Fonctions vectorielles

Fonctions vectorielles de variable scalaire

• Une fonction vectorielle d'une variable scalaire est une fonction $\overrightarrow{r}: I \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{n}$.
• À chaque nombre réel t d'un intervalle I, elle fait correspondre un vecteur $\overrightarrow{r}(t)$ de $\mathbb{R}^{n}$.
• Si n = 2, alors $\overrightarrow{r}(t)=(f(t), g(t))=f(t) \overrightarrow{\mathbf{i}}+g(t) \overrightarrow{\mathbf{j}}$.
• Si n = 3, alors $\overrightarrow{r}(t)=(f(t), g(t), h(t))=f(t) \overrightarrow{\mathbf{i}}+g(t) \overrightarrow{\mathbf{j}}+h(t) \overrightarrow{\mathbf{k}}$.
• f, g, h: I ⊂ ℝ → ℝ sont des fonctions réelles d'une variable réelle.

Exemple

• La fonction $\overrightarrow{r}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t)$ est une fonction vectorielle d'une variable scalaire.
• Ici, f(t) = cos t, g(t) = sen t et h(t) = t.

Limite d'une fonction vectorielle

• La limite d'une fonction vectorielle $\overrightarrow{r}(t)=(f(t), g(t), h(t))$ lorsque t tend vers t₀ est le vecteur:
• $\lim {t \rightarrow t{0}} \overrightarrow{r}(t)=\left(\lim {t \rightarrow t{0}} f(t), \lim {t \rightarrow t{0}} g(t), \lim {t \rightarrow t{0}} h(t)\right)$.
• Les limites des fonctions composantes doivent exister.

Continuité d'une fonction vectorielle

• Une fonction vectorielle $\overrightarrow{r}(t)$ est continue en t = t₀ si et seulement si:
• Chaque fonction composante est continue en t = t₀.
• $\lim {t \rightarrow t{0}} \overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}\left(t_{0}\right)$.

Dérivée d'une fonction vectorielle

• Soit $\overrightarrow{r}(t)$ une fonction vectorielle et t un point où $\overrightarrow{r}(t)$ est définie.
• La dérivée $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)$ est définie comme :
• $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{r}(t+h)-\overrightarrow{r}(t)}{h}$.
• Cette limite doit exister.
• Si $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)$ existe, alors $\overrightarrow{r}$ est différentiable en t.
• Si $\overrightarrow{r}(t)=(f(t), g(t), h(t))$, où f, g et h sont des fonctions différentiables, alors:
• $\overrightarrow{r}^{\prime}(t)=\left(f^{\prime}(t), g^{\prime}(t), h^{\prime}(t)\right)$.