Funções Exponenciais e Equações

Podcast Beta

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Qual é a forma geral de uma equação exponencial?

$ x^a = b $

$ b^x = a $

$ a^b = x $

$ a^x = b $ (correct)

Qual propriedade se aplica quando $ a^x = a^y $?

$ x + y = a $

$ x = y $ (correct)

$ x eq y $

$ a = x + y $

Como resolver a equação $ 3^x = 9 $?

Usar logaritmos para resolver com $ x = rac{9}{3} $

Reescrever 9 como $ 3^1 $ e resolver $ x = 1 $

Reescrever 9 como $ 3^3 $ e resolver $ x = 3 $

Reescrever 9 como $ 3^2 $ e resolver $ x = 2 $ (correct)

Se $ 5^{2x} = 25 $, qual é o valor de $ x $?

$ 1 $ Signup and view all the answers

Ao resolver a equação $ 10^{x+1} = 100 $, qual é o próximo passo após igualar as bases?

Igualar as potências como $ x + 1 = 2 $ Signup and view all the answers

Qual é a solução da equação $ 2^x = 3 $?

$ x = ext{log}_2(3) $ Signup and view all the answers

Ao resolver a equação $ 2^{x-1} = 3^{x+1} $, qual é o primeiro passo?

Aplicar logaritmos e isolar $ x $ Signup and view all the answers

Quando uma base $ a $ de uma equação exponencial é negativa, qual é o cuidado a ser tomado?

Não existem soluções reais Signup and view all the answers

Qual é a solução correta para a equação exponencial $ 2 imes 3^x = 54 $?

$ x = 3 $ Signup and view all the answers

Como se pode reescrever a equação $ 8^x = 4^{2x} $ para facilitar a resolução?

$ (2^3)^x = (2^2)^{2x} $ Signup and view all the answers

Qual método deve ser utilizado para resolver a equação $ 7^{2x} = 49 $?

Simplificar para $ 7^{2x} = 7^2 $ Signup and view all the answers

Ao resolver a equação $ x imes 2^x = 16 $ por tentativa e erro, qual o primeiro valor que você deve testar?

4 Signup and view all the answers

Na equação $ 5^x = 625 $, qual é a base correta para simplificar esta equação inicialmente?

$ 5^4 $ Signup and view all the answers

Quando a equação $ 2^{3x+1} = 32 $ é simplificada, o que deve ser feito primeiro?

Simplificar para $ 32 = 2^5 $ Signup and view all the answers

Qual é a abordagem correta para a equação $ 8^x = 2^{6x} $?

Reescrever como $ (2^3)^x = 2^{6x} $ e igualar Signup and view all the answers

Se você tem a equação $ x = rac{ ext{ln}(k)}{ ext{ln}(b)} $, qual é a característica da base $ b $?

$ b $ pode ser qualquer valor positivo Signup and view all the answers

Study Notes

Funções Exponenciais

Exercícios de Resolução de Equações Exponenciais

Definição de Equação Exponencial: Equações onde a variável está no expoente, geralmente na forma ( a^x = b ), onde ( a > 0 ) e ( a \neq 1 ).
Propriedades Importantes:
- Se ( a^x = a^y ), então ( x = y ).
- Para resolver ( a^x = b ), pode-se utilizar logaritmos: ( x = \log_a(b) ).
Passos para Resolver Equações Exponenciais:
1. Igualar as Bases: Caso possível, reescrever ambos os lados da equação com a mesma base.
2. Aplicar Logaritmos: Usar logaritmos se a base não puder ser igualada.
3. Isolar a Variável: Solucionar a equação resultante para encontrar o valor de ( x ).
Exemplos:
1. Exemplo 1: Resolver ( 2^x = 8 )
  - Reescrever ( 8 ) como ( 2^3 ).
  - Igualar as bases: ( 2^x = 2^3 ) ⟹ ( x = 3 ).
2. Exemplo 2: Resolver ( 3^x = 9 )
  - Reescrever ( 9 ) como ( 3^2 ).
  - Igualar as bases: ( 3^x = 3^2 ) ⟹ ( x = 2 ).
3. Exemplo 3: Resolver ( 5^{2x} = 25 )
  - Reescrever ( 25 ) como ( 5^2 ).
  - Igualar: ( 5^{2x} = 5^2 ) ⟹ ( 2x = 2 ) ⟹ ( x = 1 ).
4. Exemplo 4: Resolver ( 10^{x+1} = 100 )
  - Reescrever ( 100 ) como ( 10^2 ).
  - Igualar: ( 10^{x+1} = 10^2 ) ⟹ ( x + 1 = 2 ) ⟹ ( x = 1 ).
Equações Exponenciais com Logaritmos:
- Exemplo: Resolver ( 2^x = 3 )
  - Aplicar logaritmo: ( x = \log_2(3) ).
Equações com Múltiplas Bases:
- Exemplo: Resolver ( 2^{x-1} = 3^{x+1} )
  - Aplicar logaritmos: ( (x-1) \log(2) = (x+1) \log(3) ).
  - Isolar ( x ).
Dicas:
- Sempre verifique se a base é positiva e diferente de 1.
- Cuidado com soluções extranhas, especialmente em casos onde ( a^x < 0 ).
- Use calculadora para resolver logaritmos quando necessário.

Funções Exponenciais

Equação Exponencial: Formas como ( a^x = b ) onde a variável ( x ) está no expoente, com ( a > 0 ) e ( a \neq 1 ).
Propriedade de Igualdade: Se ( a^x = a^y ), então ( x ) deve ser igual a ( y ).
Uso de Logaritmos: Para resolver ( a^x = b ), utilize ( x = \log_a(b) ).

Passos para Resolver Equações Exponenciais

Igualar as Bases: Sempre que possível, reescrever ambos os lados com a mesma base.
Aplicar Logaritmos: Usar logaritmos quando não é possível igualar as bases.
Isolar a Variável: Resolver a equação resultante para encontrar o valor de ( x ).

Exemplos de Resolução

Resolver ( 2^x = 8 ) reescrevendo ( 8 ) como ( 2^3 ) resulta em ( x = 3 ).
Para ( 3^x = 9 ), reescreve-se ( 9 ) como ( 3^2 ), chegando a ( x = 2 ).
Na equação ( 5^{2x} = 25 ), reescrever ( 25 ) como ( 5^2 ) leva a ( x = 1 ).
Para ( 10^{x+1} = 100 ), ( 100 ) é reescrito como ( 10^2 ), resultando em ( x = 1 ).

Equações Exponenciais com Logaritmos

Exemplo de ( 2^x = 3 ): Aplicar logaritmo resulta em ( x = \log_2(3) ).

Estratégias para Equações com Múltiplas Bases

Exemplo ( 2^{x-1} = 3^{x+1} ): Aplicar logaritmos para isolar ( x ) através da equação ( (x-1) \log(2) = (x+1) \log(3) ).

Dicas Finais

Verifique sempre se a base é positiva e diferente de 1.
Atenção a soluções não válidas, especialmente quando ( a^x < 0 ).
Utilizar calculadora ao resolver logaritmos, se necessário.

Funções Exponenciais

Funções exponenciais são expressas como ( f(x) = a \cdot b^x ), onde ( a ) é uma constante e ( b ) é a base positiva diferente de 1.
O gráfico dessas funções apresenta um crescimento rápido quando ( b > 1 ) ou um decaimento rápido se ( 0 < b < 1 ).
O valor da função ( f(x) ) é sempre positivo (( f(x) > 0 )) para qualquer valor de ( x ).
O gráfico não intersecta o eixo x, ou seja, a função nunca assume o valor zero.

Exercícios De Resolução De Equações Exponenciais

Identificação de equações exponenciais frequentemente segue a forma ( b^x = k ) ou ( a \cdot b^x = c ).
Um método para resolver equações é a igualação de bases; se ( b^x = b^y ), então os expoentes são iguais (( x = y )).
Outra abordagem utiliza logaritmos: aplicar logaritmo nos dois lados permite resolver o expoente, resultando em ( x = \frac{\ln(k)}{\ln(b)} ).

Exemplos de Resolução

Exemplo 1: Para resolver ( 2^x = 8 ):
- Reescreva ( 8 ) como ( 2^3 ) e iguale as bases, resultando em ( x = 3 ).
Exemplo 2: Para resolver ( 5^{2x} = 125 ):
- Reescreva ( 125 ) como ( 5^3 ) e iguale os expoentes, resultando em ( x = \frac{3}{2} ).
Exemplo 3: Para resolver ( 3^{x+1} = 27 ):
- Reconheça que ( 27 = 3^3 ) e iguale os expoentes, resultando em ( x = 2 ).

Equações com Coeficientes e Múltiplas Bases

Para resolver equações com coeficientes, como ( 2 \cdot 3^x = 18 ), divida ambos os lados por 2, simplificando para ( 3^x = 9 ) e igualando bases.
Na equação ( 4^x = 2^{3x} ), reescreva como ( (2^2)^x = 2^{3x} ) para facilitar a comparação de exponentes, resultando em ( x = 0 ).

Verificação e Dicas

Sempre substitua o valor de ( x ) encontrado na equação original para verificar a solução.
Simplifique as equações o máximo possível antes de aplicar logaritmos para facilitar a resolução.
Esteja atento a possíveis múltiplas soluções em equações não restritas e tente reescrever equações para uma forma comum com a mesma base antes de resolver.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Teste seus conhecimentos sobre equações exponenciais através de exercícios práticos. O quiz abrange definições, propriedades e passos para resolver equações exponenciais, além de exemplos explicativos. Pronto para testar suas habilidades matemáticas?