolver Equações Exponenciais:
1. Igualar as Bases: Caso possível, reescrever ambos os lados da equação com a mesma base.
2. Aplicar Logaritmos: Usar logaritmos se a base não puder ser igualada.
3. Isolar a Variável: Solucionar a equação resultante para encontrar o valor de ( x ).
Exemplos:
1. Exemplo 1: Resolver ( 2^x = 8 )
  - Reescrever ( 8 ) como ( 2^3 ).
  - Igualar as bases: ( 2^x = 2^3 ) ⟹ ( x = 3 ).
2. Exemplo 2: Resolver ( 3^x = 9 )
  - Reescrever ( 9 ) como ( 3^2 ).
  - Igualar as bases: ( 3^x = 3^2 ) ⟹ ( x = 2 ).
3. Exemplo 3: Resolver ( 5^{2x} = 25 )
  - Reescrever ( 25 ) como ( 5^2 ).
  - Igualar: ( 5^{2x} = 5^2 ) ⟹ ( 2x = 2 ) ⟹ ( x = 1 ).
4. Exemplo 4: Resolver ( 10^{x+1} = 100 )
  - Reescrever ( 100 ) como ( 10^2 ).
  - Igualar: ( 10^{x+1} = 10^2 ) ⟹ ( x + 1 = 2 ) ⟹ ( x = 1 ).
Equações Exponenciais com Logaritmos:
- Exemplo: Resolver ( 2^x = 3 )
  - Aplicar logaritmo: ( x = \log_2(3) ).
Equações com Múltiplas Bases:
- Exemplo: Resolver ( 2^{x-1} = 3^{x+1} )
  - Aplicar logaritmos: ( (x-1) \log(2) = (x+1) \log(3) ).
  - Isolar ( x ).
Dicas:
- Sempre verifique se a base é positiva e diferente de 1.
- Cuidado com soluções extranhas, especialmente em casos onde ( a^x < 0 ).
- Use calculadora para resolver logaritmos quando necessário.

Funções Exponenciais

Equação Exponencial: Formas como ( a^x = b ) onde a variável ( x ) está no expoente, com ( a > 0 ) e ( a \neq 1 ).
Propriedade de Igualdade: Se ( a^x = a^y ), então ( x ) deve ser igual a ( y ).
Uso de Logaritmos: Para resolver ( a^x = b ), utilize ( x = \log_a(b) ).

Passos para Resolver Equações Exponenciais

Igualar as Bases: Sempre que possível, reescrever ambos os lados com a mesma base.
Aplicar Logaritmos: Usar logaritmos quando não é possível igualar as bases.
Isolar a Variável: Resolver a equação resultante para encontrar o valor de ( x ).

Exemplos de Resolução

Resolver ( 2^x = 8 ) reescrevendo ( 8 ) como ( 2^3 ) resulta em ( x = 3 ).
Para ( 3^x = 9 ), reescreve-se ( 9 ) como ( 3^2 ), chegando a ( x = 2 ).
Na equação ( 5^{2x} = 25 ), reescrever ( 25 ) como ( 5^2 ) leva a ( x = 1 ).
Para ( 10^{x+1} = 100 ), ( 100 ) é reescrito como ( 10^2 ), resultando em ( x = 1 ).

Equações Exponenciais com Logaritmos

Exemplo de ( 2^x = 3 ): Aplicar logaritmo resulta em ( x = \log_2(3) ).

Estratégias para Equações com Múltiplas Bases

Exemplo ( 2^{x-1} = 3^{x+1} ): Aplicar logaritmos para isolar ( x ) através da equação ( (x-1) \log(2) = (x+1) \log(3) ).

Dicas Finais

Verifique sempre se a base é positiva e diferente de 1.
Atenção a soluções não válidas, especialmente quando ( a^x < 0 ).
Utilizar calculadora ao resolver logaritmos, se necessário.

Funções Exponenciais

Funções exponenciais são expressas como ( f(x) = a \cdot b^x ), onde ( a ) é uma constante e ( b ) é a base positiva diferente de 1.
O gráfico dessas funções apresenta um crescimento rápido quando ( b > 1 ) ou um decaimento rápido se ( 0 < b < 1 ).
O valor da função ( f(x) ) é sempre positivo (( f(x) > 0 )) para qualquer valor de ( x ).
O gráfico não intersecta o eixo x, ou seja, a função nunca assume o valor zero.

Exercícios De Resolução De Equações Exponenciais

Identificação de equações exponenciais frequentemente segue a forma ( b^x = k ) ou ( a \cdot b^x = c ).
Um método para resolver equações é a igualação de bases; se ( b^x = b^y ), então os expoentes são iguais (( x = y )).
Outra abordagem utiliza logaritmos: aplicar logaritmo nos dois lados permite resolver o expoente, resultando em ( x = \frac{\ln(k)}{\ln(b)} ).

Exemplos de Resolução

Exemplo 1: Para resolver ( 2^x = 8 ):
- Reescreva ( 8 ) como ( 2^3 ) e iguale as bases, resultando em ( x = 3 ).
Exemplo 2: Para resolver ( 5^{2x} = 125 ):
- Reescreva ( 125 ) como ( 5^3 ) e iguale os expoentes, resultando em ( x = \frac{3}{2} ).
Exemplo 3: Para resolver ( 3^{x+1} = 27 ):
- Reconheça que ( 27 = 3^3 ) e iguale os expoentes, resultando em ( x = 2 ).

Equações com Coeficientes e Múltiplas Bases

Para resolver equações com coeficientes, como ( 2 \cdot 3^x = 18 ), divida ambos os lados por 2, simplificando para ( 3^x = 9 ) e igualando bases.
Na equação ( 4^x = 2^{3x} ), reescreva como ( (2^2)^x = 2^{3x} ) para facilitar a comparação de exponentes, resultando em ( x = 0 ).

Verificação e Dicas

Sempre substitua o valor de ( x ) encontrado na equação original para verificar a solução.
Simplifique as equações o máximo possível antes de aplicar logaritmos para facilitar a resolução.
Esteja atento a possíveis múltiplas soluções em equações não restritas e tente reescrever equações para uma forma comum com a mesma base antes de resolver.

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