Fonctions exponentielles : introduction

• Une fonction exponentielle est une fonction où la variable indépendante apparaît dans un exposant.
• Forme générale : f(x) = a^x, où a est une constante appelée base et x est la variable indépendante.
• La base 'a' doit être un nombre réel positif et différent de 1 (a > 0 et a ≠ 1).

Propriétés des fonctions exponentielles

• Le domaine de f(x) = a^x est l'ensemble de tous les nombres réels.
• L'image de f(x) = a^x est l'ensemble de tous les nombres réels positifs.
• La fonction exponentielle est toujours positive.
• La fonction exponentielle passe par le point (0, 1) car a^0 = 1 pour tout a ≠ 0.
• Si a > 1, la fonction est croissante.
• Si 0 < a < 1, la fonction est décroissante.
• La fonction exponentielle est bijective (injective et surjective).
• Elle possède une asymptote horizontale en y = 0.

Transformations des fonctions exponentielles

• Translation verticale : f(x) = a^x + k, où k déplace la fonction vers le haut (k > 0) ou vers le bas (k < 0).
• Translation horizontale : f(x) = a^(x - h), où h déplace la fonction vers la droite (h > 0) ou vers la gauche (h < 0).
• Réflexion par rapport à l'axe des x : f(x) = -a^x, change le signe de la fonction.
• Réflexion par rapport à l'axe des y : f(x) = a^(-x), équivalent à (1/a)^x.
• Dilatation/Compression verticale : f(x) = c * a^x, où c étire (c > 1) ou comprime (0 < c < 1) la fonction verticalement.

La fonction exponentielle naturelle

• La fonction exponentielle naturelle est une fonction exponentielle spéciale où la base est le nombre d'Euler, noté e (e ≈ 2.71828).
• Elle est notée f(x) = e^x ou exp(x).
• Elle est sa propre dérivée.
• Elle est l'inverse de la fonction logarithme naturel ln(x).

Propriétés de la fonction exponentielle naturelle

• e^0 = 1
• e^1 = e
• e^(x+y) = e^x * e^y
• e^(x-y) = e^x / e^y
• (e^x)^y = e^(xy)

Dérivée des fonctions exponentielles

• Si f(x) = a^x, alors f'(x) = a^x * ln(a).
• Si f(x) = e^x, alors f'(x) = e^x.
• Règle de la chaîne : Si f(x) = a^(g(x)), alors f'(x) = a^(g(x)) * ln(a) * g'(x).
• Règle de la chaîne pour la fonction exponentielle naturelle : Si f(x) = e^(g(x)), alors f'(x) = e^(g(x)) * g'(x).

Intégrale des fonctions exponentielles

• L'intégrale de a^x dx = (a^x) / ln(a) + C, où C est la constante d'intégration.
• L'intégrale de e^x dx = e^x + C.
• Intégration par substitution : utile pour intégrer des fonctions de la forme e^(g(x)) * g'(x).

Applications des fonctions exponentielles

• Croissance et décroissance exponentielle : modélisation de populations, désintégration radioactive, intérêt composé.
• Modèles de refroidissement et de chauffage : loi de Newton sur le refroidissement.
• Probabilités et statistiques : distribution normale.
• Finance : calculs d'intérêts composés.
• Biologie : croissance bactérienne.

Équations exponentielles

• Une équation exponentielle est une équation où la variable apparaît dans un exposant.
• Pour résoudre une équation exponentielle, on isole le terme exponentiel, puis on applique un logarithme aux deux côtés de l'équation.

Inéquations exponentielles

• Pour résoudre une inéquation exponentielle, on isole le terme exponentiel, puis on applique un logarithme aux deux côtés de l'équation.
• Si la base est supérieure à 1, le sens de l'inégalité est conservé.
• Si la base est comprise entre 0 et 1, le sens de l'inégalité est inversé.

Croissance et décroissance exponentielle

• Croissance exponentielle : une quantité augmente à un taux proportionnel à sa valeur actuelle.
• Décroissance exponentielle : une quantité diminue à un taux proportionnel à sa valeur actuelle.
• Formule générale pour la croissance exponentielle : A(t) = A_0 * e^(kt), où A(t) est la quantité au temps t, A_0 est la quantité initiale, k est le taux de croissance, et t est le temps.
• Formule générale pour la décroissance exponentielle : A(t) = A_0 * e^(-kt), où A(t) est la quantité au temps t, A_0 est la quantité initiale, k est le taux de décroissance, et t est le temps.
• Demi-vie : le temps nécessaire pour qu'une quantité décroissante de manière exponentielle diminue de moitié.
• Constante de temps : mesure la rapidité avec laquelle une quantité décroissante de manière exponentielle se rapproche de zéro.