Fonctions Holomorphes: Agrégation Interne

Analyse (Préparation à l'agrégation interne)

Fonctions Holomorphes

• Le théorème de Liouville stipule qu'une fonction holomorphe bornée sur $\mathbb{C}$ est nécessairement constante.
• Les zéros d'une fonction holomorphe non identiquement nulle sont isolés, d'après le principe des zéros isolés.
• Le prolongement analytique est unique.
• Le théorème de l'application ouverte énonce que l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non constante est un ouvert.
• D'après le principe du maximum, $|f|$ n'admet pas de maximum local si $f$ n'est pas une constante.
• Le lemme de Schwarz indique que pour $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ holomorphe avec $f(0) = 0$, alors $|f(z)| \leq |z|$ et $|f'(0)| \leq 1$. Si $|f(z_0)| = |z_0|$ pour $z_0 \in \mathbb{D}^*$ ou $|f'(0)| = 1$, alors $f(z) = e^{i\theta}z$ avec $\theta \in \mathbb{R}$.
• Les automorphismes analytiques de $\mathbb{D}$ sont un corollaire du lemme de Schwarz.
• Le théorème de Rouché énonce que si $f, g$ sont holomorphes sur un ouvert $\Omega$ avec un chemin fermé $\gamma$ dans $\Omega$ tel que l'intérieur de $\gamma$ soit inclus dans $\Omega$, et si $|f(z) - g(z)| < |f(z)|$ pour tout $z \in \gamma$, alors $f$ et $g$ ont le même nombre de zéros à l'intérieur de $\gamma$, comptés avec multiplicité.

Suites et Séries de Fonctions

• D'après le théorème de Weierstrass, une limite uniforme de fonctions continues est continue.
• Une limite uniforme de fonctions intégrables est intégrable, et l'on peut intervertir limite et intégrale (théorème de Weierstrass).
• Le théorème de convergence dominée stipule que si $(f_n)$ converge presque partout vers $f$ et qu'il existe une fonction intégrable $g$ telle que $|f_n| \leq g$ pour tout $n$, alors $f$ est intégrable et $\int f_n \rightarrow \int f$.
• Dans le théorème de convergence monotone, si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions positives mesurables qui converge presque partout vers $f$, alors $\int f_n \rightarrow \int f$.
• Le théorème de Dini indique que si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions continues sur un compact $K$ qui converge simplement vers une fonction continue $f$, alors la convergence est uniforme.

Séries Entières

• Le rayon de convergence $R$ est donné par la formule d'Hadamard : $R = \frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}}$.
• Une série entière est continue, dérivable et intégrable sur son disque de convergence.
• Une série entière est développable en série entière.
• Si deux séries entières ont la même somme sur un intervalle, alors elles ont les mêmes coefficients.

Transformation de Fourier

• La transformation de Fourier est définie par : $\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2i\pi x \xi} dx$.
• Propriétés de la transformée de Fourier :
• $\widehat{f'}$
• $\widehat{xf(x)}$
• Si $f$ est intégrable, alors $\hat{f}$ est bornée et uniformément continue (Riemann-Lebesgue).
• La formule d'inversion de Fourier est : $f(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) e^{2i\pi x \xi} d\xi$ (sous de bonnes hypothèses).
• Le théorème de Plancherel stipule que : $\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 dx = \int_{\mathbb{R}} |\hat{f}(\xi)|^2 d\xi$.
• La transformation de Fourier transforme la convolution en produit.

Analyse Numérique

• Méthodes itératives : Newton, point fixe.
• Interpolation polynomiale : Lagrange, Newton.
• Intégration numérique : Méthode des trapèzes, Simpson.
• Résolution numérique d'équations différentielles : Méthode d'Euler, Runge-Kutta.

Probabilités

• Loi des grands nombres :
• Faible : $\mathbb{P}(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \mathbb{E}[X_1]| > \epsilon) \rightarrow 0$.
• Forte : $\mathbb{P}(\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \mathbb{E}[X_1]) = 1$.
• Théorème central limite : $\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \mathbb{E}[X_1]) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, \mathrm{Var}(X_1))$.

Chapitre 14 : Les lois de la thermodynamique

14.1 Chaleur

• Énergie interne ($U$) : La somme de toute l’énergie de toutes les molécules d’une substance.
• Liée à la température, mais différente.
• Chaleur ($Q$) : Le transfert d’énergie à travers la limite d’un système en raison d’une différence de température entre le système et son environnement.

Unités de chaleur

• Calorie : La quantité de transfert d’énergie nécessaire pour élever la température de 1 gramme d’eau de 14,5 °C à 15,5 °C.
• $1 \text{ cal} = 4,186 \text{ J}$
• British Thermal Unit (BTU) : La quantité de transfert d’énergie nécessaire pour élever la température de 1 lb d’eau de 63 °F à 64 °F.
• $1 \text{ BTU} = 1055 \text{ J}$

Chaleur spécifique

• La chaleur spécifique ($c$) d’une substance est la chaleur nécessaire pour changer la température de 1 kg de la substance de 1 °C.
• $Q = mc\Delta T$
• $c = \frac{Q}{m\Delta T}$

Calorimétrie

• Technique de détermination de la chaleur spécifique d’une substance.

Latent Heat

• Exemple 14.1 : Un bloc de cuivre de 1,25 kg est chauffé à 450 °C puis plongé dans 3,0 kg d’eau à 22,0 °C. Quelle est la température finale ? (Chaleur spécifique du cuivre = $0,092 \text{ cal/g}·^\circ\text{ C}$, chaleur spécifique de l’eau = $1,00 \text{ cal/g}·^\circ\text{ C}$)
• Solution : $T_f = 32,5 ^\circ\text{ C}$

Chaleur latente

• L’énergie nécessaire pour changer la phase d’une substance.
• $Q = mL$
• $L$ est la chaleur latente de la substance.
• Chaleur latente de fusion ($L_f$) : Changement de phase du solide au liquide.
• Chaleur latente de vaporisation ($L_v$) : Changement de phase du liquide au gaz.
• Exemples :
• Fonte de la glace : $L_f = 3,33 × 10^5 \text{ J/kg}$
• Ébullition de l’eau : $L_v = 2,26 × 10^6 \text{ J/kg}$

14.2 Travail et chaleur dans les processus thermodynamiques

Travail effectué par un gaz

• $W = \int_{V_i}^{V_f} P dV$
• Pour une pression constante : $W = P(V_f - V_i)$

Types de processus

• Isobare : Pression constante.
• Isovolumétrique : Volume constant. $W = 0$
• Isotherme : Température constante.
• Adiabatique : Pas de transfert de chaleur. $Q = 0$

La première loi de la thermodynamique

• La variation de l’énergie interne d’un système est égale à la chaleur ajoutée au système moins le travail effectué par le système.
• $\Delta U = Q - W$

14.3 Machines thermiques et deuxième loi de la thermodynamique

Machines thermiques

• Un dispositif qui convertit la chaleur en travail.
• Efficacité ($e$) : $e = \frac{W_{\text{net}}}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}$
• $Q_h$ : Énergie absorbée d’un réservoir chaud.
• $Q_c$ : Énergie évacuée vers un réservoir froid.

La deuxième loi de la thermodynamique

• Il est impossible de construire une machine thermique qui, fonctionnant selon un cycle, ne produit aucun effet autre que l’apport d’énergie par la chaleur d’un réservoir et l’exécution d’une quantité de travail égale.

Entropie

• Une mesure du désordre d’un système.
• Variation de l’entropie ($\Delta S$) : Lorsque l’énergie $Q$ est ajoutée à un système à température $T$.
• $\Delta S = \frac{Q}{T}$
• Deuxième loi de la thermodynamique en termes d’entropie : L’entropie totale d’un système isolé augmente toujours dans tous les processus naturels.

Tableau des chaleurs spécifiques et des chaleurs latentes

• Remarque : Ces valeurs sont approximatives et dépendent de la température et de la pression.*

Négociation algorithmique

Qu'est-ce que c'est?

• Également connue sous le nom de « Négociation algo », « Négociation automatisée », « Négociation en boîte noire » ou « Négociation systématique ».
• Consiste en l'exécution des commandes basée sur des instructions préprogrammées.
• Les instructions tiennent compte de :
• Heure
• Prix
• Quantité
• Les algorithmes peuvent être basés sur :
• Formules mathématiques
• Discernement humain

Pourquoi l'utiliser ?

• Les algorithmes peuvent négocier à une vitesse et à une fréquence impossibles pour un négociateur humain.
• Coûts de transaction réduits.
• Exécution automatisée simultanée des ordres.
• Possibilité réduite d'erreur humaine.
• Les algorithmes peuvent être testés à rebours sur les données historiques disponibles.

Comment démarrer

1. Apprenez un langage de programmation comme Python.
2. Trouvez un courtier qui fournit une interface de programmation d'application (API).

• Interactive Brokers et OANDA sont des choix populaires.

3. Développez une stratégie de négociation basée sur :

• Indicateurs techniques :
• Moyennes mobiles
• Indice de force relative (RSI)
• Bandes de Bollinger
• Etc.
• Données fondamentales :
• Rapports sur les bénéfices
• Indicateurs économiques : inflation, données sur le chômage, PIB, etc.
• Analyse des sentiments :
• Le traitement du langage naturel (TLN) peut être utilisé pour évaluer les manchettes de journaux, les publications sur les médias sociaux, etc.

Gestion des risques

• Fixez une perte maximale quotidienne/hebdomadaire.
• Utilisez des ordres d'arrêt des pertes.
• Surveillez périodiquement l'algorithme pour vous assurer qu'il fonctionne comme prévu.
• Ne faites pas aveuglément confiance à l'algorithme.