Funciones Vectoriales: Límite y Continuidad

• Las funciones vectoriales de variable real asignan un vector en $R^n$ a cada número real $t$.
  • $\overrightarrow{r}: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$
  • $t \mapsto \overrightarrow{r}(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots, f_{n}(t)\right)$
  • $f_i: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ son funciones componentes.
• Ejemplo: $\overrightarrow{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t)$ con funciones componentes $f_1(t) = \cos t$, $f_2(t) = \operatorname{sen} t$ y $f_3(t) = t$.

Límite y continuidad

• El límite de $\overrightarrow{r}(t)$ cuando $t$ tiende a $t_0$ es $\vec{L}$ si $\overrightarrow{r}(t)$ se acerca a $\vec{L}$ cuando $t$ se acerca a $t_0$.
  • $\lim {t \rightarrow t{0}} \overrightarrow{r}(t)=\vec{L} \Leftrightarrow \lim {t \rightarrow t{0}} f_{i}(t)=L_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n$
• $\overrightarrow{r}(t)$ es continua en $t_0$ si:
  • Existe $\overrightarrow{r}(t_0)$.
  • Existe $\lim {t \rightarrow t{0}} \overrightarrow{r}(t)$.
  • $\lim {t \rightarrow t{0}} \overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}(t_0)$.

Derivada

• La derivada $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)$ indica la dirección y la tasa de cambio de $\overrightarrow{r}(t)$.
  • $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{r}(t+h)-\overrightarrow{r}(t)}{h}=\left(f{1}^{\prime}(t), f_{2}^{\prime}(t), \ldots, f_{n}^{\prime}(t)\right)$
• Ejemplo: Si $\overrightarrow{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t)$, entonces $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)=(-\operatorname{sen} t, \cos t, 1)$.

Integral

• La integral de $\overrightarrow{r}(t)$ representa el área bajo la curva.
  • $\int_{a}^{b} \overrightarrow{r}(t) d t=\left(\int_{a}^{b} f_{1}(t) d t, \int_{a}^{b} f_{2}(t) d t, \ldots, \int_{a}^{b} f_{n}(t) d t\right)$
• Ejemplo: Si $\overrightarrow{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t)$, entonces $\int_{0}^{\pi} \overrightarrow{r}(t) d t=\left(0,2, \frac{\pi^{2}}{2}\right)$.

Recta Tangente

• La recta tangente en $\overrightarrow{r}(t_0)$ tiene la dirección de $\overrightarrow{r}^\prime(t_0)$.
  • Su ecuación es: $\overrightarrow{l}(t)=\overrightarrow{r}\left(t_{0}\right)+t \overrightarrow{r}^{\prime}\left(t_{0}\right)$

Longitud de arco

• La longitud de arco entre $\overrightarrow{r}(a)$ y $\overrightarrow{r}(b)$ se calcula como:

  • $L=\int_{a}^{b}\left|\overrightarrow{r}^{\prime}(t)\right| d t$
  • $\left|\overrightarrow{r}^{\prime}(t)\right|=\sqrt{\left(f_{1}^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(f_{2}^{\prime}(t)\right)^{2}+\cdots+\left(f_{n}^{\prime}(t)\right)^{2}}$ es la norma del vector derivada.

• La escasez ocurre porque las personas desean más de lo que la sociedad puede producir.

• La eficiencia se define como la utilización más eficaz de los recursos para satisfacer las necesidades y deseos de las personas.

• Las tres preguntas fundamentales son:

  • ¿Qué bienes y servicios se producen y en qué cantidades?
  • ¿Cómo se producen los bienes?
  • ¿Para quién se producen los bienes?

• En una economía de mercado, las decisiones de producción y consumo las toman individuos y empresas privadas.

• En una economía planificada, el gobierno toma las decisiones clave sobre producción y distribución.

• Una economía mixta combina elementos de economías de mercado y planificadas.

• Los insumos son bienes o servicios utilizados para producir otros bienes y servicios.

• Los productos son los diversos bienes y servicios resultantes del proceso de producción.

• La Frontera de Posibilidades de Producción (FPP) representa el máximo de producción que una economía puede obtener con su tecnología e insumos disponibles.

• El costo de oportunidad es el valor del bien o servicio al que se renuncia al elegir otro.

• La eficiencia productiva ocurre cuando una economía no puede producir más de un bien sin disminuir la producción de otro.

• La FPP muestra las combinaciones de bienes y servicios que una economía puede producir, cuya elección depende de los gustos y preferencias de la sociedad.

Definición

• Un número complejo tiene la forma $z = a + bi$, donde $a$ y $b$ son números reales, e $i$ es la unidad imaginaria ($i = \sqrt{-1}$).

Partes real e imaginaria

• Para $z = a + bi$:
  • Parte real: $Re(z) = a$
  • Parte imaginaria: $Im(z) = b$

Operaciones

• Suma: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• Resta: $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• Multiplicación: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
• División: $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$ (multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador)

Conjugado complejo

• El conjugado de $z = a + bi$ es $\overline{z} = a - bi$.

Módulo (Valor absoluto)

• El módulo de $z = a + bi$ es $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Argumento

• El argumento $\theta$ de $z = a + bi$ satisface $a = |z| \cos(\theta)$, $b = |z| \sin(\theta)$, y $\theta = \arctan(\frac{b}{a})$ (ajustar según el cuadrante).

Forma polar

• Un número complejo $z$ se puede representar en forma polar como $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ o $z = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta$ es el argumento de $z$.

Fórmula de Euler

• $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$

Teorema de De Moivre

• Para $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ y entero $n$:
  • $z^n = [r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))]^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$
• O equivalentemente: $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Plano complejo

• El plano complejo representa números complejos gráficamente, con el eje horizontal como la parte real y el eje vertical como la parte imaginaria.
• Un número complejo $z = a + bi$ se representa como el punto $(a, b)$.

Applications

• Los números complejos tienen aplicaciones en ingeniería eléctrica, física, matemáticas y ciencias de la computación.

10.1 Fotosíntesis: La vida a partir de la luz y el aire

• La fotosíntesis alimenta directa o indirectamente a casi todo el mundo vivo.
• Un autótrofo se sostiene sin consumir moléculas orgánicas derivadas de otros organismos.
  • Producen sus moléculas orgánicas a partir de $CO_2$ y otras materias primas inorgánicas obtenidas del medio ambiente.
  • Casi todas las plantas son fotoautótrofos, utilizando la energía de la luz solar para fabricar moléculas orgánicas a partir de agua y dióxido de carbono.
  • La fotosíntesis ocurre en plantas, algas, ciertos protistas y algunos procariotas.
• Los heterótrofos viven de compuestos orgánicos producidos por otros organismos.
  • Estos organismos son los consumidores de la biosfera.
  • El tipo más obvio de heterótrofo se alimenta de otros organismos.
  • Los descomponedores son heterótrofos que se alimentan de organismos muertos y materia orgánica.
• Todas las partes verdes de una planta tienen cloroplastos, siendo las hojas el principal sitio de fotosíntesis en la mayoría de las plantas.
• La energía luminosa absorbida por la clorofila impulsa la síntesis de moléculas orgánicas en el cloroplasto.
• El $CO_2$ entra en la hoja, y el $O_2$ sale, a través de poros llamados estomas.
• Los cloroplastos están compuestos por una envoltura de dos membranas que rodean un fluido denso llamado estroma.
• Dentro del estroma hay un tercer sistema de membranas, los tilacoides, que separan el estroma del espacio tilacoidal.
• Los tilacoides están apilados en columnas llamadas grana.
• La clorofila reside en las membranas tilacoides.
• La ecuación que describe el proceso fotosintético: $6CO_2 + 12H_2O + Energía luminosa \rightarrow C_6H_{12}O_6 + 6O_2 + 6H_2O$
• En presencia de luz, las partes verdes de las plantas producen compuestos orgánicos y $O_2$ a partir de $CO_2$ y $H_2O$.
• La ecuación simplificada es: $6CO_2 + 6H_2O + Energía luminosa \rightarrow C_6H_{12}O_6 + 6O_2$
• Los científicos rastrearon átomos de reactivos a productos utilizando isótopos.
• El cloroplasto divide el agua en hidrógeno y oxígeno, incorporando los electrones del hidrógeno en las moléculas de azúcar y liberando oxígeno.
• El agua se divide, y los electrones se transfieren con iones $H^+$ del agua al dióxido de carbono, reduciéndolo a azúcar.
• La fotosíntesis invierte la dirección del flujo de electrones en comparación con la respiración.
• El agua se oxida y el dióxido de carbono se reduce.
• La fotosíntesis consta de dos etapas: las reacciones luminosas y el ciclo de Calvin.
• Las reacciones luminosas convierten la energía solar en energía química.
  • El agua se divide, proporcionando una fuente de electrones e iones hidronio ($H^+$).
  • Se libera $O_2$ como subproducto.
  • La luz absorbida por la clorofila impulsa la transferencia de electrones e iones hidronio del agua a un aceptor llamado $NADP^+$, que se reduce a NADPH.
  • Las reacciones luminosas también generan ATP, impulsando la adición de un grupo fosfato a ADP, un proceso llamado fotofosforilación.
  • La energía luminosa se convierte inicialmente en energía química en NADPH y ATP.
• El ciclo de Calvin incorpora $CO_2$ del aire en moléculas orgánicas ya presentes en el cloroplasto, conocido como fijación de carbono.
• El ciclo de Calvin reduce el carbono fijado a carbohidrato mediante la adición de electrones, proporcionados por NADPH, y el ATP también impulsa ciertos pasos del ciclo.
• El ciclo de Calvin no requiere luz directamente.
• En conjunto, las reacciones luminosas y el ciclo de Calvin utilizan la energía luminosa para sintetizar moléculas orgánicas.
• Los tilacoides son los sitios de las reacciones luminosas, mientras que el ciclo de Calvin ocurre en el estroma.

10.2 Las reacciones luminosas: Conversión de energía solar en energía química

• La luz, una forma de radiación electromagnética, viaja en ondas rítmicas.
• La longitud de onda es la distancia entre las crestas de las ondas electromagnéticas.
• La radiación se conoce como el espectro electromagnético.
• La luz visible impulsa la fotosíntesis.
• La luz se comporta como si consistiera en partículas discretas, llamadas fotones.
• Cada fotón tiene una cantidad fija de energía, inversamente relacionada con la longitud de onda: cuanto más corta la longitud de onda, mayor la energía de cada fotón.
• Los pigmentos absorben la luz visible.
• Un espectrofotómetro mide la capacidad de un pigmento para absorber varias longitudes de onda de luz, graficada en un espectro de absorción.
• El espectro de absorción de la clorofila sugiere que la luz violeta-azul y roja funciona mejor para la fotosíntesis.
• Un espectro de acción perfila la efectividad relativa de diferentes longitudes de onda de radiación.
• La clorofila $a$ participa directamente en las reacciones luminosas.
• Los pigmentos accesorios, como la clorofila $b$ y los carotenoides, amplían el espectro de luz que se puede utilizar en la fotosíntesis.
  • Clorofila $a$: El principal pigmento fotosintético.
  • Clorofila $b$: Pigmento fotosintético que transfiere energía a la clorofila $a$.
    • Carotenoides: Amplían el espectro de luz y disipan el exceso de energía luminosa.
• Cuando una molécula absorbe un fotón, un electrón se eleva a un orbital donde tiene más energía potencial, llamado estado excitado.
• Solo la luz que puede ser absorbida por una molécula puede tener este efecto.
• Cada pigmento tiene un espectro de absorción único.
• Los fotones absorbidos tienen energía igual a la diferencia entre el estado fundamental y el excitado.
• Cuando un electron vuelve a liberar calor libera energía
• En aislamiento, las moléculas de clorofila purificadas fluorescerán, emitiendo luz y calor después de absorber la luz.

10.2.2 Un fotosistema: Un complejo de centro de reacción asociado con complejos de recolección de luz

• Las moléculas de clorofila se organizan junto con otras pequeñas moléculas orgánicas y proteínas en fotosistemas.
• Los fotosistemas están compuestos por un complejo de centro de reacción rodeado por varios complejos de recolección de luz.
• El complejo de centro de reacción es una asociación organizada de proteínas que sostienen un par especial de moléculas de clorofila $a$.
• Cada complejo de recolección de luz consta de varias moléculas de pigmento unidas a proteínas.
• El número y la variedad de moléculas de pigmento permiten que un fotosistema coseche luz sobre un área de superficie más grande y una mayor parte del espectro que cualquier molécula de pigmento individual.
• La energía se transfiere de molécula de pigmento a molécula de pigmento dentro de un complejo de recolección de luz hasta que se pasa al complejo de centro de reacción.
• En el centro de reacción, la energía del fotón impulsa uno de los electrones del par especial de moléculas de clorofila $a$ a un nivel de energía más alto.
• El electrón se transfiere de la clorofila $a$ excitada a un aceptor primario de electrones.
• Esta reacción rédox es el primer paso de las reacciones luminosas.
• La transferencia solar de un electrón impulsa la transferencia de un electrón de una molécula de clorofila $a$ al aceptor primario, siendo el primer paso de las reacciones luminosas.
• Cada fotosistema funciona en la membrana tilacoidal como una antena de recolección de luz.
• Hay dos tipos de fotosistemas en la membrana tilacoidal:
  • Fotosistema II (PS II)
    • Funciona primero
    • La clorofila $a$ del centro de reacción del fotosistema II se llama P680 porque absorbe luz de 680 nm más eficazmente.
  • Fotosistema I (PS I)
    • Absorbe la luz de 700 nm mejor
    • La clorofila $a$ del centro de reacción del fotosistema I se llama P700

10.2.3 Flujo lineal de electrones

• El flujo lineal de electrones involucra ambos fotosistemas y produce ATP y NADPH utilizando energía luminosa.
• Hay ocho pasos en el proceso:
  1. Un fotón golpea una de las moléculas de pigmento en un complejo de recolección de luz del PS II, impulsando un electrón a un nivel de energía más alto.
  2. El electrón se transfiere al aceptor primario de electrones.
  3. La enzima cataliza la división de una molécula de agua en dos electrones, dos iones de hidronio y un átomo de oxígeno.
  4. Cada electrón fotoexcitado pasa del aceptor primario de electrones del PS II al PS I a través de una cadena de transporte de electrones, la plastoquinona (Pq).
  5. A medida que los electrones caen por la cadena de transporte de electrones desde Pq hasta el complejo citocromo, la "caída" exergónica de electrones impulsa el bombeo de $H^+$ a través de la membrana tilacoidal hacia el espacio tilacoidal.
  6. La energía luminosa se ha transferido al complejo del centro de reacción del PS I, excitando un electrón del par P700 de moléculas de clorofila $a$.
  7. Los electrones fotoexcitados pasan en una serie de reacciones rédox desde el aceptor primario de electrones del PS I por una segunda cadena de transporte de electrones a través de la proteína ferredoxina (Fd).
  8. La enzima NADP+ reductasa cataliza la transferencia de electrones de Fd a NADP+.
• Los electrones de NADPH están en un nivel de energía más alto que en el agua, por lo que están más disponibles para las reacciones del ciclo de Calvin. El flujo lineal de electrones utiliza energía luminosa para impulsar la síntesis de ATP y NADPH, proporcionando la energía química y el poder reductor necesitados por el ciclo de Calvin.

10.2.4 Flujo cíclico de electrones

• En ciertas condiciones, los electrones fotoexcitados del PS I se usan en flujo cíclico de electrones en lugar de flujo lineal de electrones.
• El flujo cíclico de electrones utiliza solo el fotosistema I (PS I).
• El flujo cíclico de electrones produce ATP, pero no se produce NADPH.
• No se libera oxígeno.
• Se conoce que varios grupos de bacterias fotosintéticas tienen PS I, pero no PS II.
• El flujo cíclico de electrones puede ser fotoprotector.

10.2.5 La quimiósmosis impulsa la síntesis de ATP en las reacciones luminosas

• La membrana tilacoidal bombea protones ($H^+$) del estroma hacia el espacio tilacoidal.
• Las reacciones luminosas y la cadena de transporte de electrones producen un gradiente de $H^+$ a través de la membrana tilacoidal.
• El ATP se sintetiza a medida que los $H^+$ se difunden de regreso por su gradiente desde el espacio tilacoidal al estroma, pasando por la ATP sintasa, un complejo de proteínas integrado en la membrana tilacoidal.
• Este proceso, la quimiósmosis, es muy similar al que ocurre en las mitocondrias. En las mitocondrias, los electrones se pasan de moléculas orgánicas a portadores de electrones.
• En los cloroplastos, la fuente de electrones es el agua.
• La Quimiósmosis es el proceso en el que la energía almacenada en forma de gradiente de iones de hidrógeno a través de una membrana se utiliza para realizar trabajo celular, como la síntesis de ATP.
• Gradientes y producción de ATP: en mitocondrias y cloroplastos, la quimiósmosis genera ATP.
• ATP sintasa: La enzima que produce ATP a partir de ADP y fosfato inorgánico.
• Fotofosforilación: El proceso de generar ATP a partir de ADP y fosfato por medio de una fuerza protonmotriz generada por la membrana tilacoidal del cloroplasto durante las reacciones luminosas de la fotosíntesis.
• ATP y NADPH se producen en el lado de la membrana tilacoidal que da al estroma, donde tiene lugar el ciclo de Calvin.

10.3 El ciclo de Calvin: Utilización de energía química para producir azúcar

• El ciclo de Calvin es similar al ciclo del ácido cítrico porque regenera su material de partida después de que las moléculas entran y salen del ciclo.
• El ciclo de Calvin es anabólico, utilizando ATP como energía y NADPH como poder reductor para agregar electrones de alta energía para producir azúcar.
• El carbono entra en el ciclo en forma de $CO_2$ y sale en forma de un azúcar llamado gliceraldehído-3-fosfato (G3P).
• Para la síntesis neta de una molécula de G3P, el ciclo debe tener lugar tres veces. Cada giro del ciclo de Calvin involucra:
  1. Fijación de carbono. El ciclo de Calvin comienza incorporando cada molécula de $CO_2$, una a la vez, uniéndola a una molécula de azúcar de cinco carbonos llamada ribulosa-1,5-bifosfato (RuBP). La enzima que cataliza este primer paso es la RuBP carboxilasa-oxigenasa, o rubisco. El producto de la reacción es un intermedio de seis carbonos tan inestable que se escinde inmediatamente por la mitad, formando dos moléculas de 3-fosfoglicerato.
  2. Reducción. Cada molécula de 3-fosfoglicerato recibe un grupo fosfato adicional de ATP, convirtiéndose en 1,3-bisfosfoglicerato. A continuación, un par de electrones donados por NADPH reduce el 1,3-bisfosfoglicerato, que también pierde un grupo fosfato en el proceso, convirtiéndose en gliceraldehído-3-fosfato (G3P). Específicamente, los electrones reducen el grupo carboxilo en el 1,3-bisfosfoglicerato al grupo aldehído de G3P, que almacena más energía potencial. G3P es un azúcar; es el mismo azúcar de tres carbonos formado en la glucólisis por la división de la glucosa.
  3. Regeneración del aceptor de $CO_2$ (RuBP). En una serie compleja de reacciones, los esqueletos de carbono de cinco moléculas de G3P se reordenan mediante el ciclo de Calvin en tres moléculas de RuBP. Para lograr esto, el ciclo gasta tres moléculas más de ATP. La RuBP ahora está lista para recibir $CO_2$ de nuevo, y el ciclo continúa.
• Para la síntesis neta de una molécula de G3P, el ciclo de Calvin consume nueve moléculas de ATP y seis moléculas de NADPH.

10.3.2 Mecanismos alternativos de fijación de carbono

• Fotorrespiración: Una vía metabólica que consume oxígeno, libera dióxido de carbono, no genera ATP y disminuye la producción fotosintética. Generalmente ocurre en días calurosos, secos y brillantes, cuando los estomas se cierran y la concentración de oxígeno en la hoja supera la del dióxido de carbono.
• Plantas C4: Una planta en la que el ciclo de Calvin es precedido por reacciones que incorporan $CO_2$ en un compuesto de cuatro carbonos, cuyo producto final suministra $CO_2$ para el ciclo de Calvin. Importante en climas calurosos y secos.
• Plantas CAM: Una planta que utiliza el metabolismo ácido de las crasuláceas (CAM), una adaptación para la fotosíntesis en condiciones áridas. El dióxido de carbono que entra por los estomas abiertos durante la noche se convierte en ácidos orgánicos, que liberan $CO_2$