Funciones: Dominio y Rango

Funciones

• Las funciones se presentan cuando una cantidad está relacionada con otra.
• Una función es una relación entre dos conjuntos, donde cada elemento del conjunto de entrada se corresponde con un único elemento del conjunto de salida.
• Para que una relación sea una función, debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.
• La condición de existencia implica que cada elemento de la relación tiene una imagen correspondiente.
• La condición de unicidad implica que cada elemento tiene una imagen única.
• Las funciones pueden ser representadas verbalmente, numéricamente, visualmente o algebraicamente

Dominio y Rango

• El dominio natural Df es el conjunto más grande de valores de x para los cuales f(x) está definida y produce una imagen real.
• El rango de una función es el conjunto de todas las imágenes posibles
• El rango está incluido en el codominio o conjunto de llegada y puede ser igual.
• El codominio se considera el conjunto de todos los números reales a menos que se especifique lo contrario.
• Una función se representa como f: D → R / y = f(x).

Modelo Matemático

• Un modelo matemático es una representación idealizada de un fenómeno físico real.
• Un buen modelo matemático debe ser preciso y sencillo.
• La precisión implica que simplifica la realidad para permitir cálculos.
• La sencillez implica que permite obtener conclusiones significativas y hacer predicciones.

Funciones Pares e Impares

• Una función f es par si f(x) = f(-x) para toda x en el dominio Df.
• Para cada punto (x, y) en la gráfica, el punto (-x, y) también está en la gráfica de una función par.
• Las funciones pares son simétricas con respecto al eje de ordenadas y tienen el mismo valor para valores opuestos de la variable independiente.
• Una función f es impar si f(x) = -f(-x) para toda x en el dominio Df.
• Para cada punto (x, y) en la gráfica, el punto (-x, -y) también está en la gráfica de una función impar.
• Las funciones impares son simétricas con respecto al origen de coordenadas y tienen valores opuestos para valores opuestos de x.

Propiedades de Funciones Pares e Impares

• La suma o diferencia de dos funciones pares resulta en otra función par (P ± P = P).
• La suma o diferencia de dos funciones impares resulta en otra función impar (I ± I = I).
• Considerando P como + e I como -, al aplicar la regla de los signos:
  • P·P = P , P/P = P
  • I·I = P , I/I = P
  • P·I = I , P/I = I
• Existen funciones que, aunque no son pares ni impares, se pueden expresar como la suma de una función par y otra impar.

Funciones Periódicas

• Las funciones periódicas repiten sus valores a intervalos regulares de la variable independiente.
• Simbólicamente, f es periódica si existe un p > 0 tal que f(x) = f(x ± p) para toda x en Df, donde p es el período de la función.
• Una función periódica posee infinitos períodos, cumpliendo que f(x) = f(x ± n·p) con n ∈ N, lo que indica que cualquier múltiplo de p también es un período.

Funciones Inyectivas y Sobreyectivas

• Funciones inyectivas (uno a uno): cada elemento del codominio es imagen de, a lo sumo, un elemento del dominio.
• Funciones sobreyectivas (exhaustivas): cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
• Clasificación según elementos del conjunto de llegada o codominio:
  • Inyectivas: cada elemento es imagen de a lo sumo un elemento del conjunto de partida.
  • Sobreyectivas: cada elemento es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida.

Funciones Inyectivas y Sobreyectivas (Continuación)

• Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos del dominio les corresponden imagenes distintas
• Una función es sobreyectiva si y solo si su rango es igual a su codominio

Funciones Inversas

• Una función debe ser biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) para tener una función inversa. Es decir, cada elemento del rango debe corresponder a un único elemento del dominio.
• Las funciones inversas son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Si (x, y) está en la gráfica de la función, (y, x) está en la gráfica de su inversa.

Funciones Acotadas

• Una función y = f(x) está acotada en un intervalo I si existe un k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para toda x en I.
• Geométricamente, la gráfica de la función está comprendida entre -k y k, donde k es la cota.
• Una función está acotada superiormente en I si existe un valor ks tal que f(x) ≤ ks para toda x en I.
• Una función está acotada inferiormente en I si existe un valor ki tal que f(x) ≥ ki para toda x en I.
• Si una función está acotada superiormente, su gráfica está por debajo de ks. Si está acotada inferiormente, su gráfica está por arriba de ki.
• Una función está acotada si lo está tanto superior como inferiormente.

Cotas, Supremo e Ínfimo

• Una función tiene infinitas cotas.
• El supremo es la menor de las cotas superiores y, si pertenece a la función, es el máximo absoluto.
• El ínfimo es la mayor de las cotas inferiores y, si pertenece a la función, es el mínimo absoluto.

Funciones Definidas por Tramos

• Los tipos incluyen funciones de valor absoluto, funciones de signo y funciones de parte entera o piso.

• Función valor absoluto:

• x si x ≥ 0

• -x si x < 0

• Función signo:

• 1 si x ≠ 0

• 0 si x = 0

• Función parte entera o piso: y = [x] = mayor entero n / n ≤ x

Clasificación de Funciones

• Funciones algebraicas incluyen racionales, irracionales, fraccionarias, etc.
• Funciones trascendentes incluyen exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

Tipos de Funciones Algebraicas Racionales Enteras

• Función constante (grado 0): y = k
• Función lineal (grado 1): y = ax + b, a ≠ 0
  • Función identidad: y = x
• Función cuadrática (grado 2): y = ax² + bx + c, a ≠ 0
• Función cúbica (grado 3): y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
• Función polinómica de grado 4: y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, a ≠ 0
• Función polinómica de grado 5: y = ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f, a ≠ 0

Función Racional Fraccionaria

• Forma general: Y= Pₙ(x)/Qₘ(x), Qₘ(x) ≠ 0 donde n y m representan los grados del numerador y denominador.
• Función homográfica: Caso particular de función racional fraccionaria con polinomios de primer grado en numerador y denominador sin raíces compartidas.
• Y = (ax + b) / (cx + d) , c≠ 0 ∧ ad ≠ bc
• Dominio: x ≠ -d/c (asíntota vertical)
• Rango: y ≠ a/c (asíntota horizontal)

Tipos de Funciones Trascendentes

• Función de potencia: y = xr (variable en la base)
• Función exponencial: y = bx, b > 0 ∧ b ≠ 1 (variable en el exponente)
• Función logarítmica: y = logb x ⇔ by = x, b > 0 ∧ b ≠ 1

Funciones Trigonométricas o Circulares

• Funciones comunes:
  • Seno: y = sen x
  • Coseno: y = cos x
  • Tangente: y = tg x
• Recíprocas:
  • Cosecante: y = cosec x
  • Secante: y = sec x
  • Cotangente: y = cotg x
• Inversas:
  • Arco seno: y = arc sen x
  • Arco coseno: y = arc cos x
  • Arco tangente: y = arc tg x
• Relación fundamental: sen² x + cos² x = 1

Funciones Hiperbólicas

• y = Sh x = (e^x - e^-x) / 2
• Y = Ch x= (e^x + e^-x) / 2
• Y = Thx = shx/ chx
• Recíprocas incluyen Csch x, Sech x, Cth x.
• Inversas incluyen Arg Sh x, Arg Ch x, Arg Th x.
• Relación fundamental: Ch² x - Sh² x = 1

Funciones Compuestas

• Operaciones entre dos funciones: f(x) ± g(x) = (f ± g)(x) f(x) g(x) = (f · g)(x) f(x) / g(x) = (f / g)(x)
• Composición de funciones: "g compuesta con f": (f ◦ g)(x) = f(g(x)), Rg ⊆ Df (cond. necesaria) "f compuesta con g": (g ◦ f)(x) = g(f(x)), Rf ⊆ Dg (cond. necesaria)
• En el caso de funciones inversas:: f –1(f(x)) = x ∀x  Df y f(f –1(x)) = x ∀x  Rf