Funciones Circulares e Hiperbólicas

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Tema 23: Funciones Circulares e Hiperbólicas y Sus Recíprocas

• Situaciones reales en las que aparecen.

Funciones Circulares

• Considera el concepto de área y su relación con la integral.
• Se define rigurosamente el coseno y seno de x ∈ [0, π] como las coordenadas de un punto en una semicircunferencia.
• Se extienden el seno y coseno a todo x ∈ R.
• Se caracterizan como las únicas funciones dos veces derivables que cumplen f" + f = 0.
• El resultado anterior se usa para probar la fórmula del seno de la suma y deducir otras fórmulas trigonométricas.
• Se definen y estudian las funciones arco, que son las inversas de las funciones trigonométricas.
• Se estudian las funciones hiperbólicas y sus inversas.
• Se mencionan aplicaciones en Física de las funciones estudiadas.

Seno y Coseno de un Ángulo entre 0 y π

• En una semicircunferencia con centro en el origen, radio 1 y ordenadas no negativas, se toma un arco de longitud x ∈ [0, π] desde (1,0) hasta un punto P.
• Este arco forma un sector de área en el círculo unidad.
• Se define cos x y sen como las coordenadas de P.
• Se define A(t) como el área del sector limitado por la semicircunferencia, el eje horizontal y la semirrecta desde el origen al punto (t, √1-t²).
• Si 0<t1, el área A(T) se define: A(t) = t√1-t² + ∫√1-s²ds.
• La fórmula anterior es válida si -1 ≤ t ≤ 0.
• En este caso, es negativo y representa el área del triángulo restada a ∫√1-s²ds.
• Por el teorema fundamental del cálculo, A es continua en [-1,1] y derivable en (-1,1).
• La derivada A' (t) = √1-t
• Dado que A'(t) <0 si -1<t<1, la función A es estrictamente decreciente en [-1,1] desde A(-1) = ∫√1 − s²ds hasta A(1) = 0.
• Esta continuidad implica que A toma cada valor de [0,] exactamente una vez.

Definición de Coseno y Seno

• Para x ∈ [0, π], cos x es el único número en [-1,1] tal que A(cos x) = x/2.
• El seno de x se define como sen x = √1 - cos²x.
• Se definen las funciones sen, cos: [0, π] → R.
• La función coseno es la inversa de 2A.
• El coseno es continuo y estrictamente decreciente desde cos 0 = 1 hasta cos π = -1.
• La función seno es continua por ser composición de funciones continuas.

Derivadas de Seno y Coseno

• Las funciones seno y coseno son derivables en todo x ∈ [0, π], con derivadas cos'(x) = -sen x y sen'(x) = cos x.
• La función 2A es derivable, así que existe cos'(x) para x ∈ (0, π).
• Derivando en 2A(cosx) = x, obtenemos 2A'(cos x)cos'(x) = 1, que implica cos'(x) = 1/(2A'(cosx)) = -sen x.
• En los extremos x=0 y x=π, se usa la continuidad de la función coseno para determinar las derivadas cos'(0) y cos'(π).
• Se usa que sen x = √1 - cos²x para cada x ∈ (0, π), al derivar se llega a = cosx/√1-cos²x para cada x ∈ (0, π).
• El decrecimiento estricto del coseno desde cos 0 = 1 hasta cos π = -1 implica la existencia de un único x ∈ (0,π) con cosx = 0, es decir, A(0) = x/2.
• Este valor es x = 2A(0) = 2∫√1-s²dx = π/2.
• sen'(x) = cosx: Seno es creciente en [0,π/2] y decreciente en [π/2,π], alcanzando sen π/2 = 1

Definiendo Seno y Coseno

• Se extienden las funciones seno y coseno a R, resultando periódicas con período 2π.
• Si x ∈ [0, π], cosx es el único número real en [-1,1] tal que A(cosx)=x/2, mientras que sen x = √1 - cos²x.
• Si x ∈ [π, 2π], entonces cosx = cos(2π - x) y sen x = -sen(2π – x).
• El coseno y el seno se extienden a [0,2π] por simetría respecto del eje vertical x = π y respecto del punto (π/2,0), respectivamente.

Teorema de Caracterización de las Funciones Seno y Coseno

• Si f: R→ R es derivable dos veces en R, y cumple f" + f = 0 con f(0) = a y f'(0) = b, entonces f(x) = a cosx+b senx, para cada x ∈ R.
• La función seno/coseno es la única función derivable dos veces en R tal que f" +f = 0, f(0) = 0 y f'(0) = 1 /f(0) = 1, f'(0) = 0.

Fórmulas del Seno y Coseno de la Suma

• Para x,y in R:
• sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)
• Para cualquier y ∈ R, se define la función f: R R mediante f (x) = sen (x + y).
• Dado que f"(x) + f(x) = 0,(0) = sen y, y'(0) = cos y , entonces f(x) = cos y sen x + sen y cos x.
• Es decir sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y.

Definición de la Función Tangente

• La función tangente es tg: R − {π/2 + kπ : k ∈ Z} → R, dada por tg x = sen x/cos x.
• La función tangente es periódica con período π, continua en R excepto en x = + kπ, k ∈ Z.
• En estos puntos presenta asíntotas verticales.

Funciones Circulares Inversas

• Ninguna de las tres funciones circulares estudiadas es inyectiva, pero sí lo es el al restringir al intervalo [−π2 restringiendo al intervalo [−π/2, π/2] (seno), [0,π] (coseno) y ( −π/2, de las restricciones de seno (arccos), coseno (arccos)
• arctg: R->(-π/2, π/2)(arctg)-> Son llamadas arcoseno, arcocoseno y arcotangente
• arctg: R->(- π/2, π/2)
• Como cos x= 0, para todo x( −π/2, π/2)el teorema de función inversa implica que arcsen es derivable en todo x∈ (-1;1)
• Derivando arcsen:(arcsenx)’=1/ √1-x² para todo x(-1;1)
• razonamiento similar implica que arcocosen es derivable para x∈(-1;1) Y la función arcotangente es derivable para todo x∈(-1;1) Y sus derivadas son:
• arccos' = -1/ √1−𝑥^2 para todo x ∈ (-1;1)
• arctg'(x) = 1/ 1−𝑥^2

Funciones Hiperbólicas

• Se define el seno hiperbólico (sh), coseno hiperbólico (ch) y tangente hiperbólica (th) como funciones reales definidas para todo x ∈ R.
• sh x = (e^x - e^-x)/2
• ch x = (e^x + e^-x)/2
• th x = sh x/ch x = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)
• El signo de th x es el mismo de sh x.
• th x son positivas si x > 0 y negativas si x < 0.

Propiedades de las Funciones Hiperbólicas:

• Las funciones sh y th son impares, mientras que la función ch es par.
• Para cualquier x ∈ R, ch²x - sh²x = 1.
• Si x,y ∈ R:
• sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y
• ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y
• th(x+y)= (thx + thy)/(1+th*th)

Continuidad y Derivabilidad:

• sh'(x) = ch x
• ch'(x) = sh x
• th'(x) = 1/ch² x.

Límites de Funciones Hiperbólicas:

• Límite sh(x)->∞ cuando x->∞
• Límite ch(x)->∞ cuando x->∞
• Límite th(x)->1 cuando x->∞

Funciones Hiperbólicas Inversas

• Dado que la función seno hiperbólico es estrictamente creciente, existe la función argumento seno hiperbólico argsh: R→ R, que es su inversa.

###Funciones Argumento

• Se estudia el comportamiento de las funciones para dibujar su gráfica.
• Es argsh(x) la inversa de la función sh(x).
• Como sh'(x)=ch x≠0 en cualquier x∈R, resulta que la función argsh es derivable en cualquier x∈R
• ch(argshx).argsh'(x)=1, Es decir, argsh'(x) = 1/√x²+1
• Es argch(x) la inversa de la función ch(x) restringida al intervalo (∞;0]
• Siendo argch‘(x)= 1/√x² -1 Como tangente hiperbólica inyectiva, entonces argth^(-1 ; 1)es su función inversa. Por tanto: argth= 1/(1-𝑥^2)

###Aplicaciones de Funciones

• Péndulo simple: α‘(t)=−𝑔/𝑙 sinα(𝑡), donde g es la aceleración de la gravedad y l es la longitud de la cuerda , α‘"(t) =−𝑔/𝑙 α(𝑡) donde α(𝑡)= 𝐴cos(𝐾𝑡)+𝐵𝑠𝑒𝑛(𝐾𝑡) siendo A,B Y k∈ ℝ.
• Catenaria solución de la ecuación diferencial ay"= √(1+y’(x))^2 siendo en estos ejes y=𝐴ch(𝑥/𝐴) + 𝑘 , k∈ ℝ.

###Movimiento Descendente De Un Cuerpo

• F=mg-kv^(2)->(dv)/(mg-kv^(2) )
• Si suponemos que para t = 0 es v = 0, se deduce que c = 0, y por tanto, argth(𝑣√(𝑘/𝑔))/(𝑚𝑔 ))=𝑡√(𝑘𝑔/𝑚𝑔) para: 𝑣= √(𝑚𝑔/𝑘)th⁡((𝑡√(𝑘𝑔/𝑚𝑔)))

Explora las funciones circulares y hiperbólicas, su definición rigurosa y extensiones. Se estudian las funciones arco y sus inversas, con aplicaciones en Física. Se caracteriza el coseno y seno como funciones dos veces derivables que cumplen ciertas condiciones.